Tamaño muestral en estudios biomédicos

Gastón Duffau T.¹

Resumen

En este estudio se enfatiza la importancia de efectuar una estimación del tamaño muestral al emprender una investigación biomédica. Los escenarios más comúnmente encontrados son analizados y se discuten los procedimientos apropiados para establecer tamaños muestrales en estudios de prevalencia, promedios, proporciones, pruebas diagnósticas, concordancia, cohortes y caso-control.
(Palabras clave: bioestadística, tamaño muestral.)

Sample size in biomedical studies

This study emphasises the importance of carrying out an estimation of sample size when beginning a biomedical investigation. The most common settings encountered are analised and a discussion of the appropriate methods to determine sample sizes in studies of prevalence, averages, proportions, diagnostic tests, concordance, cohorts and case-control.
(Key words: statistics, sample size, biomedical investigation.)

INTRODUCCIÓN

Establecer el tamaño muestral apropiado para una investigación es a la vez frecuentemente complicado y representa sólo una aproximación a la realidad, sin embargo es muy necesario. Fallas en detectar diferencias entre tratamientos con bastante frecuencia se relacionan con un tamaño inadecuado del estudio. Se suele advertir sobre el riesgo de efectuar estudios con muestras muy grandes, donde puede ocurrir que pequeñas diferencias, probablemente sin trascendencia clínica, serán detectadas como significativas¹. Este no es el problema que enfrenta el clínico, quien habitualmente tiene dificultades para reunir una muestra del tamaño necesario para detectar una diferencia definida como "clínicamente significativa".

Aun cuando los cálculos proporcionan datos aproximados, estos son importantes porque permiten tener una idea de cuántos sujetos deberían participar en el estudio y si sólo se dispone de un número fijo de estos, nos puede indicar si realmente vale la pena emprender la investigación.

Dentro de varias cuestiones que podrán ser investigadas en un estudio, seguramente será posible definir la principal. Entonces, se establecerá qué clase de datos deben ser obtenidos y la forma como serán analizados. Esto tiene mucha importancia, puesto que el tamaño de la muestra depende del método de análisis a emplear.

La presente revisión introduce al problema planteado, con el fin de mostrar en términos generales los escenarios y soluciones más comúnmente empleados en investigación biomédica.

ELEMENTOS EN LA ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL

Un conjunto de variables deberán ser consideradas en esta estimación:

a)  Error alfa:

Corresponde, según la definición usual a "la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es verdadera"². El investigador deberá establecer hasta qué punto estará dispuesto a aceptar que los hallazgos de interés pudieran ser justificados por variaciones explicables por el azar. Convencionalmente, se considera en estudios clínicos un error alfa aceptable de 5% o menor, aunque más precisamente inferior a 5%. Ello significa que si bien los resultados pudieran ser explicados por el azar en 5 o menos de cada 100 veces que se repitiera la experiencia, se decidirá interpretarlos, en tales circunstancias, como no atribuibles al azar, es decir, "significativos". La elección de un error alfa más pequeño (por ejemplo 1%) proporciona mayor probabilidad que los resultados de interés correspondan a una situación real. Sin embargo, aumenta el riesgo de atribuir al azar hallazgos que no debieran ser interpretados de tal modo (puesto que sólo sería "significativo" un valor de "p" igual o menor a 0,01 (1%)).

En los cálculos se emplea el valor "Z de alfa" (Za) que corresponde en la curva normal estandarizada al número de desviaciones estándar que aplicadas en ambos lados del promedio cero dejan fuera un área de 5% (correspondiente al error alfa elegido) (en cada cola queda entonces 2,5%). Za para alfa 5% (0,05) en prueba bilateral es igual a 1,96 y para prueba unilateral es 1,64³.

b)  Error beta

Este error corresponde a la probabilidad de no detectar un hallazgo como importante y atribuirlo al azar. Habitualmente se le define como "la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa"². En estudios clínicos se considera apropiado un nivel de error beta de 20%. Naturalmente, se puede utilizar un nivel menor. Como sea, el poder del estudio, es decir la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa, es igual a 100 menos el error beta. Esto significa que habitualmente se trabaja con un poder de 80%.

Es importante destacar que la reducción del error beta invariablemente va acompañada de aumento del error alfa, para un mismo tamaño muestral. Una reducción de ambos errores sólo es posible aumentando el tamaño de la muestra. Así, la muestra por grupo para detectar una diferencia de 15% entre los valores de 20% y 35% con error alfa de 5% y beta de 20% es de 151 casos; si bajamos el error beta a 10% y lo demás no varía, se necesitan 198 casos por grupo; si sólo rebajamos el error alfa a 1% los casos deben ser 219, y si simultáneamente deseamos dejar los errores en 10% y 1%, respectivamente, se requerirán 275 casos por grupo^4,5.

En los cálculos se emplea el valor "Z de beta" (Zß) que corresponde al número de desviaciones estándar de la curva normal estandarizada que deja fuera, unilateralmente, un área igual al error beta escogido, 20% si empleamos poder de 80%. Zß en este caso es igual a 0,84 y si el error beta es 10% (0,10) el valor es 1,28.

c)  Diferencia clínicamente significativa

Aquí se puede suponer una comparación entre dos grupos en un ensayo clínico, donde se espera poder detectar una diferencia en los resultados. Esta diferencia no es cualquiera, sino una igual o mayor a cierto nivel que desde un punto de vista clínico sea de relevancia. Es así como si un grupo tiene una proporción de complicaciones de 30% y se espera una reducción con un tratamiento nuevo, con seguridad no se considerará un cambio significativo el descenso a 28%. Por otra parte, si esa diferencia es real, para detectarla se requeriría el estudio de un número muy grande de casos. Es frecuente que una diferencia de interés sea catalogada como superior a 10% y comúnmente alrededor de 15%.

Un criterio similar se utiliza para elegir detectar razón de ventaja (OR), riesgo relativo (RR) o razón de verosimilitud (LR). Es importante tener presente que una misma diferencia inducirá a tamaños de muestra variables de acuerdo con los valores entre los que tal diferencia se establece. Así, 15% no opera igual si es entre 20% y 35% o entre 45% y 60%, por lo que no basta con plantear en qué magnitud serán diferentes los resultados. Si no se dispone de más información respecto a este asunto, la solución es ensayar diferentes cálculos y utilizar el tamaño muestral que resulte mayor. Si la falta de información no es solucionable con relativa facilidad, se puede efectuar un estudio piloto para obtener una aproximación. En tales circunstancias se recurriría a los intervalos de confianza de los estadígrafos de interés para obtener tamaño mínimo y máximo probable requerido para el estudio. Más adelante volveremos sobre esto.

Mucho interés tiene la orientación que se requiere al pretender verificar "igualdad de resultados". Esta situación podría corresponder a la comparación de un tratamiento ya aceptado con otro que tiene varias ventajas (requiere menos dosis al día, es menos costoso, etc.), aunque se supone que genera resultados iguales. Si se establece "cero" como diferencia a detectar, el tamaño de la muestra ascendería a infinito, por ello es necesario plantear la detección de la diferencia más grande que no sea clínicamente significativa. Así, si se plantea que cualquier diferencia igual o menor a 6% se considerará como sin importancia, el estudio será diseñado como capaz de pesquisar esta última cifra. Entonces, si ambos tratamientos aparecen como comparables (p > 0,05), se podrá pensar que o son iguales o difieren en una cuantía igual o menor que 6%, lo que ya fue declarado como sin importancia clínica.

d)  Hipótesis uni o bilateral

Un aspecto muy importante a considerar es si el tamaño de la muestra se está estimando para la verificación de una hipótesis uni o bilateral. Esto se refiere a que si al comparar dos grupos la hipótesis es que los resultados diferirán sin poder predecir de seguro cuál grupo resulta mejor o más favorable (bilateral, porque A puede ser mejor que B o viceversa), o definitivamente se postula que, específicamente, uno de los grupos dará mejores resultados. El problema planteado corresponde a lo siguiente: si se realiza un ensayo clínico controlado para probar un nuevo tratamiento, comparándolo con aquel generalmente aceptado, sólo es éticamente aceptable que el investigador, aunque tenga sus esperanzas puestas en que el nuevo tratamiento es mejor, no sabe si ello es así y por tanto la hipótesis debe contemplar la posibilidad que el nuevo tratamiento resulte comparable o aun inferior al generalmente utilizado. Se entiende que si el investigador está razonablemente convencido que el nuevo tratamiento es mejor, simplemente no puede someter al grupo control a una terapia que considera inferior, menos efectiva.

Puesto que una prueba de hipótesis bilateral es más exigente que una unilateral, podría alguien a posteriori y en vista de un resultado insuficiente para una prueba bilateral, pero suficiente para una unilateral, verse tentado a cambiar la hipótesis, sin embargo esto no es aceptable.

¿En que casos sería razonable utilizar hipótesis unilaterales? En algunas situaciones, algo distintas de la comentada, parece apropiado hacerlo. Por ejemplo en un estudio de balance donde se compara dos grupos de niños, en que el mayor aporte de líquidos a un grupo se espera tenga como efecto un aumento del volumen de orina, si ello no se verifica, se interpretará como retención⁶.

Otro elemento importante de tener presente es la posible pérdida de casos dentro del estudio: no siguieron las indicaciones, se cambiaron a domicilio desconocido, u otra causa. Como sea, sin mayores consideraciones, se debería hacer una estimación por adelantado para corregir el tamaño de la muestra. Así, en caso de esperar 10% de pérdida, el ajuste implicaría multiplicar el tamaño de la muestra por el factor 100%/90% = 1,11. Tal corrección no resuelve todo el problema, pues es importante recordar que quienes abandonan un estudio o por alguna razón no se incorporan a él, se deben considerar distintos de aquellos que sí lo hicieron. De este modo no es indiferente tal acontecimiento, particularmente en el caso de abandono de un estudio, ya que si la pérdida es muy numerosa puede invalidar la investigación. Como no hay un criterio uniforme para decidir cuánta pérdida debe ser considerada "grande", se puede hacer lo siguiente: si en el estudio clínico apareciera una diferencia significativa entre los grupos investigados, sólo se podrá considerar como una conclusión válida si los casos perdidos en el seguimiento son asignados al peor resultado y aún así se mantiene la diferencia de interés.

El ejercicio de estimar el tamaño muestral aparentemente necesario en diferentes estudios, confiere al investigador un saludable grado de cautela cuando lee artículos que le interesan y, además, arroja luz sobre los posibles efectos o consecuencias esperables en investigaciones fundadas en muestras escasas. Estos incluyen: insuficiente poder y por ello una baja probabilidad de detectar una diferencia planteada si existe, al disminuir el tamaño del estudio se reduce la efectividad de la aleatorización de los integrantes de la muestra, y la posibilidad de análisis estratificado se aleja, puesto que si los casos son pocos ya de entrada al estratificar el efecto de muestra escasa se manifestará más intensamente.

No pocas personas, al iniciar un estudio prefieren no averiguar cuántos casos deben estudiar para verificar lo que les interesa. Esto se debe, al menos en parte, a que se han llevado anteriormente una desagradable sorpresa al hacerlo –constatando que requieren bastantes más casos que los imaginados– y probablemente también porque en el fondo parecen pensar que todo el proceso es una real exageración. Tienen el aparente apoyo de la literatura que estudian, puesto que un cálculo del tamaño muestral no está habitualmente incluido en los artículos y por otro lado no son raras las investigaciones que dan resultados significativos con muy pocos casos gracias a que la diferencia encontrada experimentalmente fue grande o que en comparación de promedios la dispersión de los valores en cada grupo fue muy pequeña.

Como veremos más adelante, no siempre se pueden satisfacer todos los requisitos que hemos analizado hasta el momento. En ocasiones convendrá recordar que a partir de la prueba de hipótesis que se utilizará es posible un acercamiento al tamaño muestral particular.

Por último, mencionaremos una idea que a veces surge relativa a todo este asunto y se refiere a qué conducta se puede adoptar si no se dispone de ningún dato de los que requiere el cálculo del tamaño muestral. Una posibilidad, como ya se ha mencionado, es efectuar un estudio piloto, la otra es considerar que si no se tiene dato alguno sobre el problema que se desea estudiar probablemente no se justifica iniciar una investigación sobre cuyo tema no se tiene experiencia alguna⁴.

A continuación analizaremos diferentes escenarios donde el cálculo del tamaño de la muestra se plantea. Naturalmente no se pretende cubrir todas las situaciones pero sí probablemente las más comunes.

I. ESTUDIOS EN QUE SE INDAGARÁ SOBRE UNA PREVALENCIA

En estos se requiere conocer⁵ el tamaño de la población, la precisión deseada (%), la prevalencia esperada, el efecto del diseño y el error alfa.

En este caso se debe tener una idea aproximada de la prevalencia que se está investigando, luego se debe establecer cuánto se aceptaría que varíe (precisión), luego el nivel de confianza deseado para la indagación y finalmente el efecto de diseño de la investigación. Este es igual a 1 (no hay efecto de diseño) si se ha empleado un procedimiento de muestreo aleatorio simple o bien sistemático y corresponde a un error sistemático.

La fórmula:

	N • Z2 • p (1-p)
n =
	d2 • (N-1) + Z2 • p (1-p)

en que n es el tamaño de la muestra, N la población total, Z el valor de z para el nivel de confianza (1- alfa), p la proporción esperada en la población y d la precisión absoluta. El tamaño de la muestra es, en definitiva, igual a n por el efecto de diseño. El tamaño de la población de la que se extraerá la muestra es habitualmente desconocido, pero no es muy importante tener un conocimiento exacto, bastando con una aproximación razonable. En un ejemplo veremos que esto es así:

Supongamos que estimamos una proporción (p) en la población a estudiar de 7% y deseamos un tamaño muestral que permita, con una seguridad de 95% (Z entonces de 1,96), una variación alrededor de 7% de hasta 3%. Ello significa que si la proporción poblacional es de 7% esperamos, con 95% de confianza, obtener un valor entre 4% y 10%. Para estos requisitos si la población es de 500 000 personas, la muestra requerida es de 278 casos, si es de 10 000 personas 271 casos, si sólo son 5 000 personas 264 y si son 1 000 personas, 218 casos.

Si no tenemos idea alguna acerca del valor de p aún es posible estimar el tamaño muestral: en la fórmula, la expresión p (1-p) tiene un valor creciente a medida que la proporción p se va acercando a 0,50, alcanza su máximo en ese punto y luego va descendiendo nuevamente. Entonces, cuando p = 0,50 la mencionada expresión vale 0,25 y con esa cifra se calculará en la fórmula el tamaño muestral, que será el más elevado para las condiciones establecidas. Ese tamaño de muestra será, entonces, el apropiado.

Estos cálculos se pueden realizar en el programa Epitable de EpiInfo.

II. ESTUDIOS EN QUE SE COMPARARÁN DOS PROPORCIONES

Se requiere en estos saber⁴ la razón grupo 1/ grupo 2, proporción en grupo 1, proporción en grupo 2, error alfa y error beta.

La fórmula:

N = (N´/4) (1 + {1 + 2 (r +1)/N´r | p2 - p1|}^1/2)²

donde:

	[(Za{(r + 1) pq}1/2)- Zß {r p1q1 + p2q2}1/2]2
N´ =
	r (p2 - p1)2

en que N es uno de los tamaños muestrales y Nr el otro, r es la fracción que representa la muestra más pequeña respecto a la mayor, p1 la proporción del grupo 1, q1 = 1 - p1, p2 la proporción del grupo 2, q2 = 1 - p2, Za para hipótesis unilateral 1,645 (para un error alfa de 0,05) o 2,326 (para un error alfa de 0,01), Zß es –0,842 (para un error beta de 0,20), –1,29 (para un error beta de 0,10) y – 1,645 (para un error beta de 0,05), p = (p1 + rp2) / (r + 1) y q = 1- p.

De acuerdo con otros⁷, se puede obtener la información por la siguiente vía para grupos de igual tamaño:

N = ( (Za + Zß) / (p1 - p2) )² (p1 q1 + p2 q2)

donde N es el número de casos por grupo, p1 la proporción en grupo 1, p2 la proporción en grupo 2, q1 = (1- p1) y q2 = (1 - p2).

Para una diferencia determinada, el tamaño muestral requerido no es constante y depende de las proporciones entre las cuales se establece la diferencia. Así, podemos ver al mismo tiempo que los resultados también dependen del programa empleado, suponiendo que dejamos fijo el error alfa en 0,05 y el error beta en 0,20 (tabla 1). Las cifras continúan reduciéndose en espejo luego de haber ascendido a un máximo.

El programa Epilnfo emplea la fórmula de Fleiss⁴ y el Win Episcope 1,0 declara la de Snedecor y Cochran⁷.

En la eventualidad de poder establecer sólo la diferencia que interesa detectar entre proporciones o porcentajes y los errores respectivos, la elección de la muestra deberá corresponder, entonces, a la cifra mayor como ya señaláramos anteriormente.

Tabla 1

III. ESTUDIOS EN QUE SE COMPARARÁN DOS PROPORCIONES POR PRUEBA DE FISHER-IRWIN DE PROBABILIDADES EXACTAS

En ocasiones, se puede presumir que en la investigación se incluirá una muestra pequeña y se compararán dos grupos por la mencionada prueba de hipótesis⁹.

Se dispone de tablas que proporcionan el tamaño muestral por grupo requerido para satisfacer los errores alfa y beta planteados frente a la comparación de dos proporciones¹⁰. A modo de ejemplo señalaremos los datos que se proporcionan en la tabla 2.

El cálculo del tamaño muestral para estudiar la diferencia entre dos proporciones en tabla de 2 x 2, con hipótesis unilateral, incluye las dos proporciones y los errores alfa y beta. Debe contemplarse una proporción como "control" o valor "patrón" (pl) y la otra sería "experimental" (p2). En tales condiciones:

N = 1.641,6 •

[

(Za + Zß) (arcsen Rc p1 - arcsen Rc p2)

]

2

donde Za es 1,64 si alfa es 0,05 para prueba unilateral y 1,96 si es bilateral, Zß es 0,84 si beta es 0,20 para prueba uni o bilateral, arcsen Rc p1 es el arcsen (corresponde "al ángulo cuyo seno es el valor dado") de la raíz cuadrada (Rc) de la proporción 1.

Tabla 2

    En su calculadora arcsen sería sen elevado a - 1.
    La prueba de hipótesis que se supone se empleará con los resultados del estudio es Ji2.

IV. ESTUDIOS EN QUE SE INVESTIGARÁ UNA PRUEBA DIAGNÓSTICA

Para estos se requiere conocer: error alfa, error beta, proporción esperada de falsos positivos o la especificidad, razón de verosimilitud considerada digna de ser detectada, intervalo de confianza deseado para la sensibilidad y la prevalencia esperada de la patología en estudio. El procedimiento de cálculo en detalle se puede encontrar en otra parte¹¹.

Las razones de verosimilitud (likelihood ratios) (LR), índices fijos como sensibilidad y especificidad ofrecen una relación entre las cuatro casillas de la tabla de 2 x 2, en que se estudia una prueba diagnóstica: a, b, c, d. Es así como, si consideramos un LR+, veremos que tal resultado se obtiene de la razón entre las proporciones a/(a+c) y b/(b+d) de modo que

En esta división, el numerador corresponde a la sensibilidad de la prueba y el denominador a la proporción de falsos positivos (1-especificidad).

Es posible, entonces, plantear la búsqueda del tamaño muestral a partir de una comparación de dos proporciones (LR), en prueba unilateral (puesto que se espera que el numerador será mayor que el denominador, LR+ veces), para lo cual se requeriría estimar los falsos positivos (o la especificidad) probables en esa prueba y la prevalencia esperada del trastorno en estudio dentro de la muestra. Al mismo tiempo, se debe elegir un valor de LR+ digno de ser detectado, contemplando el nivel de error alfa y beta que se considere adecuado. Tal comparación es entre dos proporciones independientes (aunque intrínsecamente relacionadas) y de tamaño casi siempre diferente, con una proporción de verdaderos enfermos habitualmente inferior a 50%.

La estimación de los falsos positivos determina en parte el LR+ elegible, puesto que, si los primeros constituyen un 5%, es poco probable que interese un LR+ de 3 si se considera que 5% x 3 indicará la sensibilidad de la prueba en tal caso, es decir, 15% y esta seguramente no resultaría de mucho interés al investigador como nivel inicial de detección. Del mismo modo, si la proporción de falsos positivos fuera muy alta, LR+ puede tener como límite un valor sorprendentemente bajo. Por ejemplo, una cifra de falsos positivos del 30% (0,30) tiene un LR+ límite posible de 3,33, ya que una cifra mayor supondría una sensibilidad de la prueba superior al 100%. Como sea, es generalmente aceptado que LR+ en el margen de 2 a 5 suele ser de importancia en el sentido que el cambio de la probabilidad preprueba a aquella posprueba cuando LR+ está en esos valores, sería de una magnitud de consideración¹².

El poder estimar algunos valores, como la proporción de falsos positivos, requiere algún conocimiento previo de la situación o efectuar un estudio piloto para obtenerlo.

Aceptando que se cumplen los requisitos para efectuar la correspondiente prueba de hipótesis, de acuerdo con Fleiss⁴ tendríamos:

N = (N´/4) (1 + {1 + 2 (r +1)/N´r | p2 - p1|}^1/2)²

donde:

	[(Za{(r + 1) pq}1/2)- Zß {r p1q1 + p2q2}1/2]2
N´ =
	r (p2 - p1)2

siendo N uno de los tamaños muestrales y Nr el otro, r la fracción que representa la muestra más pequeña respecto a la mayor, p1 = a/(a+c) que indica la sensibilidad de la prueba y es igual a p2 x LR+, q1 = 1 - p1, p2 = b/(b+d) y corresponde a la proporción de falsos positivos (1-especificidad), q2 = 1 - p2, Z? para hipótesis unilateral es 1,645 (para un error alfa de 0,05) o 2,326 (para un error alfa de 0,01), Zß es - 0,842 (para un error beta de 0,20), –1,29 (para un error beta de 0,10) o - 1,645 (para un error beta de 0,05), p = (p1 + rp2) / (r + 1) y q = 1 - p. Como lo esperable es una prevalencia inferior a 50%, la muestra que corresponde a verdaderos enfermos según estándar ideal será Nr y la de verdaderos no afectados N.

Ahora bien, podemos indicar que para detectar un LR+ de 2,5 o mayor (en hipótesis unilateral), con un error alfa de 5% y beta de 10%, es decir, una potencia del estudio de 90%, contemplando una prevalencia de afectados por la patología de interés de 25% en la muestra y falsos positivos de 22%, se requiere estudiar un total de 111 casos. Estos se encontrarán distribuidos como 28 y 83 casos. Si la estimación de falsos positivos fuera más alta o más baja se requeriría, respectivamente, menos y más casos integrando la muestra, si no se modifica la LR+ escogida.

Efectuada esta primera fase del cálculo, podemos perfeccionarla estableciendo el intervalo de confianza (IC) que se considere apropiado o aceptable para la sensibilidad. El intervalo de confianza del 95% (IC95%) de p1 0,55 o 55% puede establecerse, por ejemplo, en ± 10%.

El error estándar deseado sería 10/1,96, es decir 5,10.

Se puede calcular el número de casos necesarios para generar ese error estándar, contemplando que el procedimiento se modifica si la proporción se aleja mucho de 0,50. El siguiente cálculo es adecuado para muestras no muy pequeñas y proporción no menor de 0,30 o mayor de 0,70. Varios programas computacionales proporcionan este cálculo. Como sea, para los fines perseguidos, no se requiere extrema precisión. Entonces 5,10 = ((100-55) x 55 / n)^1/2 y despejando n obtenemos 95 casos. Esto significa que para lograr el intervalo de confianza deseado el número de afectados por la patología de interés debe ser de 95 en vez de 28 casos y por lo tanto, conservando la prevalencia estimada, el segundo grupo debería ser de 285 casos en vez de 83. Esto nos da un N total final de 383 casos.

Hay que destacar lo siguiente: si el nivel de sensibilidad encontrado (0,55), tan cercano a 0,50, fuese mayor o menor, el número de casos encontrado (95) generaría un intervalo de confianza más estrecho. Dicho de otro modo, en tales circunstancias se requeriría una muestra menor.

Por otro lado, el intervalo de confianza de p2 será al menos tan estrecho como el de la sensibilidad si la prevalencia es menor que 0,50, como es usual. Pero si no es así y la prevalencia supera 0,50, para la muestra calculada el intervalo de confianza de p2 será más ancho que lo deseado.

Es necesario tener presente que el tamaño de la muestra, para un mismo LR+, cambiará substancialmente con la proporción de falsos positivos. Así, si se establece un LR+ deseable de detectar igual o mayor que 3 y p2 es 0,20, consecuentemente p1 será 0,60 y la diferencia a detectar 0,40 (40%). Para ello se requerirá una muestra pequeña por tratarse de una gran diferencia. Sin embargo, si p2 fuese 0,05, p1 debiera ser 0,15 y la diferencia a detectar sólo de 0,10 (10%), por lo que se requerirá una muestra mucho mayor.

Si se comenzara con la sensibilidad (p1) y su intervalo de confianza para conocer el respectivo tamaño de la muestra para esa proporción, según "r" sería posible conocer la segunda muestra parcial. Sin embargo, de todas maneras se requiere verificar que el N total no es insuficiente para los errores alfa y beta establecidos, particularmente si el valor de p1 se aleja de 0,50, donde se encontrará un "n" más pequeño para el mismo IC y asimismo si la prevalencia supera 0,50, donde la muestra de no afectados sería menor que la de enfermos, con un IC mayor que el deseado para el grupo de afectados.

V. ESTUDIOS EN QUE SE COMPARARÁN DOS PROMEDIOS

Aunque lo más corriente es que se trabaje con los elementos que se señalan a continuación, es posible que se exija estimar las desviaciones estándar de los grupos además de las diferencias de promedios y los errores.

Para esto se requiere establecer el valor del promedio esperado de la variable en el grupo 1 (01), el valor promedio esperado de la variable en el grupo 2 (02), estimar un valor para la desviación estándar de la variable (DE), error alfa y error beta.

La fórmula:

Es posible ver que en este cálculo no se requiere conocer cada promedio, pudiendo entonces establecerse sólo la diferencia clínicamente significativa. La dispersión de los valores, la desviación estándar, es frecuente que no se conozca o bien que se disponga de un valor obtenido en un estudio piloto u otra investigación con pocos casos. Aquí es de interés poder calcular el intervalo de confianza de la desviación estándar que se disponga, con el fin de establecer un margen de valores con los cuales determinar el tamaño muestral mayor y menor. Supongamos que en un estudio piloto sobre 20 casos se encuentra la variable de interés con promedio de 254 y desviación estándar de 31. Se desea poder detectar una diferencia entre promedios de 18. En estas condiciones, el intervalo de confianza del 95% para la desviación estándar es de 23,7 a 44,6 y el tamaño muestral va desde 28 a 96 casos por grupo.

Puesto que la desviación estándar de la muestra es un estimador sesgado de la desviación estándar del universo del cual procede el grupo, señalaremos los factores de corrección apropiados para obviar el sesgo y luego aquellos que establecen el intervalo de confianza del 95% (tabla 3)¹³.

Tabla 3

Recordemos que en la comparación de promedios se presume que las muestras proceden de poblaciones con igual varianza y distribución normal de la variable de interés.

Es necesario tener cuidado de no caer en la siguiente situación al estimar el tamaño de la muestra si se van a comparar dos promedios: Ud. puede efectuar el cálculo señalando que espera detectar una diferencia entre promedios de igual magnitud que la desviación estándar, sin conocer esta. Ello originará por grupo siempre el mismo tamaño, de modo que en realidad no estará efectuando un cálculo del tamaño muestral.

Una observación adicional de interés es la siguiente: cuando la información disponible se refiere a un grupo considerado normal, la desviación estándar, como referencia para el cálculo del tamaño de la muestra, no es muy acertada si consideramos que enfermos de esa misma población mostrarán casi de seguro una varianza mayor. Ello tiene su interés, puesto que al comparar promedios en dos grupos, uno sano y otro enfermo, van a diferir seguramente por las varianzas y la comparación de promedios no se podrá efectuar sin recurrir a correcciones como Welch o Satterwaithe¹³.

De cualquier manera, aunque no discutiremos la conveniencia de utilizar como medidas de resultado los promedios de una variable, hay circunstancias en que su indicación no es la óptima, particularmente si se desea hacer cálculo del número de casos necesario de tratar (NNT) y derivado de ello una estimación económica. En tales situaciones se requiere establecer en los grupos estudiados usualmente la proporción que mejora, que sufre daño, etc. Por otro lado para algunas variables, donde no se analiza resultados de un tratamiento, podrá ser apropiado el estudio de promedios: tal sería la situación de comparar, por ejemplo gasto energético en reposo de eutróficos y obesos.

VI. ESTUDIOS EN QUE UN GRUPO SERÁ SU PROPIO CONTROL

Cuando cada caso será su propio control y se empleará la "t" de Student para muestras relacionadas, se requiere conocer o estimar la diferencia a detectar (dif), la varianza esperada de las diferencias experimentadas por el grupo en los dos momentos estudiados (DEd²), el error alfa y el error beta.

La fórmula a utilizar será:

N = [(Za + Zß)² • DEd² ] / dif²

VII. ESTUDIOS DE CONCORDANCIA

En estudios de concordancia conviene recordar que el índice kappa tiene una distribución normal si el efectivo de la muestra es mayor que 2 g5, siendo "g" el número de categorías en investigación. En tales circunstancias se puede verificar la hipótesis de k = 0. La comparación de dos índices kappa requiere un tamaño muestral mínimo de 3 g² para poder intentarla¹⁴. Otro asunto es establecer cuántos casos se requiere estudiar en una situación específica para detectar un índice kappa como diferente de cero o para comparar dos índices. Lo usual es tener que efectuar un estudio piloto. Supongamos que en un estudio de 50 casos dos observadores clínicos califican los casos como con o sin una determinada manifestación clínica como se señala en la tabla 4.

Tabla 4

En esta, la prevalencia del hallazgo según el observador A fue de 20/50 (40%) con IC 95% (26,7 - 54,8%) y la prevalencia del hallazgo según observador B fue de 25/50 (50%) con IC 95% (35,7 - 64,3%).

Recordemos que si se desea establecer el número de casos necesario para detectar un índice kappa como significativamente diferente de cero (p < 0,05) se requiere calcular primero el error estándar de kappa = 0, donde

EE _k=0 = (p_c / N (1-p_c ) )^1/2 donde

p_c es la proporción de concordancia dada por el azar y N el número de casos a estudiar. El valor de p_c se puede determinar según el intervalo de confianza de la prevalencia del hallazgo clínico para cada observador, de la manera siguiente: Tomamos las prevalencias menores, sabiendo que el total de la tabla es "1" o 100%, de tal manera que conociendo los marginales 0,357 y 0,267 podemos calcular los faltantes, como se muestra en la tabla 5.

Tabla 5

Ahora, teniendo los marginales correspondientes a las casillas "a" y "d", podemos calcular a su vez los valores esperados en esas casillas (0,095 resulta de 0,357 por 0,267, dividido por el total "1"). Finalmente, pc es igual a la suma de 0,095 y 0,471, es decir 0,566. Por este procedimiento podemos llegar a saber que pc fluctuará entre 0,43 y 0,56. Entonces, si se desea detectar como significativamente diferente de cero un índice kappa de 0,25 o mayor, podemos decir que el error estándar de kappa igual a cero debe ser de 0,25/ 1,96, es decir 0,127. Disponiendo del valor pc y del error estándar de kappa = 0 podemos resolver "N" de la fórmula indicada más arriba. Así, obtenemos que "N" fluctuará entre 47 y 79 casos. El tamaño muestral será entonces de 79 casos.

VIII. ESTUDIOS DE COHORTES

En estos se requiere^2,3 conocer p0 (que corresponde a la frecuencia de la condición en estudio en la población no expuesta y se expresa como decimales: 0,05 (5%), RR (que corresponde al riesgo relativo que se considere digno de ser detectado (o mayor). RR de uno significa que el factor de exposición no se encuentra asociado a un aumento del riesgo, puesto que este es igual en expuestos y no expuestos), c que es la relación numérica de expuestos/no expuestos (muestra si las cohortes son de igual tamaño o no), error alfa y su respectivo "Za", y error beta y su respectivo "Zß".

La fórmula proporciona el número de expuestos requeridos y, naturalmente, el de no expuestos como c • N:
 

N = (n'/4)

[

1 + Rc (

(1 + 2 (c +1) n'c |p0 • (RR – 1)|

)]

2

donde

	[Za • Rc {(c + 1) p (1-p)} + Zß Rc {cp0 (1-p0) + pRR (1-p0RR)}]2
n´=
	c [p0 (1-RR)]2

y Rc es raíz cuadrada, p = [(p0 • RR ) + (p0 + c)] / (1 + c) y q = 1-p.

Un ensayo clínico controlado puede ser considerado un seguimiento de dos cohortes, una expuesta al tratamiento experimental y la otra no. La similitud se puede comprobar también en el cálculo del tamaño de la muestra, que genera iguales resultados si se emplea RR de 3, como en el ejemplo recién presentado, o se calcula con el resultado en la forma de 2 proporciones, 0,10 en los no expuestos y 0,30 en los expuestos.

IX. ESTUDIOS CASO - CONTROL

Un desarrollo detallado del problema se puede encontrar en otra parte15.

Consideremos la situación de los estudios no pareados, en donde los requisitos serán conocer la frecuencia relativa de exposición entre los controles (p0), valor que puede resultar difícil de establecer. Por otra parte, la investigación implica una situación de muy baja prevalencia, por lo que la frecuencia de exposición en controles y en la población total resultarán muy similares. Otro requisito será la razón de riesgos (OR) de una magnitud digna de ser detectada por considerarse que tiene interés para el investigador. Aunque no hay una norma general para la elección, se suele considerar que OR inferior a 2 probablemente carece de interés bien definido, por ello habitualmente se escoge una cifra de 2 o más, aunque no muy alejada (3, 3,5 o valor similar). También se requerirá establecer el error alfa y el error beta.

La fórmula para estudios no pareados es:

	[Za Rc (2 p q) + Zß Rc (p1q1 + p0q0)]2
N =
	(p1 – p0)2

donde

p1 = p0 OR / [1 + p0 (OR - 1)], p = (p1 + p0)/ 2, q = 1 - p q1 = 1- p1 y q0 = 1 - p0.

Como conclusión podemos señalar que destaca la importancia de efectuar una estimación adecuada del tamaño muestral al iniciar una investigación biomédica. Por otra parte, se hacen aparentes las posibilidades de errar en este intento y la necesidad, la mayor parte de las veces, de contar con apoyo y asesoría apropiada.

1. Departamento de Pediatrìa y Cirugía Infantil, Campus Norte, Facultad de Medicina, Universidad de Chile.

REFERENCIAS

1. Edmiston ChE, Josephson A, Pottinger J, Ciacco-Tsivitis M, Palenik Ch: The numbers game: Sample-size determination. AJIC 1993; 21: 151-154.

2. Essex-Sorlie D: Medical Biostatistics & Epidemiology. Appleton & Lange, Norwalk,USA, 1995: 124-126.

3. Matthews DE, Farewell VT: Estadística Médica. Salvat Editores SA, Barcelona, España, 1988: 93-107.

4. Fleiss JL: Statistical methods for rates and proportions. 2nd edition, John Wiley & Sons, 1981: 38-48.

5. C.D.C., U.S.A. EpiInfo 6.04a. W.H.O., Geneva, Switzerland, 1996 .

6. Méndez B, Duffau G: Neumonía grave en lactantes: Balance de agua. Acta Pediatr Esp 1998; 56: 437-443.

7. Snedecor GW, Cochran L: Statistical methods. 7th edition, The Iowa State University Press, 1986: 89-122.

8. Blas N, Ortega C, Frankena K, Noordhuizen J: Win Episcope 1.0a. Veterinary Faculty, Zaragoza and Agricultural University, Wageningen, 1996.

9. Duffau G, Emilfork M: Solución hipotónica para hidratación oral. Acta Pediatr Esp 1992; 50: 235-244.

10. Haseman JK: Exact sample size for use with the Fisher-Irwin test for 2 x 2 tables. Biometrics 1978; 34: 106-109.

11. Duffau G: Tamaño muestral en estudios sobre pruebas diagnósticas. Rev Chil Pediatr 1998; 69: 122-125.

12. Steel R, Torrie J: Bioestadística: Principios y procedimientos. Madrid: McGraw-Hill, 1990: 102-105.

13. Lentner C: Introduction to statistics in: Scientific tables, 8th edition, Switzerland: Ciba-Geigy Ltd., 1982: 209.

14. Kramer M, Feinstein A: Clinical biostatistics. LIV. The biostatistics of concordance. Clin Pharmacol Ther 1981; 29: 111-123.

15. Herrera P, Duffau G: Estudio Caso-Control. Editorial Mediterráneo, Santiago de Chile 1997: 61-70.