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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.16 n.2 La Serena  2005

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000200004 

 

Información Tecnológica-Vol. 16 N°2-2005, págs.: 23-28

MATERIALES

Determinación de los Límites de Esfuerzo para un Sistema Continuo de Elastómero Termoplástico

Stress Limit Determination for a Continuous System of Thermoplastic Elastomer

J. L. Pulido-Delgado1  y  F. J. Medellín-Rodríguez2*
Facultad de Ingeniería, Área Ingeniería Civil1, Facultad de Ciencias Químicas2, Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP), Av. Dr. Manuel Nava 6,
Zona Universitaria, 78210, San Luis Potosí - México (e-mail: francmr@uaslp.mx)

*autor a quien se debe dirigir la correspondencia


Resumen

Se presentan los resultados de un estudio de simulación de las propiedades mecánicas bajo tensión del poliuretano-diacetileno (PU-PDA)-poli oxido de tetrametileno (POTM) [HDI-5,7-1000], un miembro de la familia de los elastómeros termoplásticos que se caracteriza por tener propiedades cromo-mecánicas. La simulación consistió en la generación de resultados de deformación uniaxial, por medio del cálculo de esfuerzos verdaderos, como función de la temperatura. Se obtuvo primeramente una ecuación constitutiva la cual describió los estados viscoelásticos del sistema y se solucionó mediante elementos finitos. Los resultados de simulación indicaron una buena correlación con los datos experimentales por lo que el modelo constitutivo utilizado y la implementación numérica se consideran adecuados para los fines de este estudio..


Abstract

The results of a study on the simulation of the uniaxial mechanical deformation process of the thermoplastic elastomer polyurethane-diacetylene (PU-PDA)-poly(tetramethylene oxide) (POTM) [HDI-5,7-1000], an important complex polymer of the type thermoplastic elastomer, with chromo-mechanical properties. The simulation involved the generation of true stress calculation as a function of temperature. First, a constitutive equation that described the visco-elastic states of the system was obtained and solved using finite elements. The simulation results indicated good correlation with experimental data, so the constitutive model and the numerical calculations were considered adequate for the purpose of this study.

Keywords: thermoplastic elastomers, stress limit, deformation, simulation, finite elements.


 

INTRODUCCIÓN

El estudio de la deformación mecánica de los polímeros ha sido una rama muy activa de investigación en los últimos años. Algunos análisis simples han utilizado técnicas basadas en el concepto pistón-resorte, y otras técnicas complejas han utilizado una amplia variedad de modelos viscoelásticos (Askadskii, 1996, Birley et al.,1999 y Cahn et al., 1998). En las técnicas pistón-resorte, los parámetros del modelo se ajustan de manera que las curvas de deformación, obtenidas experimentalmente, sean descritas por los modelos, o combinaciones de ellos, lo más fielmente posible. No obstante, estos intentos de simulación, cuyo objetivo es determinar el diagrama completo de tensión-deformación, son limitados y poco precisos. Por otro lado, los modelos viscoelásticos intentan simular con principios básicos a la deformación mecánica, aunque son mas difíciles de entender que en el primer caso. 

En los últimos años se ha desarrollado una nueva serie de elastómeros que contienen diacetileno. Estos combinan de manera éxitosa las propiedades elastoméricas de los poliuretanos (PU) con las propiedades ópticas de los polidiacetilenos (PDA). En estos últimos, los segmentos duros PU-PDA se pueden combinar con otros segmentos blandos, por ejemplo de de poli(oxido de tetrametileno) (POTM) para dar nuevos materiales con  propiedades opto-mecánicas. Al irradiar estos materiales en el estado sólido se produce una reticulación en los segmentos duros de diacetileno y el producto resultante es capaz de sufrir cambios de color asociados a la deformación y a la temperatura. A pesar de ser materiales muy atractivos para aplicaciones prácticas, no existen hasta la actualidad modelos matemáticos para la deformación mecánica de materiales con las características de los (PU-PDA)-POTM. Esta implica una zona de deformación elástica seguida por una de deformación viscoelástica.

En general, existen en la literatura varios métodos de cálculo de propiedades mecánicas de polímeros  basados en la estructura química de los mismos. Entre estos se puede mencionar los de Askadskii (1996), Bicerano (1993) y Van Kreveelen (1990). Sin embargo, los rangos de predicciones de esfuerzos en estos trabajos son relativamente limitados por lo que no fue posible emplearlos en este trabajo.

De acuerdo a los antecedentes anteriores, el objetivo de este estudio fue desarrollar un modelo de deformación mecánica de un PU-PDA-POTM, el [HDI-5,7-1000], denominado comúnmente ecuación constitutiva, con el propósito de correlacionar al mismo con resultados experimentales de deformación mecánica en función de la temperatura.

 

MODELADO

El proceso de modelación implicó dos etapas, en la primera etapa se efectuó la obtención de una ecuación constitutiva, así como la determinación de los parámetros reológicos requeridos. La ecuación constitutiva así obtenida describió los estados de deformación en el sistema. La segunda etapa implicó el calculo de la distribución de esfuerzos, utilizando la ecuación constitutiva, a través del método de elemento finito. De manera particular, se diseñó un procedimiento para calcular los componentes del tensor de esfuerzos de Cauchy a diferencia de los de Finger utilizados en otros métodos (Eremenko, 1991).

Ecuaciones constitutivas.

Para describir el comportamiento de un material visco-elástico se recurre a la expresión básica del equilibrio mecánico dada por:

 

                (1)

 

La expresión anterior se denomina ecuación integral de Volteare de segundo grado (Adhikary D., et al, 1999, Rabotnov 1977, Sajarov y Almendaja,1982,) en donde la  expresión  es la función de fluencia.

Considerando los limite existentes, es decir, que los materiales poseen “memoria”, entonces  en el intervalo de  de la ecuación (1). Por lo tanto, esta ecuación se puede escribir como: 

 

                   (2)

 

en cualquier momento del intervalo bajo las condiciones de esfuerzo existente y para una deformación diferente de cero, esto es, para aquellos materiales que conservan “memoria” en el transcurso del tiempo , se puede aplicar el teorema de integral media a la ecuación (2) resultando;

 

                (3)

 

la ecuación anterior depende del comportamiento de la función  bajo condiciones  manteniendo a  constante, en un incremento de t en el cual la deformación de los materiales puede variar. Si se considera que el tiempo tiende a infinito, la función de la ecuación (3) tiende a cero indicando que este tipo de materiales “olvidan” por completo su comportamiento en el transcurso del intervalo de tiempo . Si en la ecuación (3) el tiempo se hace tender a cero, la memoria de esfuerzos  permanece constante, lo cual es contrario a lo esperado en un comportamiento real.

 

Una de las funciones que responde al principio de la extinción de la memoria se expresa como el exponencial que describe la fluencia en un tiempo invariable y esta dada por:

 

                              (4)

 

Donde A y son propiedades del material. Si ,  la función es monótona y tiende a cero. Utilizando las ecuación (4), resolviendo bajo las condiciones anteriores, y  diferenciando a través del tiempo

 

          (5)

 

ecuación que en su forma compacta resulta:

 

                               (6)

 

Si se multiplica la ecuación (6) por se obtiene:

 

                     (7)

 

Después de integrar desde el intervalo de 0 hasta t :

 

(8)

 

Utilizando en (8) las condiciones iniciales t=0 y s=0 se obtiene c=0, entonces, integrando por partes el segundo miembro de la ecuación:

 

                          (9)

 

De este modo, la función de relajación es exponencial y responde a las condiciones  de la “memoria”. La expresión (9) es la ecuación constitutiva utilizada en la simulación.

 

Formulación de elementos finitos

El método de los elementos finitos (MEF) es un método numérico de análisis matemático que cumplió con las condiciones requeridas para ser utilizado en la modelación y simulación. El objetivo en este caso fue determinar la curva de esfuerzos para el sistema en estudio (Sajarov y Almendaja, 1982, Okopny Y., et.al 2002 y Zienkiewicz y Taylor 1989).

La simulación se concentró en analizar altas deformaciones en base a la metodología propuesta por Rabotonov (1977) la cual considera un tipo de deformación que toma en cuenta la historia de las cargas

Considerando un elemento arbitrario finito -como el vector función de desplazamientos, se tiene:

 

                                   (10)

 

Donde  es comúnmente la matriz de la función de coordenadas y  es el vector nodal de desplazamientos modificados. La deformación y los esfuerzos modificados en el n-elemento se representan entonces como

 

        (11)

 

La ecuación anterior depende físicamente de la teoría de la deformación de herencia sujeta a incrementos, por lo tanto:

 

(12)

 

de acuerdo a la teoría de herencias:

 

     (13)    

 

Las ecuaciones de la teoría de deformación de herencias (13) y de la teoría de la deformación (12) presentan entonces una expresion similar.

De igual forma que en la teoría elástica, si en la expresión (13) se cambia  por  (modulo de elasticidad transversal), se obtiene la expresión:

 

                        (14)

siendo .

 

Utilizando la  aproximación de la  ecuación de variación  tipo:

 

                     (15)

 

si se sustituye en la ecuación (15) las expresiones (10) y (12), se obtiene el potencial de energía

 

                                  (16)

 

utilizando el concepto de la matriz de rigidez:

 

 

se llega a:

                             (17)

 

Si en la derivación se considera una fuerza arbitraria, la variación de los desplazamientos del vector modificado nodal en la ecuación (17) se puede calcular con las matrices principales correspondiente al MEF para dichos elementos.

 

                                      (18)

 

La matriz básica correspondiente del MEF tendrá entonces la siguiente forma:

 

        (19)   

 

en donde la integral puede ser evaluada con ayuda del método de Newton-Raphson. Este ultimo se aplicó para resolver la ecuación en un intervalo utilizando el siguiente algoritmo:

 

            (20)

 

donde  por lo tanto, la ecuación de equilibrio de elementos finitos se convierte en:

 

      (21)

 

La solución de la ecuación (21) requiere un procedimiento de calculo iterativo.

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los especimenes para el cálculo de los esfuerzos de tensión son típicamente estándares ASTM (D 638 M). En la simulación, se considera un elemento prismático de espesor constante y se asume que no hay efectos a lo largo de la dirección del espesor (z). El sistema fue discretizado utilizando una interpolación bilineal de 4 nodos de elementos isoparamétricos (cuadrados) con 8 grados de libertad de los desplazamientos nodales. La malla del elemento finito utilizada se presenta en la Figura 1. Para la simulación se consideraron fijos los extremos del espécimen. El calculo de esfuerzos verdaderos y deformaciones fueron obtenidos por medio de la ecuación constitutiva (ecuación 9). Se hicieron cálculos a través del MEF y se compararon con las mediciones experimentales de Hammond y Rubner (1996). Los resultados se presentan en la Figura 2. Se utilizó de manera comparativa un programa comercial  ANSYS 5.2ä con el propósito de determinar diferencias respecto de la implementación del código de cómputo aquí desarrollado.

 

Fig. 1: Malla del Sistema para cálculos de elemento finito.

 

La comparación de resultados y simulaciones en la Figura 2 indica la concordancia del modelo con los datos experimentales, observándose una menor desviación en los datos generados con los cálculos del código de cómputo desarrollado en este trabajo, probablemente debido a los márgenes de error más amplios del programa comercial.

Las curvas típicas de deformación uniaxial de polímeros visco-elásticos presentan inicialmente una región elástica lineal a bajas deformaciones, esta es seguida de una transición mecánica denominada cedencia, y finalmente se manifiesta una zona no lineal de propagación del cuello inicial que se forma en el espécimen.

Lo anterior es una indicación de que los cristales constitutivos del material son deformados, orientados y forzadas a cristalizar en la zona de propagación del cuello. En los copolímeros en estudio, sin embargo, para cuyo comportamiento no existen estudios en la literatura, se denotan dos zonas de deformación lineales (ver figura 2), esto no era de esperarse pues los dominios de poliuretano son capaces de cristalizar (Hammond y Rubner, 1996) lo que tendría que dar lugar a una deformación no lineal. No obstante, debido al comportamiento anterior, es posible simular la deformación mecánica de los PU-PDA-POTM de manera simple considerando que la cristalinidad no está implicada en la deformación. Por lo tanto, se puede asumir que ambos constituyentes del copolímero se manifiestan entonces mecánicamente en serie no existiendo transiciones en la zona de fluencia.

Si se toman en consideración los efectos de temperatura en el modelo en estudio, las componentes del tensor de deformación lineal pueden relacionarse con la ecuación propuesta por Duhamel-Newman (Zienkiewicz y Taylor 1989)

 

Fig. 2: Curva de esfuerzo-deformacion para HDI-5,7-1000. (-) Teoría Rabatnov, (0) experimental (Hammond y Rubner, 1996); publicado con permiso), (*) ANSYS 5.2ä

 

                                            (22)

 

en la que es la contribución del campo de tensiones y es la contribución del campo de temperaturas, es decir:

 

                                      (23)

 

Con la ecuación anterior se obtiene la función de los esfuerzos como función de la temperatura. Sin embargo, para propósitos de simulación se requieren ahora los coeficientes de expansión térmica  dados en la Tabla 1 (Cahn et al. 1998):

El efecto de la temperatura en un polímero termoplástico semicristalino ha sido  reportado anteriormente (Nielsen y Landel, 1994). A bajas temperaturas de medición  se tiene un material duro que resiste muy bajas deformaciones. Este tiende a viscoelástico conforme aumenta la temperatura, disminuyendo el módulo de resistencia mecánico y dando lugar paulatinamente a transiciones mecánicas las cuales también disminuyen con la temperatura en aumento.

 

Tabla 1: Coeficiente de expansión Térmica

Intervalo de Temp (0C)

a (°K-1)

–300C a   00C

  6.5x10-5

00C a 300C

10.5x10-5

300C a 600C

14.5x10-5

 

Los resultados de la Figura 3 indican una tendencia global similar a la anterior, aunque considerando, como se indicó anteriormente, que existen dos regiones relativamente lineales de deformación.

 

Fig. 3: Curva esfuerzo–deformación de HDI bajo diferentes temperaturas.

 

Los resultados anteriores indican también que estos materiales se pueden aplicar a diferentes temperaturas aunque a costa de las principales propiedades mecánicas como el modulo de resistencia mecánico y la transición entre las dos fases.

 

CONCLUSIONES

Se obtuvo, utilizando como base las ecuaciones de Volteare, una ecuación constitutiva de deformación mecánica de un elastómero termo-plástico cromo-mecánico novedoso.

Se determinó una correlación adecuada con los datos experimentales lográndose simular los dos regímenes observados experimentalmente sin implicar a la cristalización como variable. Al modificar el modelo constitutivo como función de la temperatura, las tendencias observadas fueron similares a las de los polímeros termoplásticos.

Después de calcular el comportamiento del elastómero a altas temperaturas se determinó una disminución proporcional en las propiedades mecánicas.

 

AGRADECIMIENTOS

Al Fondo de Apoyo a la Investigación de la UASLP (C02-FAI-11-3.64), y a los cuerpos académicos CA-3/Civil y CA-9/ Ing. Química.

 

REFERENCIAS

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Bicerano J.; Prediction of Polymer Properties, Dekker, p.296, (1993).         [ Links ]

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Eremenko С.; Método de los Elementos Finitos en la Mecánica Deformable de los Cuerpos. Ucrania, Ed. Base, Universidad Estatal de Jarkov, p.159, (1991).        [ Links ]

Hammond P. y M. Rubner En: Thermoplastic Elastomers, Hanser, Capitulo 15E, p.537-571 (1996).        [ Links ]

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