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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.3 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000300016 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°3-2006, pág.: 107-116

INGENIERIA MECANICA

Generación de Mallas Estructuradas en Superficie

Generation of Structured Grids on Surfaces

João M. Baltazar y Luís R. Eça
MARETEC, Instituto Superior Técnico, Departamento de Ingeniería Mecánica, Avenida Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa-Portugal (e-mail: baltazar@marine.ist.utl.pt)


Resumen

En este artículo se describe una técnica de generación de mallas estructuradas en superficie, que proporciona dos propiedades importantes: la utilización de un dominio paramétrico independiente de la forma en como la superficie es definida y la posibilidad de seleccionar el dominio computacional arbitrariamente sin tener que respetar las fronteras de la definición geométrica de la superficie. Estas propiedades son obtenidas con la introducción de una transformación de coordenadas adicional que relaciona las variables dependientes del proceso de generación de malla con las variables independientes de la definición geométrica. Se presentan algunos ejemplos de aplicación para problemas de hidrodinámica naval con diferentes descripciones geométricas: un ala elíptica en planta, una hélice marítima convencional y un casco de un buque. El método propuesto puede también ser utilizado con técnicas de generación de mallas más sofisticadas sin ninguna alteración.

Palabras claves: generación de mallas, mallas estructuradas, hidrodinámica naval, computación


Abstract

This paper describes a technique for the generation of structured grids on surfaces. The proposed procedure has two main properties: the parametric domain is independent of the surface definition and the boundaries of the computational domain can be chosen arbitrarily, without considering any limits to the definition of the geometry of the surface. These properties are obtained with the introduction of an extra coordinate transformation that relates the dependent variables of the grid generation process with the independent variables of the geometry definition. Examples of naval hydrodynamic problems with different geometrical descriptions are presented: an elliptical wing, a conventional marine propeller and a ship hull. The proposed method can also be used in conjunction with techniques for the generation of more sophisticated grids without alteration.

Keywords: grid generation, structured grids, naval hydrodynamic, computational techniques


INTRODUCCION

A pesar de que actualmente haya una gran proliferación del uso de mallas no estructuradas, existen todavía aplicaciones de Mecánica de Fluidos Computacionales en las que la utilización de mallas estructuradas está recomendada (Shaw, 1999).

La generación de mallas estructuradas en superficie con geometría arbitraria es de un modo general un problema complejo, (Khamayseh y Kuprat, 1999). A pesar de ser necesario definir tres coordenadas (x,y,z) para cada punto de la malla, sólo dos son independientes, siendo la tercera determinada por la definición de la superficie.

En general, se utilizan dos coordenadas paramétricas para definir una superficie. Así, se vuelve atractivo utilizar las coordenadas paramétricas como variables dependientes del proceso de generación de malla, (Khamayseh y Kuprat, 1999). Sin embargo, puede ser difícil definir un dominio computacional de forma arbitraria a partir de las coordenadas paramétricas utilizadas en la definición de la superficie. En este artículo, presentamos una técnica de generación de mallas estructuradas en superficie, (Eça, 2003), que introduce una transformación de coordenadas adicional, para obtener una definición paramétrica del dominio a discretizar independientemente de la manera en como la superficie es definida. En el método desarrollado, (Eça, 2003), la generación de la malla estructurada en superficie incluye tres transformaciones de coordenadas: (i) la relación entre las coordenadas cartesianas de la superficie, (x,y,z), y el dominio paramétrico (s1,s2). Esta transformación corresponde a la definición de la superficie. (ii) La relación entre el dominio paramétrico (s1,s2) y el nuevo dominio paramétrico (I,J), que obedece siempre a las mismas propiedades independientemente de la forma del dominio a discretizar y de la definición de la geometría. (iii) La transformación entre el dominio paramétrico (I,J) y el dominio computacional (x,h). Esta transformación es equivalente a un proceso de generación de malla bidimensional.

Conforme ilustraremos en los ejemplos de aplicación, la introducción de la segunda transformación de coordenadas aumenta significativamente la flexibilidad y robustez de las técnicas de generación de malla utilizadas habitualmente para la generación de mallas estructuradas en superficie. A pesar de que se pueden utilizar métodos de generación de mallas basados en sistemas de ecuaciones a las derivadas parciales, (Eça 1999), en este artículo sólo presentamos ejemplos en los que la tercera transformación de coordenadas es una sencilla interpolación transfinita, ya que el énfasis está en la segunda transformación de coordenadas.

El artículo se encuentra organizado de la siguiente manera: en la próxima sección se describen las tres transformaciones de coordenadas. Después, son presentados algunos ejemplos de aplicación que incluyen: un ala elíptica en planta, una hélice convencional y un casco de un buque. Por último, se presentan las principales conclusiones de este trabajo.

Generación de mallas en superficie

El presente método de generación de mallas en superficie incluye tres transformaciones de coordenadas que se describen en las siguientes secciones.

Definición de la Geometría

En general, la definición de una superficie de forma arbitraria es realizada a partir de las relaciones entre las coordenadas cartesianas (x,y,z) y dos coordenadas paramétricas (s1,s2):

,

(1)

en que  y . En muchos casos se usa un dominio paramétrico normalizado con  y . Sin embargo, los límites de variación de s1 y s2 son arbitrarios.

En este trabajo se considera tres tipos de definición geométrica: (i) las ecuaciones (1) son definidas por expresiones analíticas; (ii) interpolación por splines cúbicas bidimensionales a partir de una malla finita de puntos discretos en la superficie; (iii) interpolación con B-splines, NURBS, (Farin, 1990), en donde la geometría puede incluir varias partes con coordenadas paramétricas locales.

Definición Analítica de la Superficie

Para ilustrar una superficie con definición analítica seleccionamos uno de los ejemplos de aplicación que presentaremos en la próxima sección: un ala elíptica en planta con envergadura 2×S, cuerda en la raíz CO y un perfil simétrico. La forma del ala en planta es dada por

.

(2)

La cuerda, c, es función de la coordenada y según la dirección de la envergadura del ala,

.

(3)

El eje x se encuentra alineado con la cuerda del ala con el sentido positivo en la dirección del borde de salida y el eje z completa el sistema de ejes de modo a obtener un sistema directo.

Introduciendo las coordenadas paramétricas (u,v), definidas por

(4)

en que  y , y considerando la distribución de espesura adimensional a lo largo de la cuerda, f(u), tenemos

(5)

donde los índices e y i se refieren al extradós e intradós del ala, respectivamente. Así podremos escribir las relaciones entre las coordenadas cartesianas (x,y,z) y las coordenadas paramétricas (u,v)

.

(6)

Las coordenadas paramétricas (u,v) no son la opción ideal para generar una malla para la superficie del ala porque existen dos valores de z para cada pareja (u,v) como se puede observar en las ecuaciones (6). Para este ejemplo en el que el perfil es simétrico este paso es innecesario. Sin embargo, si el perfil del ala no es simétrico esta transformación es esencial para generar la malla. Una sencilla transformación lineal por pasos permite generar mallas incluyendo el extradós y el intradós del ala

.

(7)

Substituyendo (u,v) por (s1,s2) en (6) se obtiene una definición analítica de la superficie con un dominio paramétrico normalizado, en el que  y .

Definición de Superficie por Splines Cúbicas

Existen muchos casos prácticos donde la geometría es definida a través de un conjunto de secciones en donde una de las coordenadas es constante. Así, la superficie es representada por un conjunto finito de NTX×NTY puntos definidos a lo largo de dos familias de líneas paramétricas (i,j) donde se conocen las coordenadas (x,y,z).

En estos casos, se puede utilizar una interpolación por splines cúbicas bidimensionales para interpolar los valores de (x,y,z) para cualquier punto de la superficie. Una forma sencilla de hacer esta interpolación es utilizar los índices (i,j) como variables independientes, (Pina, 1995). Sin embargo, la distribución de puntos disponible en la definición geométrica no siempre es regular. Por lo tanto, se vuelve más útil introducir dos variables paramétricas, (s1,s2), que representan


la distancia entre los nodos que definen la superficie a lo largo de dos fronteras del dominio. Calculando las distancias

(8)

donde , y normalizando por la distancia total

(9)

se obtienen las coordenadas paramétricas.

Las líneas que determinan s1 y s2 tienen que ser escogidas por el utilizador, pero su localización es arbitraria. En ecuación (8), las distancias  y son calculadas a lo largo de las líneas  y , respectivamente.

Utilizando f para representar cualquiera de las coordenadas cartesianas, x, y o z, la interpolación por splines cúbicas bidimensionales es dada por:

(10)

donde:

(11)

y, f1, f2, f3 y f4 son los polinomios de Hermite:

(12)

Las derivadas de las coordenadas (x,y,z) en orden a s1 y s2 en los NTX×NTY puntos que definen la geometría son determinados por la condición de continuidad de la segunda derivada a lo largo de las dos familias de líneas i=const. o j=const.. En las fronteras del dominio, se asume que la segunda derivada de (x,y,z) en orden a s1 y s2 es nula. Estas condiciones corresponden a NTX+NTY sistemas de ecuaciones tridiagonales que son fácilmente resueltos con el algoritmo de Thomas, (Pina, 1995).

Definición de Superficie por B-Splines

En la representación por B-splines, NURBS, (Farin, 1990), la superficie puede ser representada por varias partes independientes en donde se utilizan coordenadas paramétricas locales. Este tipo de descripción de la superficie requiere la definición de una matriz de conectividad que permita construir un espacio paramétrico (s1,s2) que contenga todas las partes necesarias del dominio a discretizar. La relación entre las coordenadas paramétricas locales de las B-splines y (s1,s2) requiere una transformación de coordenadas adicional, (Eça, 2003).

En superficies complejas, la matriz de conectividad puede ser extremamente difícil de definir. Sin embargo, en este trabajo adoptamos una conectividad sencilla en la que se asume que todas las partes de la superficie se unen secuencialmente en una dirección, (Eça, 2003).

Los detalles de la determinación de (x,y,z) a partir de (s1,s2) están descritos en (Eça, 2003).

Transformación Adicional de Coordenadas

El objetivo de esta transformación de coordenadas es obtener un dominio paramétrico regular, (I,J), para cualquier topología de la región a discretizar y que sea independiente de la forma en como la superficie es definida. La definición de este dominio paramétrico a discretizar obedece a las siguientes reglas: (i) las fronteras de la región a discretizar corresponden a las líneas I=1, J=1, I=NT y J=NT, en donde NT representa el número de puntos en cada dirección en la definición del dominio paramétrico, (I,J). El valor de NT es arbitrario. (ii) La malla rectangular definida por las líneas I=const. y J=const., siendo I y J números enteros, debe representar aproximadamente una malla equidistante en el plano físico.

La elección de (I,J) para variables dependientes del proceso de generación de malla implica el conocimiento de la relación entre (s1,s2) e (I,J), para que se puedan determinar las coordenadas (x,y,z) a partir de una pareja (I,J). Esta transformación de coordenadas tiene como variables independientes (I,J), y (s1,s2) como variables dependientes.

En el presente método esta transformación de coordenadas es definida por interpolaciones bilineales definidas por elementos. Para una malla de NT×NT puntos, en que I y J corresponden simplemente a números enteros entre 1 y NT, se determinan las coordenadas s1 y s2 con el siguiente procedimiento:

(i) Los cuatro vértices de la geometría a discretizar definen los valores de s1 y s2 en los cuatro vértices del dominio paramétrico (I,J). Esta definición se realiza a través de variables de entrada.

(ii) A lo largo de cada una de las cuatro fronteras del dominio, en que I=const. o J=const., se definen valores s1 y s2 equidistantes entre dos vértices.

(iii) La aproximación inicial de s1 y s2 en los puntos interiores se obtiene con una interpolación transfinita:

(13)

con

.

(14)

Esta distribución de (s1,s2) no garantiza que las dos familias de líneas I=const. y J=const. sean aproximadamente equidistantes en el plano físico.

(iv) Se realizan una serie de “barridos” del dominio paramétrico (I,J) para regularizar la distribución de puntos a lo largo de las líneas I=const. y J=const.. Por ejemplo, para las líneas I=const. estos “barridos” de I=1 a I=NT incluyen los siguientes pasos: (a) determinación de las splines cúbicas unidimensionales que representan s1 y s2 en función de J. (b) recalculación de los valores de s1 y s2 para obtener una distribución de puntos equidistantes en el plano físico.

Con la malla de NT×NT puntos conocida, se puede obtener s1 y s2 a partir de (I,J) a través de

(15)

donde:

.

(16)

Los valores de i, j, x y h se determinan fácilmente a partir de las coordenadas paramétricas (I,J),

.

(17)

Como la interpolación bilineal (15) es aplicada elemento a elemento, se debe utilizar un valor elevado para NT de modo que se obtenga una buena definición de la transformación de coordenadas.

Método Algebraico de Interpolación

La tercera transformación de coordenadas corresponde a una generación de malla bidimensional entre las coordenadas (I,J) y un dominio computacional rectangular (x,h). Existen varios tipos de métodos que se pueden utilizar. Sin embargo, en este trabajo adoptamos un sencillo método algebraico basado en la interpolación transfinita, de modo a realzar la suavidad de las mallas obtenidas con la transformación de coordenadas adicional entre los dos dominios paramétricos: (s1,s2) e (I,J).

Este proceso de generación de mallas se basa en la especificación de las coordenadas (I,J) a lo largo de las cuatro fronteras de la región a discretizar. Las coordenadas en los puntos interiores de la malla son obtenidas utilizando la ecuación (13) a I y J. Así, es posible seleccionar la distribución de puntos pretendida en las fronteras del dominio físico. Con la presente técnica de generación de malla en superficie, la malla obtenida por interpolación transfinita deberá reproducir en su interior el espaciamiento entre puntos definido en las fronteras.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Para ilustrar las posibilidades de la técnica de generación de malla presentada, seleccionamos tres geometrías con diferentes descripciones geométricas: (i) la superficie de un ala elíptica en planta, representada por una descripción analítica; (ii) la superficie de la pala de una hélice marítima convencional, con una descripción por splines cúbicas bidimensionales; (iii) la superficie del casco de un buque, con una descripción de la superficie por B-splines constituida por cuatro partes.

Ala Elíptica en Planta

El primer ejemplo de aplicación es un ala elíptica en planta con una sección simétrica correspondiente a un perfil alar NACA 0010. La descripción de la superficie es dada por las ecuaciones (6) y (7) y por la distribución de espesura de un perfil NACA de 4 dígitos, (Abbott y Doenhoff, 1959).

La Figura 1 presenta una malla de 65×17 nodos obtenida para media ala utilizando líneas s1 y s2 iguales a constante. Esta malla incluye el extradós e intradós del ala. Los valores de s1 y s2 fueron escogidos de forma a obtener una distribución aproximadamente del tipo coseno en la dirección de la cuerda, tanto para el extradós como para el intradós, y una distribución del tipo medio coseno en la dirección de la envergadura. La principal dificultad de esta geometría es la presencia de una singularidad en la extremidad del ala, que provoca que localmente se obtengan grandes desvíos de la ortogonalidad en este tipo de malla. En el ejemplo presentado en la Figura 1, el desvío máximo de la ortogonalidad es de 76.9 grados y el desvío medio de 17.8 grados.

Las capacidades del método prepuesto en este trabajo son ilustradas para una malla de 65×17 nodos en donde la singularidad fue desplazada a la posición de coordenada y/S=0.95 en el borde de salida del ala. La malla obtenida es presentada en la Figura 2. Se utilizó el mismo tipo de distribución de los nodos en las fronteras del dominio, con una distribución aproximada del tipo coseno a lo largo de la cuerda en la raíz del ala y una distribución del tipo medio coseno a lo largo del borde de salida y del borde de ataque del ala. En este caso, la  malla obtenida por interpolación transfinita presenta un desvío máximo de la ortogonalidad de 19.4 grados y un desvío medio de 4.8 grados. Estos valores son significativamente más bajos que los presentados en la malla con líneas s1 y s2 iguales a constante.

Los dominios paramétricos (I,J) y (s1,s2) están representados en la Figura 3. En este caso, la transformación intermedia es definida con NT=257. Los beneficios de la introducción de la transformación de coordenadas intermedia son evidentes: la malla del dominio (I,J) es una sencilla malla rectangular, mientras que la malla en el dominio (s1,s2) sería casi imposible de determinar directamente con s1 y s2 como variables dependientes.

Hélice DTRC P4842

El segundo ejemplo es una hélice de propulsión marítima DTRC P4842. La geometría de la hélice es definida para un conjunto de secciones transversales a radio constante, (Koyama, 1993). De esta forma, la superficie de la hélice fue definida por 161 secciones con 321 puntos en cada sección, que fueron utilizados para definir splines cúbicas bidimensionales, que permiten obtener las coordenadas de cualquier punto de la geometría. La coordenada s1 es determinada a lo largo de la raíz de la pala y la coordenada s2 a lo largo de la arista de salida.

Fig. 1: Malla de 65×17 nodos con s1 y s2 constantes para un ala elíptica en planta.

Fig. 2: Malla de 65×17 nodos obtenida en un ala elíptica en planta por interpolación transfinita con desplazamiento de la singularidad al borde de salida.

Fig. 3: Dominios paramétricos (I,J) y (s1,s2) para la malla obtenida por interpolación transfinita de 65×17 nodos en un ala elíptica en planta.

La malla de 41×21 nodos obtenida con líneas s1 y s2 iguales a constante se encuentra representada en la Figura 4. Los valores de s1 y s2 fueron escogidos de modo a obtener una distribución del tipo coseno en las direcciones de la cuerda y del radio de la hélice, respectivamente. En este caso, no hay una singularidad de la malla porque la extremidad de la pala tiene cuerda finita. Sin embargo, este tipo de malla también origina grandes desvíos de la ortogonalidad debido a la geometría de la pala. En este ejemplo, el desvío máximo es de 83.8 grados y el desvío medio de 32.9 grados.

La aplicación del método propuesto para esta geometría está presentada en la Figura 5. La singularidad de la malla es colocada en la arista de salida y la interpolación es aplicada separadamente en las dos caras de la pala. La singularidad de la malla se encuentra en la sección con un rayo igual a 0.973 del rayo de la hélice. La malla tiene una distribución de puntos del tipo coseno en las cuatro fronteras del dominio y contiene también 41×21 nodos.

Tal como en el ejemplo anterior, los desvíos de la ortogonalidad obtenidos en la malla generada por interpolación transfinita en el plano (I,J) son inferiores a los obtenidos en la malla con s1 y s2 constante. En este caso, la malla presentada en la Figura 5 tiene un desvío máximo de la ortogonalidad de 55.8 grados y un desvío medio de 25.6 grados. Las mallas obtenidas en los planos paramétricos (I,J) y (s1,s2) son semejantes a las representadas en la Figura 3 para el ejemplo anterior.

Casco del Petrolero KVLCC2

El último ejemplo de aplicación del presente método de generación de malla es el casco del petrolero KVLCC2, que es actualmente un caso test de referencia en el cálculo del flujo viscoso en buques, (Larsson et al., 2000).

La utilización de una definición geométrica con cuatro partes distintas implica la introducción de una matriz de conectividad para definir las coordenadas (s1,s2). En este ejemplo la conectividad es sencilla, ya que las cuatro partes que definen la superficie están conectadas según la dirección longitudinal. Los pormenores de la definición de s1 y s2 a partir de las coordenadas locales de cada una de las cuatro partes de la superficie están detalladamente explicados en (Eça, 2003).

En este caso, presentamos las mallas obtenidas por interpolación transfinita para la proa y popa del buque. Ambas mallas contienen 121×41 nodos con distribuciones equidistantes a lo largo de las cuatro fronteras del dominio discretizado. La sección maestra (localizada en medio del buque) es una de las fronteras de los dos ejemplos presentados, pero la otra frontera I=const. de la regiones discretizadas no coincide con ninguna de las fronteras de la definición geométrica de la superficie. Para la malla de la proa del buque, los desvíos máximo y medio de la ortogonalidad son de 29.5 grados y 4.7 grados, respectivamente. La malla de la popa del buque presenta un desvío máximo de 45.0 grados y un desvío medio de 3.4 grados.

Las mallas generadas en la proa y popa del petrolero KVLCC2 son presentadas en la Figura 7. Las líneas interiores de las dos mallas son aproximadamente equidistantes, lo cual satisface que las propiedades deseadas de una malla equidistante en el dominio (I,J) corresponda a una malla aproximadamente equidistante en el dominio físico.

CONCLUSIONES

Este artículo presenta una técnica de generación de mallas estructuradas en superficie que permite especificar el dominio a discretizar independientemente de la forma en como la superficie es definida. El método descrito se basa en la introducción de una transformación de coordenadas adicional que relaciona las coordenadas paramétricas que definen la superficie con un dominio paramétrico regular. Las coordenadas de este dominio regular son utilizadas como variables dependientes de un método de generación de malla bidimensional.

Fig. 4: Malla de 41×21 nodos con s1 y s2 constantes en la pala de la hélice DTRC 4842.


Fig. 5: Malla de 41×21 nodos obtenida en la pala de la hélice DTRC 4842 por interpolación transfinita con colocación de la singularidad para la arista de salida.


Fig. 6: Definición de la geometría del petrolero KVLCC2.


Fig. 7: Mallas de 121×41 nodos obtenidas por interpolación transfinita en la superficie del petrolero KVLCC2.

Los ejemplos presentados muestran que la técnica propuesta es flexible y robusta, incluso cuando el método de generación de malla bidimensional es una sencilla interpolación transfinita. Sin embargo, el método propuesto puede también ser utilizado con técnicas de generación de mallas más sofisticadas sin ninguna alteración.

AGRADECIMIENTOS

El autor J. Baltazar agradece a la Fundação para a Ciência e Tecnologia la beca de doctorado, ref. SFRH/BD/14334/2003 y a M. Gaspar por sus correcciones en el castellano.

REFERENCIAS

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