Información Tecnológica-Vol. 16 N°2-2005, págs.: 61-66

ELECTROMECÁNICA

Análisis de Tráfico Auto-similar en Redes de Comunicaciones Usando Onditas (Wavelets)

Analysis of Self-similar Traffic in Communication Networks using Wavelets

V. Alarcón-Aquino*, L.G. Guerrero-Ojeda, J. Rodríguez-Asomoza y R. Rosas-Romero
Universidad de las Américas, Puebla, Departamento de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica,
Sta. Catarina Mártir, 72820  Cholula, Puebla - México (e-mail: vialaq@mail.udlap.mx)

* autor a quien se debe dirigir la correspondencia

Resumen

En este artículo se presenta un análisis de tráfico auto-similar (fractal) en redes de comunicaciones usando onditas (wavelets). El objetivo del trabajo es mostrar la eficiencia del método basado en onditas para el análisis de procesos auto-similares, los cuales son caracterizados por estadísticas similares a diferentes escalas de tiempo. Se presenta un análisis comparativo de la estimación del parámetro de Hurst usando onditas tipo Daubechies en tráfico Ethernet e Internet. Los resultados muestran que el comportamiento del tráfico Ethernet es asintóticamente auto-similar y con dependencia en amplio rango, mientras que el tráfico Internet muestra aproximadamente un comportamiento con dependencia en corto rango. Estos resultados indican que los modelos de tráfico basados en una naturaleza auto-similar son más adecuados para modelar tráfico Ethernet, mientras que los modelos de Poisson pueden ser usados para modelar tráfico Internet.

Abstract

This paper presents an analysis of self-similar (fractal) traffic in communication networks using wavelets. The aim of this work is to show the efficiency of the wavelet-based method for the analysis of self-similar processes, which posses similar statistical features over a long range of time scales. A comparative analysis of the estimated Hurst parameter using Daubechies wavelets in Ethernet and Internet traffic, are presented. The results reported in this paper show that the behavior of Ethernet traffic is asymptotically self-similar, while the Internet traffic shows behavior approximating short-range dependence. These results indicate that traffic models based on a self-similar nature are more suitable for modeling Ethernet traffic, while Poisson models may be used to model Internet traffic.

Keywords: wavelets, discrete wavelet transform, self-similar processes, Hurst parameter

INTRODUCCIÓN

Estudios recientes han mostrado que el tráfico en redes de comunicaciones posee características auto-similares a diferentes escalas de tiempo (Abry et al., 2002; Abry y Veitch, 1998; Leland et al., 1994). Por ejemplo, Leland et al. (1994), reportaron resultados de un estudio masivo de tráfico Ethernet y demostraron que este tenía características auto-similares (dependencia en amplio rango (LRD)) a diferentes escalas de tiempo: milisegundos, segundos, minutos, horas y días. Este tipo de comportamiento de tráfico ha tenido un tremendo impacto en el rendimiento de la red, incluyendo retardos en colas y pérdida de paquetes (Sahinoglu y Tekinay, 1999). Un fenómeno auto-similar muestra características estructurales similares en un amplio rango de escalas de tiempo. Auto-similar es una propiedad asociada con fractales, los cuales son objetos cuyas apariencias no cambian no importando la escala en la cual son vistos (Sahinoglu y Tekinay, 1999).

Tradicionalmente, los procesos de Markov y semi-Markov como Poisson, que son modelos estadísticos, han sido utilizados para modelar el comportamiento de una red de datos. Estos modelos reflejan dependencia en corto rango (SRD). Estudios empíricos han mostrado que los modelos de tráfico auto-similares son más adecuados para representar mejor las características estadísticas del tráfico Ethernet (Abry et al., 2002; Leland et al., 1994).  Recientemente, Karagiannis et al., (2004) y  Cao et al. (2001) demostraron la validez del uso del modelo de Poisson para el análisis del tráfico de Internet. Los autores  explican que el trafico de Internet  puede ser bien caracterizado con modelos de Poisson estacionarios.

Cabe hacer notar que un método equivalente para el análisis de trafico auto-similar ha sido reportado en (Xue y Trajkovic, 2000); sin embargo, los autores solo reportan un estudio del parámetro de Hurst en trafico Ethernet y en datos simulados de procesos con dependencia en corto rango. En este artículo se presenta un análisis comparativo de la estimación del parámetro de Hurst en tráfico Ethernet e Internet utilizando onditas tipo Daubechies. La apariencia fractal de este tipo de onditas las hace apropiadas para la representación de procesos auto-similares. El objetivo del trabajo es mostrar la eficiencia del método basado en onditas para el análisis de tráfico auto-similar y con dependencia en amplio rango. Para el tráfico analizado en este articulo, los resultados revelan que el trafico Ethernet es auto-similar y con dependencia en amplio rango, mientras que el trafico Internet muestra aproximadamente un comportamiento con dependencia en corto rango.

ANÁLISIS DE TRÁFICO AUTO-SIMILAR

Transformada Discreta de Onditas (DWT)

Es bien sabido que la transformada de Fourier analiza señales en términos de ondas senos oscilatorias . En contraste, la transformada de onditas realiza un análisis de Fourier local proyectando la señal  en formas de onda oscilatorias locales conocidas como “onditas” (Abry et al., 2002; Mallat, 1997; Daubechies, 1992). Una ondita  es una función pasa-banda la cual oscila con una frecuencia central . Si la ondita se escala (ya sea dilatando o comprimiendo) y se cambia de posición (corrimiento) se obtiene la siguiente ecuación:

                          (1)

La ecuación (1) indica que la frecuencia central de la ondita se mueve a  y cambia su posición a . Usando onditas, una señal  puede ser transformada en el dominio de escala-tiempo de las onditas , donde  representa la escala o resolución,  denota el tiempo y  es el conjunto de números reales. Una descomposición basada en onditas hace uso de una función pasa-bajas  (o función de escalamiento), la cual puede también ser representada como la ecuación (1). Partiendo de la función de onditas  y de escalamiento , una señal  puede ser representada como:

                                (2)

donde  representa los coeficientes de escalamiento y  representa los coeficientes de onditas. El primer término en la ecuación (2) construye la resolución gruesa de , mientras que el segundo término agrega detalles en la reconstrucción en tanto . Una implementación eficiente de la transformada discreta de onditas se obtiene a través de un algoritmo piramidal basado en un banco de filtros. Este banco de filtros incluye filtros de tiempo discreto pasa-bajas y pasa-altas. Partiendo de esos filtros se pueden obtener los coeficientes de escalamiento y de onditas. Más detalles sobre onditas (o wavelets) y análisis de multi-resolución (MRA) se puede encontrar en (Abry et al., 2002; Mallat, 1997; Daubechies, 1992).

Procesos Auto-similares

En esta sección se presenta una descripción de los procesos auto-similares. Si se consideran las series de tiempo discreta , donde Z es el conjunto de números enteros y las series de tiempo  son estrictamente estacionarias si  y    poseen la misma distribución conjunta para . La condición estacionaria de segundo orden requiere que la función de autocovarianza  satisfaga , , donde se asume que los dos primeros momentos existen y son finitos, esto es,  y , . Si estacionario implica que , entonces la autocovarianza es definida como . Entonces, si se define  como la función de autocorrelación (ACF), las series de tiempo son asintóticamente auto-similares si:

                        (3)

donde el parámetro de Hurst  satisface a  y   es una constante positiva. En otras palabras, las autocorrelaciones de procesos auto-similares decaen hiperbólicamente y no exponencialmente, lo cual implica que la ACF es no sumable, esto es, . Por la tanto, las series de tiempo  son definidas como procesos con dependencia en amplio rango (LRD) (Park y Willinger, 2000). El parámetro clave es , el cual captura la estructura de correlación de amplio rango. Si  LRD ocurre y el proceso muestra auto-similaridad.

Por el contrario, una serie de tiempo con dependencia en corto rango (SRD) tiene una función de autocorrelación que decae exponencialmente , implicando una ACF sumable  (Park y Willinger, 2000). Una propiedad equivalente de un proceso LRD es que para un rango de frecuencias  cerca de cero, la densidad espectral  de  es dada por ,  donde ,  y  (Xue y Trajkovic, 2000). Para estimar el parámetro de Hurst se usará el estimador basado en onditas reportado en (Abry y Veitch, 1998).

METODOLOGÍA

El Parámetro de Hurst

Para realizar el análisis del tráfico Ethernet e Internet se procede a la estimación del parámetro de Hurst. Este parámetro se obtiene realizando un promedio en el tiempo  de los coeficientes DWT  de las onditas a una escala o resolución j  dada (Abry y Veitch, 1998):

,                          (4)

donde  es una frecuencia de referencia arbitraria, la cual se selecciona dependiendo del tipo de ondita  y  representa el numero de coeficientes DWT a la escala j . Es decir,  donde n es la longitud de los datos. Entonces,  es una medida de la cantidad de energía que cae dentro de un ancho de banda dado alrededor de la frecuencia  y puede entonces ser considerado como un estimador estadístico para el espectro  de X  (Abry y Veitch, 1998).

Como se menciono anteriormente, un estimador  para el parámetro de Hurst  se obtiene realizando una regresión lineal de  en la escala j  para el rango de escalas . La relación lineal entre  y la escala j  indican la presencia de dependencia en amplio rango (LRD). Mas información sobre la estimación del parámetro de Hurst usando onditas es encontrado en Abry et al., (2002) y Abry y Veitch (1998).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Dos tipos de tráfico serán analizados para la estimación del parámetro de Hurst: tráfico Ethernet en redes de área local y tráfico Internet. Las Fig. 1 y Fig. 2 muestran el comportamiento de ambos tipos de tráfico. Los datos de Ethernet fueron capturados en Bellcore en los 90’s (Leland et al., 1994), mientras que los datos de Internet fueron obtenidos de los nodos de red de la NSFNET (The National Science Foundation Network) (Merit Network, Inc. 1993) Para la estimación del parámetro de Hurst se utilizara una ondita tipo Daubechies con tres momentos de desvanecimiento. Cabe hacer notar que los momentos de desvanecimiento controlan la suavidad de la ondita o wavelet. Estos momentos de desvanecimiento juegan un papel importante en la varianza de H . La Fig. 3 muestra el resultado del método basado en onditas para los datos de Ethernet. Se ha trazado como una función de j . El valor estimado del parámetro de Hurst utilizando una ondita tipo Daubechies  (Daubechies, 1992),

Fig. 1: Tráfico Ethernet capturados en Bellcore (Leland et al., 1994).

Fig. 2: Tráfico Internet capturados en Merit Network, Inc.

con tres momentos de desvanecimiento es  con  y . Esta figura muestra una relación lineal de  contra j, lo cual indica que el tráfico de Ethernet es asintóticamente auto-similar y con dependencia en amplio rango (LRD). Cabe hacer notar que estos resultados son consistentes con los resultados reportados en (Leland et al., 1994).

La Fig. 4 muestra el resultado para los datos de Internet. Se ha trazado  como una función de j. El valor estimado del parámetro de Hurst usando una ondita tipo Daubechies (Daubechies, 1992) con tres momentos de desvanecimiento es  con  y . Esta figura muestra una relación no lineal entre  y j , lo cual indica que el tráfico de Internet es aproximadamente con dependencia en corto rango (SRD). Cabe hacer notar que estos resultados son consistentes con los resultados reportados en (Karagiannis et al., 2004; Cao et al., 2001).

La Tabla 1 muestra otros valores estimados del parámetro de Hurst con un 95% de intervalo de confidencia (I.C.) a diferente rango de escalas  utilizando onditas  tipo Daubechies  con tres momentos de desvanecimiento. Para propósitos de comparación se han incluido en la Tabla 2 otras estimaciones del parámetro de Hurst usando una ondita tipo Daubechies con dos momentos de desvanecimiento.

Cabe hacer notar que un incremento en el número de momentos de desvanecimiento reduce el número de coeficientes de onditas disponibles, y por lo tanto hay un incremento en la varianza de  (ver Tablas 1 y 2). Sin embargo, incrementando el número de momentos de desvanecimiento permite una mejor estimación del parámetro de Hurst, ya que este incremento permite que el estimador se concentre en un pequeño número de escalas (Abry y Veitch, 1998)

Tabla 1: Valores del parámetro de Hurst para el tráfico Ethernet e Internet a diferentes
escalas [j₁, j₂] usando onditas tipo Daubechies con tres momentos de desvanecimiento.

Tráfico			95% I.C.
Ethernet	[2,5]	0.783	[0.778,0.789]
	[2,13]	0.845	[0.842,0.849]
	[7,12]	0.926	[0.901,0.951]
Internet	[2,5]	0.305	[0.097,0.512]
	[2,4]	0.221	[0.031.0.474]

Fig. 3: Diagrama  contra escala j del trafico Ethernet.

Tabla 2: Valores del parámetro de Hurst para el tráfico Ethernet e Internet a diferentes
escalas [j₁, j₂] usando onditas tipo Daubechies con dos momentos de desvanecimiento.

Tráfico			95% I.C.
Ethernet	[2,5]	0.799	[0.793,0.804]
	[2,13]	0.850	[0.846,0.853]
	[7,12]	0.901	[0.879,0.924]
Internet	[2,5]	0.446	[0.254,0.637]
	[2,4]	0.455	[0.213,0.697]

CONCLUSIONES

Los resultados reportados en este artículo muestran que el comportamiento del tráfico Ethernet es asintóticamente auto-similar y con dependencia en amplio rango (LRD) como se mostró en el valor estimado del parámetro de Hurst. Cabe hacer notar que resultados similares fueron obtenidos en (Leland et al., 1994). En el caso del tráfico Internet, este mostró un comportamiento aproximadamente con una dependencia en corto rango (SRD), el cuál fue confirmado con la estimación del parámetro de Hurst. Resultados similares se obtuvieron en (Karagiannis et al., 2004; Cao et al., 2001). Los resultados reportados en este artículo pueden ser útiles para una mejor selección de los modelos de tráfico en redes de comunicaciones. Por ejemplo, para el tráfico reportado en este artículo, fue encontrado que los modelos de tráfico basados en una naturaleza auto-similar pueden ser usados para modelar el tráfico Ethernet. Por el contrario, los modelos de Poisson pueden ser utilizados para modelar el tráfico Internet.

AGRADECIMIENTOS

El primer autor agradece al Imperial College London, UK y a la Universidad de las Américas, Puebla-México por el apoyo brindado para la realización de esta investigación.

REFERENCIAS

Abry, P. y Veitch, D. Wavelet Analysis of Long-Range Dependent Traffic. IEEE Transactions on Information Theory:  44(1), 2-15 (1998).        [ Links ]

Abry, P., Baraniuk, R., Flandrin, P., Riedi, R. y Veitch, D. Multiscale Nature of Network Traffic. IEEE Signal Processing Magazine: 28-46, (2002).        [ Links ]

Cao, J., Cleveland, S. W., Lin, D. y Sun, D. X. Internet Traffic Tends Toward Poisson and Independent as the Load Increases. Bell Labs Technical Report (2001).        [ Links ]

Daubechies, I. Ten Lectures on Wavelets, New York SIAM (1992).        [ Links ]

Karagiannis, T., Molle, M., Faloutsos, M. y Broido, A. A Nonstationary Poisson View of Internet Traffic. INFOCOM, (2004).        [ Links ]

Leland, W., Taqqu, M. Willinger, W. y Wilson, D. On the Sel-Similar Nature of Ethernet Traffic (Extended Version). IEEE/ACM Transactions on Networking: 2, 1-15 (1994).        [ Links ]

Mallat, S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Boston, MA Academic, (1997).        [ Links ]

Merit Network, Inc. Advanced Networking for Research and Education. URL http://www.merit.edu (1993)        [ Links ]

Park, K. y Willinger, W. Eds., Self-Similar Network Traffic and Performance Evaluation. New York Wiley (2000).        [ Links ]

Sahinoglu, Z. y Tekinay, S. On Multimedia Networks: Self-Similar Traffic and Network Performance. IEEE Communications Magazine: 48-52 (1999).        [ Links ]

Xue, F. y Trajkovic, L. Performance Analysis of a Wavelet-Based Hurst Parameter Estimator for Self-Similar Traffic. Proceedings SPECTS’2K, Vancouver, British Columbia, Canada, 294-298 (2000).         [ Links ]

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