## versión On-line ISSN 0717-9200

### Bosque (Valdivia) v.23 n.2 Valdivia jul. 2002

#### http://dx.doi.org/10.4067/S0717-92002002000200007

Bosque, Vol. 23 N° 2, 2002, pp. 57-67

ARTICULOS

Modelos de localización de instalaciones: una aplicación para la producción y logística forestal

Facilities Location Models: An Application for the Forest Production and Logistics

JUAN TRONCOSO T. 1, RODRIGO GARRIDO H. 2, XIMENA IBACACHE J. 3

1 Departamento de Ciencias Forestales, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 305, Correo 22, Santiago, Chile. E-mail: jtroncot@puc.cl
2 Departamento de Ingeniería de Transporte, Pontificia Universidad Católica de Chile.
3 Escuela de Ingeniería Forestal, Universidad Mayor.

### Summary

In this article we put forward a mathematical model of the problems of production and logistics in the forest industry. A mixed-integer dynamic optimization model was formulated to solve simultaneously three common problems in the forest environment: production, location of facilities, and distribution. When implemented, the mathematical model allows the strategic choice of the optimum location and size for the forestry facility as well as identification of the production levels and freight flows generated during the considered planning horizon. To evaluate the usefulness of the model, it was applied to the practical problem of the location of a sawmill. All the information about this particular facility that is needed as input to the model was provided by a private company. The model was solved using off-the-shelf software, which also allowed us to evaluate the responsiveness of the model to changes in the initial conditions.

Key words: Facilities location, forestry production and logistics, mixed-integer programming.

### Resumen

Este artículo propone una modelación matemática para el problema de producción y logística en la industria forestal. Se formuló un modelo dinámico de programación mixta para resolver simultáneamente tres problemas comunes en el ámbito forestal: el de Producción, el de Localización de Instalaciones y el de Distribución de Carga. El modelo matemático implementado permite la elección estratégica del sitio y tamaño óptimos para la instalación forestal que se desee construir, además de la identificación de los niveles de producción y de los flujos de carga que se generarán en el horizonte de planificación considerado. Finalmente, se realizó la aplicación práctica del modelo, validando su utilidad en la localización de un aserradero. Para ello se contó con información proporcionada por una empresa forestal de la VIII Región de Chile. El modelo fue óptimamente resuelto utilizando el programa LINGO 5.0, el cual también permitió evaluar la capacidad de respuesta del modelo frente a cambios en la información considerada en la planificación inicial.

Palabras claves: Localización de instalaciones, producción y logística forestal, programación mixta.

### INTRODUCCION

El fuerte desarrollo experimentado por el sector forestal chileno en estas últimas dos décadas, basado principalmente en el aprovechamiento de las plantaciones de Pinus radiata y de las del género Eucalyptus (Troncoso 1999), ha significado la creación de grandes plantas de transformación de la madera, en especial plantas de celulosa, aserraderos y plantas de tableros, que principalmente se dedican a la exportación de sus productos.

Por tal motivo, el presente artículo entrega una modelación matemática para el Problema de Producción y Logística en la Industria Forestal. Más específicamente, se pretende modelar en forma conjunta los problemas de Producción Forestal (PPF), Localización de Instalaciones Forestales (PLIF) y de Distribución de Carga Forestal (PDCF), de manera que pueda servir de base para las futuras inversiones en distintas plantas de transformación, apoyando principalmente las decisiones asociadas a la localización y tamaño óptimos de las instalaciones y a la planificación global de la producción y transporte de productos forestales.

La producción y logística forestal. Cuando se analiza la logística de cualquier rubro productivo podemos identificar que dos elementos claves de dicho proceso son el Problema de Localización de Instalaciones (PLI) y el de Distribución de carga (PDC). Es así como para Christopher (1986), la logística se define simplemente como el proceso de manejar estratégicamente el movimiento y almacenamiento de materiales, partes y productos finales, desde las fuentes abastecedoras hacia la planta y desde ésta hacia los clientes. La logística está entonces relacionada con el manejo del flujo físico que comienza en las fuentes de oferta y termina en los puntos de consumo. Dentro de los tópicos que abarca la logística están la localización de instalaciones, niveles de inventario, administración de materiales y sistemas de información y el transporte.

No obstante, y previo a la operación de la logística, es la producción la encargada de generar la carga que deberá moverse entre todos los actores del sistema de distribución. En la industria forestal, y en especial para este problema, existen dos fuentes productoras o generadoras de carga. Primero están los bosques, quienes abastecen con la madera necesaria a la instalación para fabricar los distintos tipos de productos, por lo que es importante identificar los niveles de cosecha de madera que se requerirán en cada período del horizonte de planificación. Y segundo, está la instalación que elaborará los productos terminados en función de las demandas proyectadas.

Para el caso del problema de producción forestal (PPF), a nivel mundial existen varios sistemas desarrollados con programación matemática y que permiten su planificación estratégica; sin embargo, ninguno integra tales decisiones con las de localización de instalaciones. En el ámbito nacional, la única herramienta desarrollada para la planificación estratégica es la presentada por Epstein et al. (1999), y denominada MEDFOR. Este software principalmente apoya las decisiones de producción sustentable de madera en el horizonte de planificación junto con las de flujo hacia las plantas industriales, sin embargo, tampoco integra las decisiones de localización.

Con respecto al PLI, éste es uno de los problemas clásicos que se ha estudiado a través de la Investigación de Operaciones, analizando diversas aplicaciones en distintas áreas y desarrollando una serie de técnicas de solución, específicamente heurísticas y algoritmos, que permiten encontrar soluciones satisfactorias en menores tiempos computacionales, cuando los problemas son muy complejos (Ahuja et al. 1993).

Si se analiza la literatura existente en el tema, las instalaciones o plantas que se localizan generalmente abarcan decisiones estratégicas que buscan minimizar un costo económico o maximizar algún indicador de bienestar social.

En el caso forestal, son pocas las publicaciones que han abordado el PLI, existiendo básicamente la evaluación de localizaciones de plantas procesadoras de madera, como por ejemplo Plantas de OSB (Oriented Strandboard) (Lin et al. 1996). También es posible encontrar algunas aplicaciones de la teoría de localización de instalaciones a la planificación de la cosecha forestal (Dysktra y Riggs 1977). No obstante, la utilización aplicada del PLI permitiría principalmente la planificación estratégica del flujo de carga que se generará entre los centros de oferta (bosques) y la planta procesadora, y entre la planta y los centros de demanda, pudiendo ser utilizado como herramienta de análisis y de apoyo a la toma de decisiones.

Por su parte, el PDC también ha sido modelado matemáticamente. Al respecto, Bender (1990) se refiere a las ventajas de usar técnicas de optimización para resolver el problema de la distribución de carga. Indica que un modelo matemático que permita identificar la mejor solución para un conjunto dado de condiciones, definiendo claramente cuáles son las instalaciones a localizar y los flujos de carga, es el ideal, sobre todo porque desde la segunda mitad de la década de los sesenta los computadores pueden ser usados para resolver problemas de grandes dimensiones. Además señala que es muy común el uso de técnicas de localización de instalaciones para resolver el problema de logística.

### MATERIAL Y METODOS

Sitios posibles de localización y distancias de transporte. La mayor parte de la literatura existente en el tema de localización de instalaciones ha utilizado un grafo bipartito (figura 1) para modelar los problemas en estudio. En este grafo, el primer conjunto de nodos se emplea para representar todos los sitios disponibles para la localización, y en el segundo grupo, todos los nodos correspondientes a los centros de demanda. Además, cada sitio posible está conectado a todos los centros de demanda, por lo que cualquiera sea el sitio escogido existirán rutas que unan la instalación con las demandas (ejemplos de este tipo de modelación se presentan en Kloth y Blakley (1971), Klincewicz (1990), MacCauley y Caulfield (1990), , Shulman (1991), Revelle y Laporte (1996) y Lin et al. (1996)).

 Figura 1: Red bipartita usada en problemas de localización. Bipartite network used in location problems.

Esto último ha generado que dentro de los costos de transporte, sólo se considere el de la distribución de los productos terminados y no se incluya el costo de transporte de las materias primas que también es afectado por la ubicación de la instalación. Por esta razón, el problema analizado en este trabajo fue modelado considerando tres conjuntos de nodos, de manera similar a la utilizada por Faminow y Sarhan (1983) y Klincewicz (1990) (figura 2), con la diferencia de que estos autores no consideran arcos entre los nodos de un mismo conjunto de sitios.

 Figura 2: Red del problema en estudio. Network for the problem in the study.

En el primer conjunto de nodos de la figura 2, denominado como Sitios en Zonas de Predios, cada nodo representa un predio (conjunto de rodales) que abastecerá con madera a la instalación forestal (IF). El segundo grupo o Sitios en Interzonas está conformado por nodos intermedios que representan lugares en algún punto (empalme u otro lugar clave) del tramo que une los bosques con los centros de demanda, y que eventualmente también son considerados como aptos para localizar. Finalmente, está el grupo de nodos que indica cada uno de los centros de demanda, por lo que se le denomina Sitios en Zonas de Demanda.

Es importante destacar que para esta modelación cualquiera de los nodos existentes en los tres conjuntos se transforma en un lugar potencial para la ubicación de la instalación. Esta consideración no aparece utilizada en la bibliografía revisada, por lo que representa una importante innovación en los modelos de localización. Para realizar lo anterior es necesario que cada nodo de cualquier conjunto de sitios debe estar conectado con cada uno de los otros nodos, que pertenezcan al mismo grupo o a uno distinto. En este sentido, en el problema analizado se supone que para cada combinación de nodos existe por lo menos un camino.

Con respecto a las distancias de transporte entre dos nodos, y al igual que en la mayoría de los problemas modelados sobre redes, estas distancias corresponden a las mínimas, por lo que es necesario aplicar un algoritmo de ruta mínima de "todos a todos" (Algoritmo de Floyd) (Daskin 1995) para obtener y utilizar dichas distancias como datos de entrada para el modelo.

Número de instalaciones a localizar. Para efectos de reflejar al máximo la realidad forestal, considerando que la decisión es a nivel estratégico (20 años) y que las inversiones en IF son bastante elevadas, se evaluó la localización de sólo una instalación. Otro factor considerado para decidir la construcción de sólo una instalación es que dentro de las principales aplicaciones encontradas del PLI a problemas forestales, esto es, las de Lin et al. (1996) y MacCauley y Caulfield (1990), también en ellas sólo se plantea la construcción de una planta, la que en ambos casos corresponde a una fábrica de tableros OSB (Oriented Strandboard).

El tamaño de la instalación y la posibilidad de expansión. Pese a que en la literatura son pocas las aplicaciones que, además de definir la ubicación óptima, entregan el tamaño óptimo de la instalación (Kloth y Blakley 1971, Faminow y Sarhan 1983, Lin et al. 1996), el modelo desarrollado fue diseñado para que se determinaran conjuntamente ambas variables. Para ello, junto con todos los sitios posibles que tiene el problema para localizar la IF, también se cuenta con un número dado de posibles tamaños para la instalación, y cuya decisión está influenciada principalmente por las demandas que existan en los distintos períodos.

Sin embargo, la integración de ambas decisiones en un solo modelo muchas veces genera soluciones poco prácticas en la realidad, debido a que como deciden un tamaño que permite cumplir con todas las demandas, en especial con la mayor de ellas, se producen períodos en los cuales la capacidad de la instalación es subutilizada, transformándose finalmente en una decisión poco eficiente. Para evitar tal efecto se utilizan las ventajas que poseen algunos modelos de localización dinámicos (múltiples períodos), los cuales permiten decidir, posterior a la construcción de la instalación, alguna expansión de la capacidad en cualquiera de los períodos en que la demanda exceda a la capacidad instalada inicial. Con lo anterior se disminuyen los períodos de subutilización de la capacidad y se modela en mejor medida la realidad.

De esta manera, el modelo puede determinar, en cualquiera de los períodos que conforma el horizonte de planificación, cuándo resulta más conveniente realizar una expansión de la capacidad de la IF para satisfacer las demandas.

Niveles de corta de madera y su transporte. Una de las diferencias principales que posee la modelación que se presenta en este estudio con otras aplicaciones forestales previas, es el hecho de definir los niveles de cosecha o corta de madera desde los rodales que abastecerán con la madera requerida a la IF, en cada uno de los períodos. Esta información permitirá guiar otro tipo de decisiones a nivel estratégico, como, por ejemplo, la planificación de la red de caminos que será necesario disponer, y algunas decisiones de cosecha forestal.

Además de los niveles de cosecha, el modelo también determina los flujos de madera desde los predios hacia la ubicación seleccionada, por lo que será posible identificar las rutas que serán utilizadas en cada período y, por ende, determinar los caminos a usar y la cantidad de camiones que se necesitarán para el transporte de toda esa madera.

Niveles de elaboración de productos y su transporte. Por el hecho de tratarse de un modelo de planificación estratégica, fue necesario pronosticar los niveles de requerimiento del producto elaborado que se generarán en los distintos Centros de Demanda. Con estas demandas, estimadas para cada uno de los períodos, el modelo establece los flujos de producto que se producirán entre la IF y los distintos centros demandantes, con el objeto de cumplir con sus demandas. Esto permitirá conocer las rutas que se utilizarán para la distribución del producto por período, así como el requerimiento de vehículos necesarios para el transporte de toda esa carga.

La función objetivo para resolver el PPLIF minimiza el valor actualizado de los costos totales de abastecimiento y transporte de madera, los costos de operación, los costos de transporte de productos y los costos fijos de expansión en el período que corresponda. Además, se suma la inversión asociada a la construcción de la instalación en cualquiera de los sitios disponibles. Para la actualización de los costos se emplea una tasa de descuento determinada para cada período.

Las restricciones [2] establecen que sólo se puede construir una instalación de un tamaño dado, y en sólo uno de todos los sitios posibles para localizarlas, es decir, en alguno de los nodos predios, nodos intermedios o nodos de demandas existentes.

Las restricciones [3], [4] y [5] están asociadas con la capacidad de la instalación. La ecuación [3] determina la capacidad de producción que deberá tener la instalación al inicio del horizonte de planificación. Luego, las restricciones [4] aseguran que dicha capacidad más una posible expansión (en cualquier período) sea mayor o a lo menos igual que la demanda total en cada período de planificación y, finalmente, la restricción [5] permite a lo más una expansión de nivel k en todo el horizonte de planificación.

El límite a la cantidad de superficie cortada en cada rodal de cualquiera de los nodos predios durante todo el horizonte está dado por las restricciones [6]. Estas garantizan que no se pueda cortar más superficie que la disponible.

La ecuación [7] permite calcular el volumen total de madera cortada desde cada nodo predio por período, en base a la multiplicación del volumen de madera por hectárea (volumenirt) que habría durante un período determinado en cualquiera de los rodales, por la cantidad de superficie cosechada en ese rodal. De esta manera, es posible calcular el volumen cortado sin la necesidad de trabajar con inventarios, ya que el término volumenirt refleja el crecimiento de madera por hectárea de un período a otro.

Otras ecuaciones necesarias, son las ecuaciones [8], ya que permiten determinar la cantidad de madera requerida por período para producir una cantidad dada de producto terminado. Para tal efecto se utiliza un factor de conversión que transforma los m3 de productos terminados en m3 de madera. Por otro lado, las ecuaciones [9] calculan los volúmenes totales de madera cosechada por período desde todos los nodos predios intervenidos.

Luego, basado en las restricciones [6], y en las ecuaciones [7], [8] y [9], las restricciones [10] permiten, en el caso de que la oferta de madera propia no alcance para abastecer a la instalación, determinar el nivel de compra de madera a terceros por período.

Por otra parte, las ecuaciones [11a] establecen el volumen total máximo de madera transportada (m3) desde los distintos nodos predios hacia la instalación, independiente de la localización que haya sido escogida; y las ecuaciones [11b] obligan a que la madera transportada desde cada nodo predio por período sea igual al volumen de madera cortada en dicho nodo.

De manera similar, las ecuaciones [12] entregan el volumen total de producto transportado (m3) desde la instalación, independiente de su ubicación, hacia los distintos centros de demanda.

Finalmente, para la cuantificación de costos, desde las ecuaciones [13a] hasta las [13f], se realizan los cálculos de los costos totales de: abastecimiento de madera, transporte de madera, operación (producción) y transporte de productos, todos ellos por período; además del costo fijo de construir la instalación y el costo de expansión por período.

MODELACION MATEMATICA

La modelación matemática que se presenta a continuación está basada en las variables de decisión, variables auxiliares, parámetros y coeficientes técnicos explicados en el Apéndice.

Función Objetivo:

Sujeto a:

Restricciones de Localización:

[Sólo una instalación debe localizarse]

Restricciones de Capacidad de la Instalación:

[Requerimientos de capacidad de producción por período]

[Expansión de la capacidad de producción]

[Superficie máxima disponible en los rodales de cada uno de los nodos-predios]

[Niveles de cosecha de madera por período]

Restricciones de Transporte de Madera y Productos:

[Volumen de producto transportado desde la instalación hacia los nodos de demanda]

Ecuaciones de costos e ingresos:

[Costo total de abastecimiento de madera por período]

[Costo total de transporte de madera por período]

[Costos operacionales por período]

[Costo total de transporte de productos por período]

[Costo de instalación]

[Costo de expansión por período]

En este punto se presenta la aplicación práctica del modelo desarrollado, incluyendo la descripción del problema resuelto, el método usado para resolverlo y la validación del modelo como una herramienta de apoyo a la toma de decisiones.

Descripción del problema. El problema resuelto consistió en la localización de un nuevo aserradero en la VIII Región de Chile, basado principalmente en la información proporcionada por una empresa forestal de la zona; y el cual implica la decisión de dónde y de qué tamaño se construiría el aserradero, y cuáles serían las producciones y los flujos de madera aserrable y aserrada en todos los períodos del horizonte de planificación.

El problema consideró un total de 34 nodos, 20 períodos de planificación, 5 tamaños posibles para el aserradero y 3 niveles de expansión. Estas dimensiones generaron un total de 29.112 variables de decisión y de las cuales 230 fueron variables binarias. Respecto al número de restricciones, éstas alcanzaron una cantidad de 4.944.

La red del problema. Luego de definir las ubicaciones geográficas para los 20 nodos predios, 10 nodos intermedios y 4 nodos de demanda, se procedió a determinar las distancias mínimas de transporte entre cada par de nodos. La red resultante correspondió a una red fuertemente conexa y la cual debido a la dificultad para ser representada gráficamente, no es presentada en este trabajo, pero sigue el mismo formato a la mostrada en la figura2.

Con respecto a los 20 nodos predios, éstos se encuentran ubicados en diferentes puntos entre la VIII y IX Región de Chile, que es donde se concentra en gran proporción el patrimonio de plantaciones de pino radiata de la empresa. Para el caso de los nodos intermedios, éstos se localizaron en empalmes identificados como claves, y los cuales se ubican generalmente a un costado de la Carretera Panamericana Sur. Finalmente, los nodos de demanda se encuentran representados por las ciudades de Chillán, Concepción y Los Angeles, las cuales constituyen lo que se denomina mercado nacional, abarcando casi el 5% de las ventas anuales. El resto corresponde a mercado de exportación, por lo que el nodo de demanda considerado es el Puerto de San Vicente, por donde sale el 100% de las exportaciones de la empresa.

La técnica de solución. Debido a la baja cantidad de variables binarias que posee el problema modelado (230), éste fue resuelto utilizando el software de optimización LINGO 5.0 (Lindo systems Inc. 1999), el cual emplea el algoritmo de Branch & Bound para resolver los problemas enteros y mixtos, además de aplicar algunos tipos de cortes (Cortes de Gomory, por ejemplo). No obstante, y pese a la existencia de esas 230 variables binarias, los tiempos de solución obtenidos en diferentes corridas efectuadas como pruebas del modelo variaron de 15 minutos hasta alrededor de 8 horas (en tiempo de CPU), considerando el mismo tamaño del problema pero sólo cambiando los datos de entrada. Esto se puede explicar porque en programación entera, un rol importante en la solución del problema lo tiene la instancia a resolver.

Por otro lado, en cuanto al abastecimiento con madera aserrable, el modelo sólo aprovecha el patrimonio de la empresa para tal efecto, lo que equivale a la práctica actual de la empresa, puesto que se abastecen en un 100% con madera propia. En cuanto a la superficie total cosechada en el horizonte de planificación, ésta alcanza una cantidad de 21.504 hectáreas, correspondientes al 35% de la superficie total considerada.

En relación a los niveles de producción, y basado en las demandas pronosticadas, los volúmenes anuales de madera aserrable requeridas por el aserradero varían de 520.000 m3, en el primer año, a casi 550.000 m3 en el año 20, con un valor promedio de 533.000 m3.

Con respecto al valor de la función objetivo, el costo mínimo actualizado fue levemente superior a los 231 millones de dólares, de los cuales el 11% corresponde a la inversión en el aserradero, el 8 y 6% comprende los gastos en transporte de madera aserrable y aserrada, respectivamente; el 41% son costos de operación del aserradero y finalmente, el 34% es por abastecimiento de madera aserrable. (El tiempo de solución fue de 53 minutos y 36 segundos en un computador Pentium II con velocidad de 300 Mhz).

Cabe destacar que las diferencias pueden aún ser mayores que las registradas en la función objetivo, puesto que el modelo desarrollado, además de localizar el aserradero, establece los niveles de producción de madera y los flujos de transporte para cada uno de los períodos del horizonte de planificación, generando con ello que la solución subóptima obtenida sea, probablemente, también de mejor calidad que las decisiones realmente tomadas y ejecutadas por la empresa.

Capacidad de respuesta del modelo. Para evaluar la capacidad del modelo de readecuar las decisiones frente a cambios en la información inicialmente considerada, se trabajó con dos antecedentes claves. El primero corresponde a la oferta de madera, y más específicamente la superficie de bosques con madera aserrable. En este caso, se supuso un brusco cambio de las condiciones iniciales asociadas a las superficies a cortar por período. Para ello se asumió, por ejemplo, que en el año 5 se produjo un incendio forestal que destruyó gran parte de la madera que se aprovecharía en los próximos períodos, impidiendo con ello que se pueda cumplir con lo previamente planificado.

Para realizar lo anterior, se asignó un valor cero al parámetro de superficie disponible de algunos predios que habían sido seleccionados por el modelo para abastecer con madera al aserradero en los períodos posteriores al incendio. Además, hubo que indicar al modelo cuáles fueron las decisiones iniciales de localización y tamaño del aserradero, asignando el valor uno a la variable de decisión correspondiente. Posterior a esto, se corrió nuevamente el modelo. En esta nueva solución del problema, se observó una reasignación de los flujos de madera aserrable desde predios que inicialmente no fueron seleccionados, pero que sí permitían cumplir con las demandas pronosticadas hasta el final del horizonte de planificación. Estas nuevas decisiones hicieron variar sólo los costos de transporte de materia prima, obteniendo, por lo tanto, una solución óptima para este nuevo escenario, pero de mayor costo al inicialmente calculado.

Un segundo antecedente que se modificó fueron las demandas. En este caso se supuso que por problemas económicos de uno de los principales clientes de madera aserrada, la demanda real en un período determinado se reducía notoriamente en comparación con lo proyectado. Esto obliga a que la producción total de madera aserrada deba disminuirse para ese período y, por lo tanto, también cortarse y transportarse menos madera desde los bosques hacia el aserradero, quedando ésta disponible para su uso en el futuro. Una vez ejecutado nuevamente el modelo, se produjo una reasignación de todos los flujos y niveles de producción de los insumos y productos, obteniéndose una solución óptima bajo las nuevas condiciones.

### CONCLUSIONES

El enfoque dado al problema se diferencia de las aplicaciones típicas encontradas en cualquier tipo de industria, en el hecho de trabajar sobre una red conformada por tres tipos de nodos (nodos predios, nodos intermedios y nodos de demanda), todos los cuales constituyen los sitios posibles para localizar la instalación.

El modelo desarrollado permite ampliar dinámicamente la capacidad instalada inicialmente, aumentándola en un nivel previamente establecido por el planificador. Esto otorga una mayor flexibilidad y disminuye una posible subutilización de los equipos.

La estrecha relación existente en la modelación del problema entre las variables de localización y tamaño de la instalación con las de producción y transporte de madera y productos, refleja la necesidad de que modelos de este tipo deben necesariamente integrar los problemas de producción y logística de cualquier industria.

Dada la dimensión otorgada al problema a resolver, el modelo fue fácilmente solucionable utilizando un software de optimización estándar, puesto que fue posible encontrar soluciones óptimas al problema en bajos tiempos de CPU. Esto es aceptable sobre todo porque se trata de una herramienta para la planificación estratégica. Además, debido al tipo de modelación realizada, del total de variables de decisión del modelo menos del 1% corresponden a variables enteras (binarias).

La validación del modelo demostró que éste es perfectamente aplicable para este tipo de decisiones, puesto que entrega resultados razonables y mejoraría las actuales prácticas de la empresa forestal. Con relación a la capacidad de respuesta, el modelo presentó una gran versatilidad para adaptar las decisiones frente a cambios repentinos de las condiciones iniciales, modificando principalmente las decisiones de producción y transporte.

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### APENDICE

NOMENCLATURA DEL MODELO MATEMATICO

Indices

i, j : Nodos. (1, ..., I)

r : Rodales en cada nodo. (1, ..., R)

s : Tamaños posibles de la instalación. (1, ..., S)

k : Niveles posibles de expansión en capacidad (1, ..., K)

t, p : Período de planificación. (1, ..., T)

Variables de decisión

LOCALIZAis : Variable binaria que indica si una instalación de tamaño s se localiza en el nodo i.

EXPANSIONkp : Variable binaria que indica si la capacidad de producción de la instalación se aumenta en un nivel k durante el período p.

SUPCORTirt : Superficie a cosechar en el rodal r perteneciente al nodo-predio i en el período t. [ha]

Variables auxiliares

VOLCORTAit : Volumen de madera cortada en el nodo-predio i en el período t. [m3]

VOLMADijt : Volumen de madera transportada desde el nodo-predio i hasta la instalación localizada en el nodo j, durante el período t. [m3]

VOLPROijt : Volumen de producto transportado desde la instalación localizada en el nodo-predio i hasta el nodo-demanda j, durante el período t. [m3]

VOLTOTALt : Volumen total de madera cosechada desde los nodos-predios en el período t. [m3]

CAPINST : Nivel de capacidad de producción inicial seleccionado por el modelo. [m3]

CTABASMAt : Costo total de abastecimiento de madera en el período t. [US\$]

CTTRANMAt : Costo total de transporte de madera en el período t. [US\$]

CTOPERACt : Costo total operacional en el período t. [US\$]

CTTRANPROt : Costo total de transporte de productos en el período t. [US\$]

CTEXPt : Costo de expansión de la capacidad productiva en el período t. [US\$]

CTINST : Costo fijo de construcción de la instalación. [US\$]

Parámetros de restricciones

Demandant : Nivel de demanda en el centro de demanda n, en el período t. [m3]

Supdispir : Superficie disponible para corta en el rodal r perteneciente al nodo-predio i. [ha]

Coeficientes técnicos

factualt : Factor de actualización del capital para el período t.

volumenirt : Volumen de madera cosechable por unidad de superficie del rodal r perteneciente al nodo-predio i en el período t. [m3/ha]

caps : Capacidad de producción para una instalación de tamaño s. [m3]

capextrak : Capacidad adicional de producción para una expansión de nivel k. [m3]

fconversion : Factor de conversión de una unidad de producto en volumen de madera. [m3 de madera/m3 de producto]

ppropiot : Precio por abastecimiento de madera desde bosques propios en el período t. [US\$/m3]

pcomprat : Precio por abastecimiento de madera desde terceros en el período t. [US\$/m3]

distij : Distancia de transporte entre los nodos i y j. [km]

coperact : Costo unitario de producción durante el período t. [US\$/m3]

ctprot : Costo de transporte de producto por unidad de distancia en el período t. [US\$/m3-km]

cinstis : Costo fijo de localizar una instalación de tamaño s en el nodo i. [US\$]

cexkt : Costo de expandir la capacidad en un nivel k en el período t. [US\$]

Recibido: 05.11.2001

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