Información Tecnológica-Vol. 16 N°2-2005, págs.: 53-60

ELECTROMECÁNICA

Utilización de Onditas (Wavelets) en Sistemas Dinámicos Estructurales. Un Enfoque Didáctico

Wavelets in Structural Dynamic Systems. A Didactic Perspective

F.O. Cappellari, L.A. Lifschitz, H.H. Brito y L.S. Maglione
Universidad Nacional de Río Cuarto, Facultad de Ingeniería, Ruta Nacional 36, Km. 601,
(5804) Río Cuarto-Argentina (e-mail: fcappellari@ing.unrc.edu.ar)

Resumen

Este trabajo tiene como objetivo mostrar la utilización de onditas (wavelets) como herramienta de aprendizaje en sistemas dinámicos estructurales y su contribución a la enseñanza de ingeniería mecánica. Se estableció un procedimiento que, mediante onditas, permite la restitución de las fuerzas de entrada de un sistema dinámico estructural, en función de datos correspondientes a las salidas del mismo, siendo conocidas las funciones de respuesta al impulso del sistema. El caso estudiado tiene vinculación con la determinación del efecto propulsivo de un motor de plasma, aplicable a micro- y nano-satélites. Los resultados obtenidos en la restitución de fuerzas de entrada mostraron la conveniencia de la aplicación de wavelets, no detectándose las limitaciones que suelen presentarse con otros métodos descritos en la literatura.

Abstract

The objective of the present study is to show the use of wavelets as a learning tool in structural dynamic systems and their contribution to teaching in mechanical engineering. A procedure was established using wavelets for the restitution of input forces to the systems' structural dynamics as a function of data representing outputs of the system, when the impulse response functions are known. The case studied was related to the determination of the propulsive effect of a plasma motor applicable to micro- and nano-satellites. The results obtained in the input force restitution showed the advantages of the use of wavelets; and the limitations usually present in other methods described in the literature were not detected.

Keywords: wavelets, dynamic systems, microgravity, mechanical devices, nano-satellites.

INTRODUCCIÓN

La utilización de Onditas en diversos campos tales como medicina, geología, biología, ingeniería aeroespacial, compresión de datos e imágenes, etc. (Meyer, 1993; Williams y Amaratunga, 1994), ha tenido un desarrollo muy intenso en los últimos años, tomando en consideración que la teoría de Onditas y sus aplicaciones son de relativamente reciente desarrollo (Daubechies, 1992).

La utilización de Onditas en ingeniería estructural ha tenido un importante desarrollo en los últimos tiempos (Douka et al., 2003), principalmente en la identificación de sistemas dinámicos (Robertson et al., 1995), detección de fallas en dispositivos mecánicos y como herramienta alternativa en mantenimiento predictivo (Peng y Chu, 2004). Particularmente en el tema de vibraciones se pueden encontrar aplicaciones de Onditas (Newland, 1993). Entre los temas, en el área de vibraciones, que merecen una atención considerable se encuentra la recuperación de fuerzas de entrada.

Es propósito del presente trabajo presentar una aplicación de Onditas (wavelets, ondelettes), como herramienta didáctica, teniendo en cuenta que aparece cada vez con mayor énfasis la necesidad de poner en contacto a los estudiantes de carreras de Ingeniería con temas que en el presente son objeto de activa investigación y demuestran tener importantes y variadas aplicaciones (D´Attellis et al.,1995) considerando, asimismo, que las Onditas han ido cobrando mayor importancia en los últimos años representando una alternativa al análisis de Fourier con ventanas.

La metodología utilizada consistió en la de-convolución, para sistemas multi-entrada multi-salida, en el dominio wavelet, a partir de las relaciones entre la matriz de entrada, la matriz de los coeficientes de Markov discretos y la matriz de datos de salida, en dicho dominio. La función ondita aplicada es Daubechies 4.

El problema de prueba consistió en un modelo, ampliamente difundido en la enseñanza de la ingeniería mecánica, de un sistema dinámico con dos entradas y dos salidas.

Los resultados obtenidos consistieron en la restitución de las entradas, para diversas salidas conocidas, consignándose algunas de ellas en el presente trabajo.

MARCO TEÓRICO

Transformada Ondita

En tanto que los elementos básicos de la Transformada de Fourier con ventanas son las funciones seno y coseno multiplicadas por una ventana deslizante, el elemento básico de la Transformada Ondita es una función de soporte acotado o de rápido decaimiento, tal que:

                                          (1)

lo que significa, en cierto sentido, que la misma función y(t) es oscilante. Esto establece una diferencia respecto a la transformación de Fourier, ya que en ella las funciones oscilante son el seno y el coseno, y la ventana es la función que las acota en el tiempo, en tanto que la función Ondita lleva en si misma las oscilaciones y los intervalos de tiempo en los que actúa.

La familia de funciones necesaria para definir la Transformada Ondita de una señal f(t), surge de la función y(t) anterior a través de un cambio de variable que depende de dos parámetros:

                (2)

donde el parámetro a (parámetro de dilatación) se relaciona con la frecuencia de oscilación, y b  (parámetro de corrimiento) con la posición en el tiempo de la Ondita.

Considerando señales de energía finita, es decir funciones f(t) (donde t corresponde a la variable tiempo) de cuadrado integrable -en el sentido de Lebesgue-, y al espacio -de Hilbert- que ellas forman (L²(Â)), se define como Transformada Ondita:

        (3)

Análisis multirresolución

Para la implementación computacional de la Transformada Ondita se efectúa una discretización, tomando a=2^-j, , y usando para las traslaciones: b = k / 2^-j

En consecuencia la familia generada por  (ondita “madre”), resulta:

                           (4)

Se denomina análisis multirresolución de L²(Â) a una sucesión decreciente de subespacios cerrados

       (5)

que satisface las siguientes propiedades:

_y  

existe , tal que  es una base de Riesz de V₀

Es posible demostrar que cada vector  puede desarrollarse en serie

                                            (6)

con (base dual de ), y tal desarrollo es único, con = < >.

La función  que da origen a la base de Riesz señalada en la propiedad 4., se denomina función de escala. En el esquema presentado, una función  puede aproximarse tanto como se quiera por elementos de los subespacios V_j que forman una sucesión con la propiedad 2.

Llamando W_j  al complemento ortogonal de V_j relativo a V_j+1, se puede obtener la siguiente descomposición del espacio :

                                          (7)

resultando:

                 (8)

Si existe una función , tal que:  sea una base de Riesz de los subespacios W_j , se obtiene el siguiente Desarrollo en Serie de Onditas

                         (9)

A su vez la componente (“proyección”) de f(t) en V_j  estará dada por:

                             (10)

El cambio del índice j significa cambiar la octava de frecuencias analizadas, y desde el punto de vista de los subespacios construidos, es pasar de la aproximación de la señal en V_j a la que puede obtenerse en V_j+1.

La función de Escala , que genera los subespacios V_j, y la función Ondita , que genera los subespacios W_j, se comportan como filtros pasa-bajos y pasa-altos (pasa-banda) respectivamente.

La ecuación de dilatación: Dado que  y con , ello implica que . Por lo tanto  puede ser expresada como combinación lineal de las funciones base de ese subespacio:

                       (11)

La expresión anterior se denomina ecuación de dilatación, o ecuación de refinamiento.

La ecuación Ondita: Vincula la función Escala con la función Ondita. Según (7):

                                     (12)

y en consecuencia

                    (13)

La expresión anterior se conoce como la Ecuación Ondita.

Onditas Ortogonales

Un ejemplo de Ondita ortogonal, utilizada en este trabajo, es la Ondita Daubechies 4,cuyos coeficientes c(k) son:

  (14)

Las funciones Escala y Ondita se consignan en las Figuras 1 y 2.

Algoritmo de Mallat

Si se considera la proyección de una función f(t) en el subespacio V_j, es decir la aproximación de f(t) al nivel j = 1, la misma será, según la expresión (10):

                                (15)

a su vez, como consecuencia de la expresión (7) y considerando asimismo la expresión (9), resulta:

              (16)

         (17)

Haciendo n = l – 2k, en la ecuación de dilatación (11), resulta:

                       (18)

y de la ecuación Ondita, (13), resulta:

                       (19)

Siendo las bases involucradas ortonormales:

                                  (20)

                               (21)

Lo anterior puede generalizarse entre dos niveles cualesquiera consecutivos:

                               (22)

                               (23)

Las expresiones (22) y (23) implican un cambio de base, de la base  a la base , y definen un procedimiento para el cálculo de los coeficientes “a” y “b”, que constituye el punto central del Algoritmo de Mallat. Lo anterior, con el submuestreo factor dos, configura la etapa de análisis de la señal.

Operando en sentido inverso se tiene el proceso de síntesis de la señal, en el cual se pasa de la base ortonormal  a la base ortonormal . El submuestreo factor dos cambia a un sobremuestreo, también factor dos, y la expresión de recursión resultante, para el caso de Onditas ortogonales, es:

  (24)

METODOLOGÍA

Restitución de fuerzas de entrada

La salida y(t) de un sistema LTI, causal, bajo la acción de una entrada u(t) dada (con condiciones iniciales nulas), puede ser expresada en forma genérica por la integral de convolución [13]:

                               (25)

siendo h(t) la función respuesta al impulso del sistema (h(t) = 0, para t < 0)

Para un valor de t determinado, por ejemplo   t = t_n, el valor de la salida y(t_n) resulta:

                             (26)

Considerando la expansión de una función en serie de Onditas, según (9), la entrada puede ser expresada en la forma:

                          (27)

en la expansión de  en serie Ondita, corresponde una reversión de  en el tiempo  para la obtención de  y un corrimiento en el eje del tiempo en t_n

                       (28)

Sustituyendo (27) y (28) en (26), resulta:

  (29)

que puede expresarse como:

  (30)

a su vez, teniendo en cuenta las condiciones de ortonormalidad, resulta:

        (31)

la expresión (30) se puede reescribir como:

                                  (32)

donde  son los coeficientes del desarrollo en serie Ondita de  (para ) y   son los correspondientes coeficientes del desarrollo en serie Ondita de .

Para todos las datos de la respuesta [y(t₀ ), y(t₁), y(t₂)], la relación entrada-salida puede expresarse como:

  (33)

donde: y(0) es el valor de la salida para t = 0, etc.; h(0)^DWT es el vector que contiene los coeficientes del desarrollo en serie Ondita de , etc.

De lo anterior, resolviendo, se puede expresar u ^DWT de la forma:

                (34)

luego se obtiene u  utilizando la Transformada Inversa Ondita, es decir:

  (35)

Generalizando para sistemas multientrada-multisalida:

              (36)

     (37)

Por ejemplo, para el caso de dos entradas, m y n, y dos salidas, p y q:

                             (38)

                                        (39)

                          (40)

donde, por ejemplo:

     (41)

Modelo analizado

El modelo físico-matemático adoptado contempla las siguientes hipótesis:

H₁):Se utiliza, en primera instancia, un modelo discreto del sistema. La estructura formada por la lámina flexible que sostiene al motor de plasma, vg. en ambiente de microgravedad, considerado como un bloque cilíndrico de masa M y un momento de inercia de masa J_c (respecto a un eje normal al plano de movimiento que pasa por el centro de masa), se discretiza como un sistema de dos grados de libertad dinámicos, uno de traslación y otro de rotación. La masa inercial -compuesta por la masa del módulo propulsivo y de las piezas que sirven de interface entre el mismo y la lámina resonante- se modela como posicionada en el extremo libre de la lámina resonante.

H₂):Se considera un sistema lineal invariante en el tiempo.

H₃):Se supone que el sistema posee un amortiguamiento proporcional de Rayleigh.

Un esquema simplificado del modelo adoptado se muestra en la Figura 3.

Las ecuaciones de movimiento pueden deducirse utilizando las ecuaciones dinámicas de Lagrange en la forma:

 (j = 1, 2)  (42)

donde q_j son las coordenadas generalizadas, T es la energía cinética del sistema, V es la energía potencial (asociada a las fuerzas conservativas), _F  es la función de disipación de Rayleigh y Q_i  son las fuerzas generalizadas, asociadas a las acciones no conservativas que no sean proporcionales a la velocidad. Se adopta  q₁ = x, y q₂ = q, desplazamiento y rotación del extremo superior de la lámina resonante, respectivamente.

Fig. 3. Esquema simplificado.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

A los fines de comprobar la eficacia del procedimiento para la restitución de fuerzas de entrada, consignado en el presente trabajo, en el caso de que una de las entradas corresponda a un tren de pulsos, caso semejante a la excitación a la que estará sometido el banco de ensayos, siendo la otra entrada idénticamente nula (siendo ambas salidas no nulas), se efectuó una simulación a tal efecto

a) sobre el grado de libertad traslacional se aplicó una señal consistente en un tren de pulsos, según se muestra en Figura 4, y una entrada nula sobre el grado de libertad rotacional.

b) se obtuvieron ambas respuestas (salidas 1 y 2) del sistema, correspondientes a las señales de entrada dadas, mediante Simulink de Matlab. Las salidas correspondientes se muestran en las Figuras 5 y 7.

c) se aplicó el procedimiento de restitución en base a Onditas, y con las respuestas de las Figuras 5 y 7, y los parámetros de Markov del sistema que se analiza, se obtuvo la restitución de la entrada según se muestra en la Figura 6.

De la comparación de la entrada aplicada, en primera instancia, y la entrada restituida correspondiente, se observa una adecuada concordancia entre ambas. Cabe señalar que no se encontró en la bibliografía consultada trabajos referidos a restitución de fuerzas de entrada en el dominio wavelet.

CONCLUSIONES

El presente trabajo, desarrollado desde una perspectiva educativa, permitió introducir a los estudiantes de carreras de Ingeniería en áreas de conocimiento que son objeto de activa investigación en el presente, despertando el interés de los alumnos hacia temas de actualidad que tienen variadas aplicaciones. El tema tratado permitió relacionar diversos tópicos y contenidos curriculares.  A pesar de la sencillez del modelo de dos grados de libertad adoptado para la restitución de fuerzas de entrada, se logró abordar un problema específico de interés en ingeniería como asimismo introducir a los estudiantes en Onditas, a partir de la integral de convolución que relaciona la entrada del sistema, los parámetros de Markov y la salida.

De los resultados obtenidos con el procedimiento expuesto en este trabajo se concluye que el mismo ha demostrado un comportamiento muy satisfactorio en los casos analizados, habiéndose logrado una reconstitución total de la entrada.

Asimismo, cabe destacar que mediante la utilización de este procedimiento, no se detectaron las limitaciones que suelen presentarse con los procedimientos en el dominio de la frecuencia (Kammer, 1996).

REFERENCIAS

Daubechies I., Ten Lectures on Wavelets, SIAM(1992).

D´Attellis C.E., M.T. Anaya, M.I. Cavallaro, y F.F. Villaverde, Introducción a las Onditas- Una presentación para Cursos de Grado de Ingeniería con MatLab. Nueva Librería (1995).

Douka, E. S. Loutridis, y A. Trochidis, Crack identification in beams using wavelet analysis, Journal of sound and vibration  (2003).

Kammer, D., Input force reconstruction using a time domain technique, AIAA-96-1201-CP (1996).

Meyer Y., Wavelets, Algorithms & Applications, SIAM(1993).

Newland D.E., An introduction to random vibrations, spectral & Wavelet Analysis.  Longman Group Limited (1993).

Peng, Z.K., F.L. Chu, Application of the wavelet transform in a machine condition monitoring and faults diagnostics: a review with bibliography, Mechanical Systems and Signal Processing (2004).

Robertson A., K. Park y K. Alvin, Extraction of impulse response data via wavelet transform for structural system identification, ASME DE: Vol. 84-1 (1995).

Williams J. y K. Amaratunga, Introduction to wavelets in engineering, International Journal for Numerical Methods in Engineering: Vol. 37, 2365-2388 (1994).

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