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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.16 n.4 La Serena  2005

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000400006 

 

Información Tecnológica-Vol. 16 N°4-2005, págs.: 33-38

INGENIERIA MECANICA

Efectos Dinámicos de los Elementos Activos de los Manipuladores en la Resolución del Problema Dinámico Inverso

Dynamic Effects of Active Elements of Manipulators in Dynamic Inverse Problem Resolution

S. Provenzano(1), M. Vergara(1) y V. Mata(2)
(1) Univ. de Los Andes, Fac. de Ingeniería, Esc. de Ingeniería, Dpto. de Tecnología y Diseño, Av. Tulio Febres Cordero, Mérida 5101-Venezuela
(e-mail: prse@ula.ve)
(2) Dpto. de Ingeniería Mecánica y de Materiales, Univ. Politécnica de Valencia, Camino de Vera s/n, 46022, Valencia-España
(e-mail: vmata@mcm.upv.es)


Resumen

En este trabajo se desarrolla una formulación O(n) que permite resolver el problema dinámico inverso de robots de tipo cadena abierta, tomando en cuenta los efectos inerciales debidos  al movimiento de los rotores de los actuadores. La formulación se obtiene de manera sencilla y natural a partir de las ecuaciones de la dinámica de Gibbs‑Appell. Para validar los resultados se emplea un ejemplo de un manipulador con tres grados de libertad, el cual es resuelto por medio de la formulación propuesta en este trabajo y por medio de la formulación Murphy. Se concluye que ambos métodos entregan resultados similares.


Abstract

In this work an O(n) formulation is developed to solve the inverse dynamic problem of open-chain robot manipulators, taking into account the inertial effects due to the movement of the rotors of the actuators. The formulation is obtained in a simple and natural way from the dynamic equations of Gibbs‑Appell. A three degree of freedom manipulator is used to validate the results obtained through the formulation proposed in this study, and also using the Murphy formulation. It is concluded that both methods deliver similar results

Keywords: robotics, manipulators, inverse dynamic, driving motors, Gibbs-Appell equations


INTRODUCCION

Los nudos de los robots industriales son accionados por motores con elevadas relaciones de transmisión. Usualmente no es tomado en cuenta el efecto del movimiento de los rotores en las ecuaciones de la dinámica de los manipuladores, pero es evidente que si el sistema se mueve a elevadas velocidades, este efecto podría ser relevante.

Las formulaciones que resuelven el problema dinámico inverso (PDI) de manipuladores de manera eficiente, han sido desarrolladas por diferentes autores, empleando diversos principios de la dinámica, encontrándose que las formulaciones que dan como resultado algoritmos eficientes, son de tipo recursivo (Bala-foutis y Patel, 1991; Angeles, 1997; Featherstone y Orin, 2000) . Usualmente, la incorporación de los efectos de los elementos activos en las ecuaciones de la dinámica se efectúa de manera simplificada (Spong, 1987) . Sin embargo, se ha demostrado que el método simplificado puede ocasionar errores significativos en nudos de manipuladores con relaciones de transmisión elevadas (Murphy, 1990) . En el desarrollo de las formulaciones que toman en cuenta el movimiento de los elementos activos, los autores han empleado fundamentalmente las ecuaciones de Lagrange y las de Newton‑Euler (Murphy, 1990; Sciavicco et al.,1996) . Pocos autores han publicado trabajos en los cuales se emplean otros principios de la dinámica para tomar en cuenta el efecto de los elementos activos en las ecuaciones que modelan el movimiento de un manipulador. Por ejemplo, en (Desoyer et al., 1985) los autores resuelven el PDI de manipuladores, tomando en cuenta el efecto de los elementos activos, a través de una formulación de orden O(n2) basada en las ecuaciones de Gibbs‑Appell (G-A).

La mayoría de los algoritmos eficientes desarrollados para resolver el PDI, sin importar en cual  principio de la dinámica se basen, son recursivos y suelen ser aplicables a una gran variedad de robots industriales. Esto último es posible gracias a que una gran parte de los manipuladores poseen estructuras del tipo cadena abierta y los nudos que unen sus barras son pares de revolución o prismáticos, reduciendo de esta manera la cantidad de factores a tomar en cuenta. Estas ventajas, en cuanto a la similitud de configuraciones cinemáticas, desaparece cuando se toman en cuenta los elementos activos, ya que los motores que accionan los nudos en los diferentes robots manipuladores se instalan en una gran variedad de configuraciones, obligando a desarrollar formulaciones específicas para cada manipulador. Es por lo tanto un paso ineludible, antes de desarrollar una formulación para resolver cualquiera de los problemas dinámicos, definir una configuración cinemática genérica para desarrollar una formulación que pueda ser posteriormente modificada con poco esfuerzo para adaptarla a las diferentes configuraciones de manipuladores existentes. En este trabajo se emplean las ecuaciones de G-A para desarrollar un algoritmo recursivo de orden O(n) para resolver el PDI de robots manipuladores, tomando en cuenta el efecto causado por el movimiento de los rotores de los actuadores.

NOTACION

En el desarrollo de la formulación que se propone en este trabajo se emplea una configuración simple en la cual el motor que acciona cada barra se encuentra instalado en la barra precedente, accionando un nudo de revolución, tal y como se muestra en la Fig. 1.

 

Fig. 1.- Disposición de motores

 

En la notación empleada, cada i-ésimo motor está rígidamente unido a la barra i-1. En cada motor se considera un sistema de referencia ligado a la parte fija del propio motor, . El sistema coordenado ligado a la barra i-1 está relacionado al sistema ligado al motor i mediante una matriz de rotación i-1Rmi, mientras que el rotor i y la barra i se relacionan mediante la relación de transmisión . La definición del sistema de referencia  se hace de acuerdo con la notación D-H modificada (Angeles et al., 1989) con respecto al sistema de referencia ligado a la propia barra i-1, esto es, el  (Fig. 2). La relación entre ambos sistemas de referencia se establece mediante el uso de cuatro parámetros: . Obsérvese que los primeros tres parámetros son constantes ya que dependen de la notación D-H empleada. La siguiente matriz de transformación homogénea relaciona ambos sistemas coordenados:

(1)          

Fig. 2.- Notación empleada

A continuación se definen las ecuaciones cinemáticas recursivas que permiten calcular velocidades y aceleraciones de los rotores:

                    (2)

                    (3)

     (4)

  (5)

donde la matriz de rotación  se extrae de la matriz de transformación homogénea (1), al igual que el vector ;  y  son los vectores velocidad y aceleración angular del rotor i (el cual acciona a la barra i), ,  y  son los vectores aceleración del origen y del centro de masas del rotor i, todos ellos expresados en base al sistema coordenado ligado al rotor i; igualmente  y  son los vectores velocidad y aceleración angular de la barra i-1,  es el vector posición que relaciona el origen del sistema coordenado ligado a la barra i-1 con el origen del sistema coordenado ligado al rotor i,  es la aceleración del origen del sistema coordenado ligado a la barra i-1, estos últimos expresados en el sistema coordenado ligado a la barra i-1. La relación de transmisión Гi relaciona la posición, velocidad y aceleración del nudo i, con la posición, velocidad y aceleración del rotor i:

  ,         y   (6)

 

RESOLUCION DEL PROBLEMA INVERSO

En esta sección se emplean las ecuaciones de G-A y la notación descrita en la sección anterior para desarrollar una formulación recursiva de orden O(n) que permite resolver el problema dinámico inverso de robots manipuladores tomando en cuenta la inercia de los rotores de los actuadores. El empleo de las ecuaciones de G-A proporciona una manera muy simple de incorporar al modelo del sistema el efecto dinámico causado por la rotación de los rotores. Las ecuaciones de G-A parten de la definición de la función de Gibbs, también conocida como energía de las aceleraciones, la cual escrita en su forma original para un sólido arbitrario compuesto por n partículas elementales (Pars, 1972) :

                                            (7)

El efecto inercial de la rotación de los rotores en el movimiento de un manipulador puede tomarse en cuenta sumando la función de Gibbs debida al movimiento de las barras y la función de Gibbs debida a la de rotación de los rotores:

                                            (8)

Estas dos funciones pueden ser calculadas de manera separada, para ello es necesario conocer la cinemática de las barras. Se hallan entonces las fuerzas generalizadas debidas al movimiento de las barras y a éstas se suman las fuerzas generalizadas debidas al movimiento de los rotores (Pars, 1972) :

       (9)

         (10)

La participación del movimiento de las barras en las fuerzas generalizadas, empleando las ecuaciones de G-A, puede ser calculada eficientemente por medio de procedimientos recursivos (Mata et al., 2002) . Dichos procedimientos recursivos se basan en la ecuación:

(11)

donde mi es la masa de la barra i,  es el tensor de inercia con respecto al centro de masa de la barra i y es el vector aceleración de gravedad, los dos últimos expresados en el sistema de coordenadas ligado a la barra i. Por otro lado, la participación de la inercia de los rotores en las fuerzas generalizadas puede ser calculada por medio de la siguiente expresión:

       (12)

donde mri es la masa del rotor i,  es el tensor de inercia con respecto al centro de masa del rotor i expresado en el sistema de coordenadas ligado al rotor i. La expresión (12) permite hallar la contribución de la inercia de los rotores a las fuerzas generalizadas por medio de una formulación de orden O(n2). Las derivadas parciales de las aceleraciones angulares y de los centros de masas de los rotores con respecto a las aceleraciones de los nudos pueden ser halladas de manera algebraica para sistemas compuestos por pares de revolución y/o prismáticos, derivando las expresiones recursivas con las que se calculan las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los centros de masa. A continuación se muestran las expresiones algebraicas que permiten calcular las derivadas parciales indicadas en la expresión (12), las cuales  corresponden a nudos de revolución:

               (14)

(15)

En virtud de las expresiones (13), (14) y (15), las fuerzas generalizadas pueden calcularse por medio del siguiente algoritmo de orden O(n).

ALGORITMO O(N)

A continuación se muestra un algoritmo de orden O(n) que resuelve el PDI de robots manipuladores del tipo de la Figura 1, tomando en cuenta el efecto del movimiento de los rotores de los actuadores:

PASO 1

Calcular para i = 1, 2, . . . , n

PASO 2

Calcular para i = 1, 2, . . . , n

,   ,  

PASO 3

Asignar para i = 1, 2, . . . , n

    

PASO 4

Calcular para i = 1, 2, . . . , n

   

Calcular para i = n - 1 , n - 2, . . . , 1

   

Calcular para i = n, n - 1, . . . , 1

PASO 5

Calcular para i = 1, 2, . . . , n

   

Calcular para i = n, n - 1, . . . , 1

   

Calcular para i = 1, 2, . . . , n

   

Calcular para i = n - 1 , n - 2, . . . , 1

   

Calcular para i = n, n - 1, . . . , 1                                                                  

PASO 6

Calcular para i = 1, 2, . . . , n

EJEMPLO

En esta sección se aplica el algoritmo propuesto para resolver el PDI de un manipulador de tres grados de libertad similar al mostrado en la Fig. 1. El problema a resolver consiste en hallar los pares que deben suministrar los motores para que el manipulador se mueva, bajo el efecto de la aceleración de gravedad, partiendo de las siguientes posiciones de nudo: q1=0, q2=0, q3=0; con las siguientes velocidades iniciales de nudo (rad/s); y las siguientes aceleraciones de nudo constantes . Los nudos del manipulador se mueven durante 0.2 seg siguiendo un movimiento uniforme acelerado, esto es:

       y

el cómputo del PDI se realiza a intervalos de 0.01 seg. Con la finalidad de validar los resultados obtenidos del algoritmo propuesto, el problema también es resuelto mediante el empleo del algoritmo propuesto por Murphy (1990) y los resultados de ambos algoritmos son comparados. Los parámetros D-H y las características del manipulador se muestran en las tablas 1 y 2. Es de hacer notar que los orígenes de los sistemas coordenados ligados a los motores se encuentran ubicados en el centro de masas de los mismos. Estos sistemas coordenados ligados, tanto a los cuerpos como a los motores, se han escogidos de tal forma que los productos de inercia son nulos.

Tabla 1.- Datos de las barras del robot

Barra

1

2

3

mi (kg)

63.0

41.0

43.0

Ixxi (kg m2)

0.10

0.05

0.05

Iyyi (kg m2)

3.86

2.59

2.84

Izzi (kg m2)

3.86

2.59

2.83

ai (m)

0.0

0.8

0.77

di (m)

0.0

0.2

-0.2

ai (rad)

p/2

0.0

0.0

 (m)

0.37

0.0

0.0

 (m)

0.37

0.0

0.0

 (m)

0.40

0.0

0.0

Tabla 2.- Datos de los motores del robot

Motor

1

2

3

mmi (kg)

1.0

3.0

3.0

Ixxmi (kg m2)

0.0025

0.0025

0.0033

Iyymi (kg m2)

0.0042

0.0042

0.0033

Izzmi (kg m2)

0.0042

0.0042

0.0014

ami  (m)

0.0

0.7

0.7

dmi (m)

0

0.0

0

ami (rad)

0.0

0.0

0.0

Гi

-5/2

-5/2

-5/2

(m)

0.0

0.0

0.0

 (m)

0.0

-0.004

0.010

 (m)

0.0

-0.004

-0.008

En la Tabla 3 se muestran las diferencias máximas entre las fuerzas generalizadas calculadas por medio del algoritmo propuesto en este trabajo y los obtenidos por medio del algoritmo propuesto por Murphy. Se puede observar que las diferencias máximas son pequeñas, demostrándose que los resultados de ambos algoritmos son muy semejantes.

Tabla 3.- Dif. máximas entre resultados

t1G-A -t1Murphy

t2G-A -t2Murphy

t3G-A -t3Murphy

0.4 %

0.5 %

0.1 %

CONCLUSIONES

En este trabajo se ha desarrollado una formulación de orden O(n) que permite resolver el PDI de robots manipuladores, tomando en cuenta los efectos inerciales debidos a los rotores de los actuadores. Para validar la formulación se resuelve el PDI de un robot genérico de tres grados de libertad empleando la formulación propuesta y la formulación de Murphy, demostrándose que ambos algoritmos proporcionan resultados semejantes, ya que la máxima diferencia encontrada entre las fuerzas generalizadas halladas por uno y otro algoritmo es de 0.5%.

AGRADECIMIENTOS

Los autores de este trabajo agradecen al CDCHT por la colaboración y financiamiento otorgados, designado bajo el código: Nº I-802-04-02-C.

REFERENCIAS

Angeles, J.  Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer Verlag, Nueva York, (1997).        [ Links ]

Angeles, J., Ma, O. y Rojas, A.  An algorithm for the inverse dynamics of n-axis general manipulators using Kane's equations, Comp. Math. Applications: 17 (12), 1545-156, (1989).

Balafoutis, C. A. y Patel, R. V.  Dynamic Analysis of Robot Manipulators: A Cartesian Tensor Approach, Kluwer Academic Press, Boston, (1991).        [ Links ]

Desoyer, K., Lugner, P. y Springer, H.  Dynamic effects of active elements in manipulators and their influence upon the controlling drives. IFFToMM Symposium, 44-51, (1985).        [ Links ]

Featherstone, R. y Orin, D. E.  Robot Dynamics: Equations and Algorithms. Proc. Of the 2000 IEEE Int. Conf. On Robotics & Automation,  826-834, (2000).        [ Links ]

Mata, V., Provenzano, S., Cuadrado, J. L. y Valero, F.  Inverse dynamic problem in robots using Gibbs-Appell equations, Robotica: 20, 59-67, (2002).        [ Links ]

Murphy, S. H.   Modelling and simulation of multiple cooperating manipulators on a mobile platform, Doctoral Thesis, Rensselaer Polythecnic Institute, (1990).        [ Links ]

Pars, L. A. A Treatise on Analytical Dynamics, Ox Bow Press, Reimpresión de la primera edición de 1965, Connecticut, (1981).        [ Links ]

Sciavicco, L., Siciliano, B. y Villiani, L.  Lagrange and Newton-Euler dynamic modelling of gear driven rigid robot manipulator with inclusion of motor inertia effects, Advanced Robotics: 10 (3), 317-334, (1996).        [ Links ]

Spong, M. W.  Modelling and control of elastic joint robots, J. of Dynamic Systems, Measurement and Control: 109, 310-319, (1987).        [ Links ]

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