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Información tecnológica

versão On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.1 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000100011 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°1-2005, págs.: 85-92

ARTICULOS VARIOS

Configuración Óptima de Redes de Distribución Primaria. Método Simplex

Optimal Configuration of Primary Distribution Nets. Simplex Method

Daniel O. Anaut, Guillermo F. di Mauro, Juan A. Suárez y Rubén R. di Mauro
Universidad Nacional de Mar del Plata, Facultad de Ingeniería, Dto. Ing. Eléctrica.
J. B. Justo 4302, (7600) Mar del Plata. Argentina. (e-mail: danaut@fi.mdp.edu.ar)


Resumen

En este trabajo se presenta un análisis de la reducción de pérdidas eléctricas por efecto Joule en redes de distribución primaria. Encontrar la configuración radial que proporcione las mínimas pérdidas, mejore el perfil de tensión y aumente la confiabilidad de la red, constituye un problema de optimización entera no lineal con función objetivo cuadrática. Para la solución de dicho problema se utilizó el método Simplex. Este método permite analizar todas las combinaciones posibles de la configuración de la red, teniendo en cuenta las restricciones impuestas y de esta manera poder arribar a la solución óptima del problema. Los resultados obtenidos por este método de cálculo comprueban la posibilidad de reducir las pérdidas en forma significativa; hasta un 48% menos de las pérdidas iniciales para el ejemplo analizado.

Palabras claves: redes eléctricas, pérdidas eléctricas, reducción de perdidas, método Simplex


Abstract

This study presents an analysis of the reduction of electric losses due to the Joule effect in primary distribution nets. Finding the radial configuration that produces the minimum losses and improves the tension profile and increases the reliability of the net constitutes a problem of non-linear optimization with an objective quadratic function. In the present study the Simplex method was used to solve this problem. The method allows analysis of all the possible combinations for configuration of the net, while accounting for imposed restrictions and in this manner reaches an optimal solution for the problem. The results obtained by this calculation method confirm the possibility of significantly reducing  losses;  to 48% below the initial losses for the example analyzed.

Keywords: electrical nets, electrical losses, loss reduction, Simplex method


INTRODUCCIÓN

El marco regulatorio del sector electroenergético imperante en la Provincia de Buenos Aires (Argentina)  impulsa un mercado futuro altamente competitivo, exigiendo a las empresas distribuidoras de energía eléctrica a implementar políticas tendentes a lograr mayor eficiencia en la prestación del servicio. Estas políticas, orientan tanto a la mejora en la organización administrativa como a la reducción de los costos de explotación del sistema de distribución en su conjunto.

En las redes de distribución primaria, las pérdidas eléctricas por efecto Joule se traducen directamente en un costo indeseado para el prestador de servicio; costo que si bien no puede ser eliminado, es posible disminuir.

Las publicaciones propuestas para la optimización de redes de distribución utilizan diferentes algoritmos para la reducción de pérdidas. Un método heurístico, tipo límite y rama, fue propuesto por Merlín y Back (1975). Dicho método fue posteriormente modificado por Shirmohammadi (1989) quién, aplicando un flujo de carga consiguió un importante avance en la reducción de tiempos de cómputo.

En la línea de investigación propuesta por Cinvalar et al., (1988), se desarrolla una expresión analítica para estimar la reducción de las pérdidas en la acción de apertura y cierre de elementos de maniobra sin alterar la radialidad del sistema. Basándose en este trabajo, Baran (1989) formula el problema de reconfiguración a través de programación entera. Goswami y Basu (1992), extienden el método de Cinvalar et al. (1988) limitando las operaciones de los interruptores dentro de un lazo simple a la vez.

La optimización aproximada de lazo simple está directamente derivada de la aplicación del principio del método Simplex.

El problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una determinada función a la que se denomina “función objetivo” que depende de un conjunto de variables. Para hallar la solución óptima, el método de Simplex utiliza la llamada “regla de q”. Dado un problema de programación lineal en el cual puedan existir soluciones básicas factibles y en el que ya se ha obtenido una, es posible construir otra nueva solución básica a partir de la dada (que en el caso planteado serán algunos de los estados de los interruptores), asignando un valor a una de las variables que, en la solución inicial, era nula.

Reconociendo que el problema de reconfiguración de redes radiales para reducción de pérdidas es un problema de programación entera no lineal, con función objetivo cuadrática, se propone en este trabajo, utilizar el método Simplex para la resolución del mismo. Con el mismo se logró una reducción significativa de las pérdidas para el ejemplo estudiado, comparable con los métodos mencionados anteriormente.

TÉCNICA DE OPTIMIZACIÓN

La técnica de optimización propuesta, fue aplicada a una red de distribución de un sistema de 12,66 kV utilizada como referencia por Fan et al. (1996). Se presenta un esquema de la misma en la Figura 1. En ella, todos los nodos entregan potencia, excepto los nodos 0 (raíz) y 33 al 37. Las ramas 33 a la 37 son líneas de enlace y los interruptores, al final de cada una de ellas, se consideran abiertos en la configuración original (NA). Existen interruptores cerrados (NC) en todas las otras ramas de la red. Los valores de la impedancia de línea y la condición de carga de cada nodo son las utilizadas por  Baran y Wu (1989). Como puede verse en la Figura 1, el sistema es radial y cualquier modificación que se produzca en el estado de un interruptor (abierto/cerrado), para la búsqueda de una topología óptima, no debe alterar dicha condición. El criterio utilizado para la numeración de las ramas y nodos, se encuentra detallada en Goswami y Basu (1992).

Fig.1: Ejemplo de red de distribución.

Para este trabajo, se adoptó el mismo criterio. Es así que, se designa como rama 1, la que conecta los nodos 0 y 1; como rama 2, la que conecta los nodos 1 y 2, etc. Los tramos de red entre nodos, reciben la numeración correspondiente a los nodos en que finalizan, teniendo en cuenta el sentido de circulación de la corriente eléctrica.

A los efectos de brindar mayor flexibilidad en la operación de la red, se considera que en cada tramo existe un interruptor. Por lo tanto, la numeración de cada uno de ellos, coincide con la de la rama correspondiente. Los interruptores abiertos en la topología original tendrán los números 33 al 37 y, por ejemplo, el interruptor que una vez abierto separe los nodos 5 y 25 recibirá el número 25.

FLUJO DE POTENCIA

La metodología en el análisis de malla, exige la implementación del cálculo del flujo de potencia en cada cambio de estado de los interruptores para determinar el valor aproximado de las pérdidas activas. El cálculo de los flujos de potencias, fue realizado con la asistencia de una planilla de cálculo y se basó en el Método de Suma de Potencia (Céspedes, 1990).

Los datos empleados fueron: Potencia Base, Tensión Base, Tensión del Nodo Raíz y los vectores complejos que contienen las Potencias de Carga en los nodos y las Impedancias de Líneas en las ramas.

Las cargas de la red se modelaron como fuentes de corriente constante, independientes de las tensiones de nodo, justificado por Morton et al. (2000). Esta aproximación simplifica el problema, pues la operación de interruptores dentro de un lazo, modifica el patrón de flujo sólo en dicha malla.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

El método de lazo simple propuesto por Fan et al. (1996), se origina en los principios del método de Simplex, utilizado en  programación lineal.

Basada en la formulación del problema realizada por Fan et al. (1996), la función objetivo resulta:

                                   (1)

Donde:

I    : 1....n siendo n el número de ramas.

Xn : variable que indica el estado del interruptor perteneciente a la rama n, ´0´ si está cerrado y ´1´ si está abierto.

R: resistencia de línea en p.u.

Ii    : corriente de línea en p.u.

Por lo tanto, cada rama está numerada y se considera que cada una de ellas contiene un interruptor.

RESTRICCIONES DEL SISTEMA

Siendo la radialidad una condición esencial que el sistema debe respetar, éste puede ser representado como enmallado, individualizando las mallas que conforman un lazo cerrado y considerando en cada una, un interruptor abierto.

A los efectos de asegurarse que en el desarrollo del método Simplex no se eliminen ramas troncales, denominando como tales aquellas que son compartidas por todas las mallas, se impone como condición que los interruptores de las mismas deben permanecer cerrados (Xc).

De acuerdo a la condición anterior, se verifica que para una malla dada “i”, la sumatoria de todos los interruptores pertenecientes a esa malla está igualada a 1 ya que, si en la malla existe un solo interruptor abierto (estado cerrado 0 y el estado abierto 1) la suma de los estados de todas las variables será igual a la unidad, Ecuación 2.

                                                         (2)

La malla 1 del ejemplo planteado, está formada por la igualdad de la Ecuación 3.

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+ +X18+X19+X20+X21+X35 = 1                            (3)

Habrá un número igual de ecuaciones de restricciones, como mallas puedan ser formadas.

Para representar la condición, se mantienen cerrados los interruptores, igualando a cero la variable que representa dicha rama (Xc = 0), obteniéndose un número de ecuaciones idéntico a los interruptores que comparten mallas.

MÉTODO DE SOLUCIÓN

A continuación se detalla la metodología utilizada, así como la forma en que se llegó a ésta. A partir de la configuración inicial se obtiene la función objetivo que se muestra en la Ecuación 4 y las condiciones limitantes del sistema que se muestran en el sistema de ecuaciones 5.

                                                (4)

Debe cumplirse además que los interruptores que comparten todas las mallas no puedan ser abiertos, puesto que si esto sucede, se modificará la cantidad de mallas en la red. En el caso planteado serán: X1, X2, X3, X4, X5.

A continuación se procede a la aplicación del método Simplex. En primer lugar se realiza el cálculo del  flujo de carga de la red en su configuración actual. De esta manera se obtiene el valor de las pérdidas causadas por efecto joule (Ii2 .Ri), el cual constituye la constante de la función objetivo. Dicho cálculo arrojó una pérdida de 0.02019 p.u.

De la aplicación del método Simplex a esta instancia, se infiere que la solución deriva en una degeneración (existencia de igualdad entre los valores mínimos de q, en caso de no estar claramente determinada la variable que debe abandonar la base).

La solución degenerada del método no asegura un mínimo de la función objetivo.

Para solucionar este inconveniente, se acudió al método de las perturbaciones de Charnes Hadley (Jauffred et al., 1971).

En primera instancia se empleó el método Simplex Básico para observar la degeneración del algoritmo y posteriormente, se aplicó el Método de las Perturbaciones (Jauffred et al., 1971).

Para simplificar el cálculo del algoritmo de Simplex, no se consideraron los interruptores que comparten malla dentro de las variables no básicas (X1, X2, X3, X4 y X5). Esto permitió reducir las condiciones, sin considerar aquellas que representan la permanencia en estado cerrado de los interruptores que comparten mallas. También se consideraron los interruptores de la red inicial que se encuentran abiertos como solución básica inicial del método Simplex (X35, X33, X34, X36, X37).

Para realizar los cálculos que el procedimiento de solución Simplex requiere, se conformó la Tabla 1, donde la primera columna representa las variables de la solución ordinaria y la segunda columna, los coeficientes de la variable de la solución básica en la función objetivo. Las columnas siguientes son los vectores estructurales que representan los coeficientes de sus variables. En la columna llamada “b” aparecen las soluciones y finalmente la última columna, es simplemente un lugar conveniente para situar a qi. A esta Tabla se incorporaron dos filas: una llamada Zj, la cual toma distintos valores de la función objetivo para cada solución que se ingresa y la fila Cj- Zj que permite determinar cuál es la variable que se introducirá en la nueva solución.

Al concluir el primer paso, sale la variable X35 e ingresa la X7. En un segundo paso ingresa la variable X14 y sale X34. En el tercero ingresa X28 y sale X34. Finalmente en un cuarto paso del proceso del método Simplex, los valores de Cj-Zj son £ 0, por lo tanto no es posible mejorar la función objetivo. De este modo, culminan las operaciones.

Tabla 1: Tabla Simplex.

PASO 1

   

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

Base

Cb

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

X35

-0,02019

1

1

1

1

1

1

0

0

0

X33

-0,02019

1

1

0

0

0

0

0

0

0

X34

-0,02019

1

1

1

1

1

1

1

1

1

X36

-0,02019

1

1

1

1

1

1

1

1

1

X37

-0,02019

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 

Zj

-0,08076

-0,08076

-0,06057

-0,06057

-0,06057

-0,06057

-0,04038

-0,04038

-0,04038

 

Cj-Zj

0,06057

0,06057

0,04038

0,04038

0,04038

0,04038

0,02019

0,02019

0,02019

X15

X16

X17

X18

X19

X20

X21

X22

X23

X24

X25

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,04038

-0,04038

-0,04038

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,04038

0,00000

0,00000

0,00000

0,02019

0,02019

0,02019

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

0,02019

X26

X27

X28

X29

X30

X31

X32

X33

X34

X35

X36

X37

   

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

b

qi=bi/aij

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

¥

-0,04038

-0,04038

-0,04038

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

-0,02019

   

0,0201

0,0201

0,0201

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

   

Se puede observar que en el paso 1 de la Tabla 1, existe una igualdad entre los valores de q en las cuatro primeras filas. Esto implica una degeneración del método Simplex. Existe también una igualdad de las variables no básicas (interruptores cerrados), en el paso 1 entre X6 y X7; en el paso 2 entre X12, X13, X14 y en el paso 3, entre X25, X26, X27, X28.

Para realizar la elección de las variables no básicas a ingresar como básicas, se consideran factibles todas las combinaciones posibles. Por cada una de ellas se realiza el cálculo del flujo de potencia y se seleccionan los interruptores que infieren menores pérdidas. En la Tabla 2 se exponen todas las combinaciones de interruptores posibles, eligiendo la variable básica a ser cambiada, utilizando el primer valor de la columna q.

De esta manera se obtienen los interruptores a ser abiertos: del paso 1, X7; del paso 2, X14; y del paso 3, X28; para lograr las menores pérdidas. En adelante, se mantiene esta selección de interruptores como variables básicas en todos los cálculos que se desarrollen por el método Simplex, a fin de simplificar las operaciones.

A continuación, se obtienen los interruptores a cerrar para lograr las mínimas pérdidas. Al igual que sucede con los interruptores por abrir, los interruptores a cerrar seleccionados no garantizan las mínimas pérdidas, aunque minimicen la función.

El método de las perturbaciones Charnes Hadley (Jauffred et al., 1971) es usado para poder seleccionar de forma adecuada los interruptores a cerrar. Este método consiste en agregar una columna qi cada vez que exista una columna q en la cual haya una igualdad en sus valores. Esta columna, se forma con los elementos que corresponden a la fila de aquellos empatados en la anterior columna q.

Ante el primer empate, los nuevos valores de qi se obtienen cambiando los elementos bi por el elemento aij, con j igual al índice de la primer variable básica., En el caso de volver a ocurrir un empate, se reemplazará aij con el índice de la segunda variable básica y así sucesivamente.

Los interruptores que deben permanecer abiertos, indicados por este método, son X7, X33, X14, X36, X25. El valor de las pérdidas resistivas calculadas con esta configuración es igual a 0.015759 p.u.

Si se observa la Tabla 2, se puede notar que existen configuraciones que arrojan menores pérdidas. La única forma de llegar a la configuración que brinda las mínimas pérdidas, es ensayando con todas las posibles variables básicas que salen (interruptores que se cierran).

La selección de la variable de salida implica probar con todas las posibles combinaciones de los q, es decir con todos los cocientes menores y positivos. En caso de no existir ningún coeficiente positivo, se considerarán como opción aquellos que sean nulos (ceros).

Tabla 2: Combinación de aperturas de interruptores.

COMBINACIONES

DE APERTURAS POSIBLES

PERDIDAS

p.u.

X6

X12

X25

X33

X36

0,019715

X6

X12

X26

X33

X36

0,019224

X6

X12

X27

X33

X36

0,018776

X6

X12

X28

X33

X36

0,018393

X6

X13

X25

X33

X36

0,019407

X6

X13

X26

X33

X36

0,018916

X6

X13

X27

X33

X36

0,018468

X6

X13

X28

X33

X36

0,018086

X6

X14

X25

X33

X36

0,018616

X6

X14

X26

X33

X36

0,018448

X6

X14

X27

X33

X36

0,018000

X6

X14

X28

X33

X36

0,017618

X7

X12

X25

X33

X36

0,017569

X7

X12

X26

X33

X36

0,017106

X7

X12

X27

X33

X36

0,016688

X7

X12

X28

X33

X36

0,016334

X7

X13

X25

X33

X36

0,017276

X7

X13

X26

X33

X36

0,016797

X7

X13

X27

X33

X36

0,016363

X7

X13

X28

X33

X36

0,015994

X7

X14

X25

X33

X36

0,015759

X7

X14

X26

X33

X36

0,015281

X7

X14

X27

X33

X36

0,014847

X7

X14

X28

X33

X36

0,014478

En la Tabla 3 se muestran los resultados de las distintas opciones halladas que surgen de desarrollar el método Simplex. Una vez concluido con todas las  posibles combinaciones de variables de salida y entrada y descartando aquellas que aíslan nodos, se analizan las opciones que arroja el método como posibles configuraciones de mínimas pérdidas a través del calculo de los flujos de cargas. En nuestro caso resulta que la configuración óptima es la que responde a la tercera opción (X7, X9, X14, X36, X28) con un valor de pérdidas resistivas de 0.013702 p.u.

DIAGRAMA DE FLUJO

En la Figura 2  se describe un diagrama de flujo que muestra  la metodología propuesta. A partir de la carga de todos los datos de la red: tensión y potencia en los nodos, resistencia y reactancia de cada rama y configuración de la red, el programa realiza el cálculo del flujo de potencias de la red inicial, de modo de poder hallar las pérdidas resistivas. Siendo éstos, los únicos datos brindados por los resultados del flujo de potencia que utilizará el programa para hallar la configuración óptima.

A partir de este cálculo, se identifica los interruptores de cada malla y se los almacenan en un vector denominado MA(I), formando así la matriz MALLA, cuyos elementos son los vectores mencionados. Posteriormente se realiza una búsqueda dentro de la matriz, para identificar aquellos interruptores que comparten mallas, para ser eliminados conformando una nueva matriz MALLA reducida.

El Algoritmo de Simplex realiza las operaciones del método con la opción de probar con todas las variables posibles de ingreso a la base (empates en los valores de la variable q), como también cuando existe un empate en la sustracción Cj-Zj (decremento producido en la función objetivo). Así, se procede a almacenar las distintas configuraciones de interruptores abiertos que el algoritmo indica como óptimas, reservándolas en vectores llamados apertura Vi, en la matriz (M) mostrada en la Ecuación 6.

M = [V1  V2 ........Vn]                                       (6)

Luego, con los vectores apertura, se actualiza la matriz MALLA y se verifica que en cada malla se cumpla la condición de que exista sólo un interruptor abierto. Así, se evita que nodos de la red queden aislados en las nuevas configuraciones propuestas.

Tabla 3: Clasificación de las configuraciones posibles.

OPCIONES HALLADAS

PERDIDAS (p.u.)

OBSERVACIONES

X7

X33

X14

X36

X28

0,014957

Valida

X7

X33

X34

X14

X37

0,01676

Valida

X7

X9

X14

X36

X28

0,013702

Valida

X9

X7

X34

X14

X37

0.018366

Valida

X35

X7

X9

X34

X28

---------------------

No Valida (Aísla nodo)

X35

X7

X9

X36

X28

0,015736

Valida

 

X17

X33

X7

X36

X28

---------------------

No Valida (Aísla nodo)

 

X35

X18

X7

X36

X28

---------------------

No valida (Aísla nodo)

 

X35

X33

X34

X18

X37

---------------------

 No Valida (Aísla nodo)

Si esto es así, al vector apertura se le almacena en una nueva matriz de vectores apertura denominados Ni, caso contrario, se descarta la opción.

Con esta nueva matriz (N) se realiza el cálculo del flujo de potencias de las configuraciones de la red correspondientes a cada vector de la matriz. De esta manera se almacenan los distintos vectores apertura, agregándoles un elemento que corresponde al valor de pérdidas hallado por el flujo de potencias correspondiente a este vector. Con estos valores se construye una nueva matriz, la cual contendrá a los posibles vectores apertura, configuraciones probablemente óptimas con sus pérdidas asociadas.

Finalmente, se comparan todas las pérdidas en búsqueda de la mínima. A esta última se la asocia con el vector de la matriz hallada anteriormente, considerada como vector óptimo.

Luego, se almacena el vector de interruptores de apertura que resulta óptimo (Vi), incluyendo las pérdidas asociadas a esta configuración.

De esta forma se determina los interruptores a abrir para lograr una configuración óptima y las pérdidas asociadas a la misma.

Fig. 2: Diagrama de flujo

DISCUSIÓN

Los resultados de la aplicación de esta metodología de cálculo, luego de la reconfiguración, son comparables pero mejores a los obtenidos en las publicaciones Goswami y Basu (1992), Fan et al. (1996).

Con la técnica de Romero et al. (2001), no se llega al mínimo global, introduciendo algunas aproximaciones para reducir los tiempos computacionales.

Un aspecto positivo de esta metodología radica en la evaluación de todas las combinaciones factibles que se realizan  en  la  búsqueda del óptimo global. De esta manera se descarta la posibilidad de que exista una configuración, que bajo las mismas condiciones iniciales, arroje menores pérdidas.

Sin embargo, para lograr éste cometido, se requiere de un gran esfuerzo computacional.

En efecto, para el ejemplo planteado, el programa deberá evaluar 201.376 combinaciones que surge de considerar 37 interruptores tomados de a cinco, número que representa la cantidad de mallas.

Sin embargo la solución para este sistema comparado con los resultados provistos por las diferentes técnicas,  es alcanzada a un costo computacional razonable.

Otra de las ventajas surge de la independencia de la configuración inicial de la red, ya que cualquiera sea la misma, por la característica propia del método Simplex, se arribará a igual resultado.

CONCLUSIONES

Este trabajo evalúa el problema de la reconfiguración de la red de distribución para reducir sus pérdidas resistivas de línea.

La aplicación de esta técnica de cálculo nos permitió comprobar la posibilidad de reducir las pérdidas en forma significativa (en un 48% menos de las pérdidas iniciales para el ejemplo estudiado).

Al analizar todas las combinaciones posibles, teniendo en cuenta la complejidad computacional que proviene de la gran dimensionalidad del problema, nos permite asegurar que la configuración de red obtenida resulta ser la óptima global.

La mayor dificultad cuando el mínimo global es buscado, consiste en resolver el flujo de carga para todas las configuraciones radiales del sistema. Esto implica un importante esfuerzo computacional para alcanzar la solución final. Para nuestro sistema el tipo de modelado de las cargas simplifica el problema de modo que la operación de interruptores dentro de un lazo, altera solo el flujo en dicha malla, sin modificar al resto de la red, compensando de este modo los tiempos computacionales del análisis del método Simplex.

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