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Información tecnológica

On-line version ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. vol.16 no.4 La Serena  2005

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000400005 

 

Información Tecnológica-Vol. 16 N°4-2005, págs.: 27-32

INGENIERIA MECANICA

Síntesis de Engranajes no Circulares con Leyes de Desplazamiento Angular Definidas a Partir de Curvas de Bézier

Synthesis of Noncircular Gears using Angular Displacement Laws Defined by Bézier Curves

S. Cardona y L. Jordi
Departamento de Ingeniería Mecánica, ETSII de Barcelona. Universidad Politécnica de Cataluña
Av. Diagonal, 647, Pabellón D, 08028 Barcelona-España (e-mail: salvador.cardona@upc.es; lluisa.jordi@upc.es)


Resumen

En este trabajo se muestra la utilidad de definir y tratar analíticamente la relación entre los ángulos girados por las ruedas dentadas en un engranaje de relación de transmisión variable. Para dicha definición se eligen las funciones polinómicas obtenidas a partir de curvas de Bézier no paramétricas. En ciertos cálculos, estas funciones deben considerarse definidas para una única vuelta de las ruedas y hacerlas periódicas. A partir de la relación entre los ángulos girados por las ruedas, se obtienen las ruletas y sus radios de curvatura. Éstos permiten realizar un primer análisis sobre la posibilidad de construcción de las ruedas dentadas. Luego se define el procedimiento para situar el dentado que podría obtenerse por un proceso de generación y se presenta una aplicación usando el software Mathematica©.


Abstract

This paper presents a method of defining and analytically studying the relation between rotated angles of noncircular gear wheels with a variable transmission ratio. The definition is made by polynomial functions from non parametric Bézier curves. In some computations, these functions must be defined for one cycle only and thereafter, must be repeated in a periodic form. Pitch curves and curvature radii are obtained from the relation between angles rotated by the wheels. This permits a first analysis of the feasibility of manufacturing the gear wheels. A procedure is then defined for situating the teeth, obtained by a generation process, and an application is presented using Mathematica©  software.

Keywords: noncircular gear, Bézier curves, displacement laws, variable transmission, machine design


INTRODUCCIÓN

En multitud de aplicaciones, es de interés obtener relaciones de transmisión variables, como por ejemplo en mecanismos de retorno rápido, en aplicaciones en las que se desea una reducción de las fluctuaciones del par motor (Dooner, 1997), en el equilibrado de mecanismos de diversos eslabones (Yao, 2003). Estas relaciones pueden obtenerse mediante distintos mecanismos, entre ellos los engranajes no circulares (Litvin, 1994). Éstos permiten la obtención de cualquier ley de desplazamiento o velocidad angular entre el eje conducido y el eje conductor siempre que se cumplan las condiciones adecuadas de continuidad, de periodicidad y de curvatura exigida a las ruletas relativas –curvas primitivas– de las ruedas.

La posibilidad de elegir libremente las dos curvas primitivas, como ocurre en los sistemas leva palpador, permite la definición continua de la ley de transmisión, sin que ésta esté restringida al paso por unos pocos puntos de precisión, como sucede con los mecanismos de barras. Los engranajes no circulares presentan la ventaja, frente a las levas, de ser directamente mecanismos desmodrómicos y presentar velocidades de deslizamiento limitadas por el tamaño de los dientes.

En este trabajo, se propone el diseño de un enganaje no circular a partir de las prestaciones que se definen mediante la relación entre los ángulos girados por las ruedas dentadas, ley de desplazamiento angular. Esta ley se define mediante una función analítica sencilla para así poder realizar la mayor parte de cálculos simbólicamente en un entorno adecuado.

El procedimiento que se describe es directamente aplicable, en principio, a cualquier ley de desplazamiento angular, pero el estudio que se presenta en este artículo se refiere al caso en el que el periodo del eje conductor y del eje conducido coinciden. Para el diseño de las leyes de desplazamiento se utilizan curvas de Bézier no paramétricas (Farin, 1997, Cardona y Clos, 2001), aunque si la complejidad del caso lo requiriese podrían utilizarse B-Splines no paramétricos, a causa de la facilidad que presentan para introducir la continuidad requerida en los extremos del intervalo de definición. La utilización de las funciones estándard de Mathematica© para el cálculo simbólico, en particular para la derivación, requiere expresar las curvas de Bézier como funciones polinómicas en la base monomial, en lugar de usar la base de Bernstein.

DESARROLLO MATEMÁTICO

Ley de desplazamiento angular

Las leyes de desplazamiento angular que se toman corresponden al caso de que ambas ruedas, conductora y conducida, tengan el mismo periodo, de manera que cada vuelta de la rueda conducida requiere una vuelta de la rueda conductora. Se definen mediante la función:

j2 = f(j1)                                                       (1)

siendo j1 el ángulo girado por la rueda conductora y j2 el ángulo girado, en sentido contrario, por la rueda conducida y se toma f(0) = 0. La continuidad de esta función queda garantizada dentro del intervalo de definición si se elige adecuadamente, por ejemplo puede tomarse una función polinomial.

Esta función f(j1), por razones evidentes cuando se analiza la obtención de los radios de las ruletas, debe ser monótona creciente y debe cumplir:

f(2pn) = 2pn, n = 0, 1,...                                (2)

Esta propiedad se cumple si se define como suma de j1 y de una función periódica, como por ejemplo

                            (3)

Con esta definición, la ley de desplazamiento es continua e infinitamente derivable por lo que presenta todo tipo de ventajas desde el punto de vista dinámico. Sin embargo, su proceso de diseño para incluir las prestaciones cinemáticas requeridas por el engranaje no es fácil ni intuitivo. Como alternativa, en este trabajo se propone diseñar la ley de desplazamiento utilizando curvas de Bézier no paramétricas. Estas curvas están definidas únicamente dentro de un intervalo con lo que es necesario periodizarlas posteriormente y garantizar la continuidad en los extremos de dicho intervalo; en el interior del intervalo la continuidad queda garantizada por tratarse de funciones polinómicas. La definición explícita de la función periódica, válida al menos para dos vueltas de la rueda conductora, es necesaria para el proceso de cálculo de los perfiles de los dientes. Así a partir de j2 = f(j1), 0 ≤ j1 < 2p puede escribirse la función válida para todo j1:

j2 = 2p · División–Entera[j1, 2p] + f (Módulo[j1, 2p])        (4)

La continuidad de la ley de desplazamiento entre tramos adyacentes se consigue con la adecuada selección de los puntos de control de la curva de Bézier. Si se impone que, al menos, dicha continuidad sea C2, usualmente deseada en cualquier definición de una ley de desplazamiento, las ordenadas de Bézier bii = 0, 1,... n de una curva de Bézier de grado n, deben cumplir:

A partir de la ley de desplazamiento angular, la relación de transmisión t, relación entre la velocidad angular de rueda conducida w2 y la velocidad angular de la rueda conductora w1, viene dada por:

                       (6)

Para utilizar las funciones estándard de Mathematica©, la función de desplazamiento angular debe expresarse como función polinómica monomial y debe imponerse que las derivadas respecto j1 de las funciones Módulo y División–Entera cumplan:

Módulo[j1, 2p] = 1

División–Entera[j1, 2p] = 0                           (7)

En la figura 1, se muestra una ley de desplazamiento que corresponde a una relación de transmisión (figura 2) casi armónica obtenida como una curva de Bézier de grado 6 que cumple la condición (5) y que tiene por ordenadas:

Fig. 1: Ley de desplazamiento angular entre rueda conducida y rueda conductora.


Fig. 2: Relación de transmisión entre rueda conducida y rueda conductora.

Ruletas y radio de curvatura

La determinación de las ruletas se realiza en base al dibujo de la figura 3. En él se muestran el triedro fijo al soporte y los triedros solidarios a cada una de las ruedas, en los que se expresarán los perfiles de las ruletas y de los dientes correspondientes.

La orientación del triedro Rueda1, solidario a la rueda conductora, se define directamente mediante el ángulo j1 (positivo en sentido antihorario); la orientación del triedro Rueda2, solidario a la rueda conducida, se define mediante el ángulo j2 = f(j1) (positivo en sentido horario) dado por la ecuación (1) (Cardona y Jordi, 2003).

Fig. 3: Definición de los triedros solidarios a las ruletas.

El perfil de la rueda conductora, expresado en el triedro Rueda1, viene dado por el vector:

, con q1(j1) = –j1.       (8)

El perfil de la rueda conducida, en su triedro solidario Rueda2, viene dado por:

, con q2(j1) = p+j2 = p+f(j1).      (9)

Los radios se obtienen a partir de la condición de rodadura sin deslizamiento de las ruletas en su punto de contacto –centro instantáneo de rotación relativo– alineado con los centros de las ruedas separados una distancia d. Sus expresiones son:

En todo el trabajo las derivadas respecto a j1 se representan mediante la notación '.

En la figura 4 pueden observarse las dos ruletas correspondientes a la ley de desplazamiento angular del ejemplo propuesto y en la figura 5 sus radios de curvatura calculados según las expresiones:

                           (11)

       (12)

 

Fig. 4 Ruletas de las ruedas dentadas.


Fig. 5: Radios de curvatura de las ruedas.

Situación del dentado

Una vez obtenidas las ruletas, para fijar la posición de los dientes debe decidirse sobre el compromiso entre el número de dientes y el paso del dentado sobre las ruletas. Las longitudes de las ruletas, que evidentemente deben ser iguales, se calculan mediante las expresiones:

ruleta 1:         (13)

ruleta 2: (14)

Una vez fijado el paso p, y para definir la posición de los dientes de la rueda conductora, se determina el conjunto de ángulos j11i para los cuales el punto de contacto entre las ruletas avanza pasos enteros sobre la ruleta 1 a partir de j111 = 0. Para ello debe cumplirse

                                                 (15)

La posición angular de estos dientes definida en el triedro Rueda1 viene dada por la relación .

Para el cálculo de la posición de los dientes de la rueda conducida se tiene en cuenta que cada uno de estos dientes está situado entre dos dientes de la rueda 1; así pues, se determina un conjunto de ángulos j12i equivalente al anterior tomando el avance sobre la ruleta desplazado medio paso. La posición angular de estos dientes definida en el triedro Rueda2 viene ahora dado por q2i = p + f(j12i).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En los gráficos de los radios de curvatura pueden observarse las discontinuidades en los extremos del intervalo de definición debidas a que se ha tomado una ley de desplazamiento angular f(j1) a la que sólo se le ha impuesto continuidad C2. Si por razones dinámicas esta continuidad no es suficiente sólo debe aumentarse el grado de la curva que define la ley de desplazamiento. Esta modificación no implica ninguna variación en los algoritmos de cálculo utilizados.

En uno de estos extremos se observa un tramo cuasi rectilíneo de la ruleta de la rueda conductora. A pesar de ello es posible realizar el dentado de las dos ruedas si se toman unos dientes suficientemente pequeños.

Aunque la descripción del cálculo de los perfiles de los dientes no es objeto de este trabajo (Danieli, 2000 y Figliolini, 2003), se presenta brevemente el procedimiento empleado. Los dientes se generan a partir de dos cremalleras de dientes rectos simétricas conjugadas en las cuales el hueco de una coincide con el diente de la otra. Conceptualmente, cada cremallera engrana con una de las ruedas de manera que se mantiene la tangencia entre las 4 ruletas. Por su similitud con el perfil de evolvente de las ruedas circulares, el perfil obtenido puede llamarse de evolvente generalizado.

En la figura 6 se muestra el perfil de la pareja de ruedas, de 40 dientes, que satisfacen la relación de transmisión del ejemplo propuesto y la fotografía de las mismas ya mecanizadas. La selección del tamaño y número de dientes se ha realizado con fines ilustrativos. Puede observarse que el fondo del dentado, no funcional, en el dibujo es recto mientras que en las ruedas mecanizadas no lo es. Ello es debido a que se han obtenido por fresado y el diámetro de la fresa utilizada  no  puede ser inferior a un  cierto  valor. Este  procedimiento de mecanizado limita por tanto el tamaño mínimo de los dientes. El corte por láser o electroerosión permitiría la utilización, si fuera necesario, de dientes más pequeños. Por otra parte, no es posible la generación de dientes de gran tamaño pues la altura del pie está limitada por la distancia entre la curva primitiva y la curva base.

Fig. 6: Perfil de las ruedas dentadas y fotografía de las ruedas mecanizadas.


NOMENCLATURA

bi

Ordenadas de Bézier

d

Distancia entre centros

f(j)

Ley de desplazamiento angular

li

Longitud de la ruleta i

p

Paso del engranaje

rci(j)

Radio de curvatura de la ruleta i

ri(j)

Radio de la rueda i

ji

Ángulo girado por la rueda i

t

Relación de transmisión

wi

Velocidad angular de la rueda i

CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos en este trabajo ponen de manifiesto que es posible y eficiente: 1) diseñar una relación de transmisión entre ejes utilizando curvas propias del diseño geométrico; en este caso se han utilizado curvas de Bézier; 2) hacer un tratamiento, en gran parte, analítico para el cálculo de las ruedas dentadas adecuadas a la relación de transmisión diseñada; 3) utilizar la capacidad de tratamiento simbólico y de cálculo numérico de un programa como Mathematica© que incorpora ambas posibilidades; 4) definir el perfil de las ruedas dentadas no circulares mediante un conjunto de puntos listo para su introducción en una máquina de control numérico, tal como una fresadora o una máquina de electroerosión; 5) resolver todo el diseño utilizando como variable independiente el ángulo girado por la rueda conductora.

REFERENCIAS

Cardona, S. y D. Clos. Teoría de Máquinas, Ediciones UPC, Barcelona (2001).        [ Links ]

Cardona, S. y L. Jordi. Aportación al estudio de engranajes no circulares. VI Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, Coimbra, 1291-1296 (2003).        [ Links ]

Danieli, G. A, Analytical description of meshing of constant pressure angle teeth profiles on a variable radius gear and its applications. Journal of Mechanical Design, 122 (1), 123-128, (2000)        [ Links ]

Dooner, D. B. Use of noncircular gears to reduce torque and speed fluctuations in rotating shafts. Journal of Mechanical Design, 119, 299-306 (1997).        [ Links ]

Farin, G. E. Curves and surfaces for computer-aided design, Academic Press, Boston (1997).        [ Links ]

Figliolini, G y J. Angeles, The synthesis of elliptical gears generated by shaper-cutters, Journal of Mechanical Design, 125 125, 793-801, (2003)

Litvin, F. L. Gear geometry and applied theory, Prentice Hall, New Jersey (1994).        [ Links ]

Yao, Y. A. y Yan. S. H. A new method for torque balancing of planar linkages using non-circular gears. Proceedings of the Institute of Mechanical Engineering, 217(5) 495-503, (2003)        [ Links ]

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