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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.3 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000300017 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°3-2006, pág.: 117-122

INGENIERIA MECANICA

Caracterización de la Impedancia Acústica de Entrada en Cámaras de Expansión Reactivas

Characterization of the Acoustic Input Impedance for Reactive Expansion Chambers

Jorge P. Arenas (1), Juan L. Aguayo (1), Samir N.Y. Gerges (2) y Víctor H. Pobrete (1)
(1) Universidad Austral de Chile, Instituto de Acústica, Campus Miraflores, Casilla 567, Valdivia-Chile (e-mail: jparenas@uach.cl)
(2) Universidad Federal de Santa Catarina, Departamento de Ingeniería Mecánica, CP 476, Florianópolis, SC-Brasil (e-mail: samir@emc.ufsc.br)


Resumen

En este artículo se comparan los resultados de dos modelos teóricos para caracterizar la impedancia de entrada en cámaras de expansión reactivas. El primero consiste en una integración numérica de la ecuación diferencial no lineal que gobierna la propagación sonora de ondas planas en conductos de sección variable. El segundo es el método clásico de la matriz de transferencia. Las estimaciones se comparan con los resultados experimentales de cuatro casos geométricos, medidos por medio del método de los dos micrófonos y la función de transferencia. El estudio muestra que los resultados del método numérico dan valores comparables en precisión al método de la matriz de transferencia. La introducción del número de onda complejo permite cuantificar la atenuación que sufren las ondas sonoras dentro de los conductos. De esta forma, el método numérico permite que pueda ser aplicado a aquellos casos en que no existan matrices de transferencia definidas.

Palabras claves: cámaras de expansión, impedancia acústica, matriz de transferencia, control de ruidos, silenciadores


Abstract

This article compares the results of two theoretical models for characterizing the input impedance of reactive expansion chambers. One method consists of a numerical integration of a non-linear differential equation for the plane wave sound propagation through ducts of varying cross-sections. The second is the classical transfer matrix method. The estimated values are compared with experimental results obtained for four geometrical cases, measured by means of the two-microphone technique and the transfer function. The results show that the estimates using the numerical method give values comparable in accuracy to the transfer matrix method. Introduction of a complex wave number allows quantification of the attenuation of the sound waves inside the ducts. Thus, the numerical method allows application of the method in cases where the transfer matrices are not defined.

Keywords: expansion chambers, acoustic impedance, transfer matrix, noise control, mufflers


INTRODUCCION

Las cámaras de expansión son empleadas para el control del ruido en sistemas de aire acondicionado, conductos, sistemas acústicos y como silenciadores de motores. Además, este tipo de cámaras, que son un ejemplo de la familia de conductos de sección variable, se puede encontrar en algunos instrumentos musicales de viento. Las propiedades de estas cámaras son optimizadas para que eviten la transmisión de las ondas sonoras, incrementándose la reflexión del sonido mediante cambios bruscos de impedancia. El diseño de las cámaras de expansión y su uso como silenciadores han sido objeto de variados estudios, experimentales y teóricos, presentados en la literatura (Sullivan y Crocker, 1978; Craggs, 1989; Davies, 1993).

En general, se sabe que los cambios bruscos de secciones en un conducto reducen la transmisión del sonido. Estos cambios de sección producen cambios de la impedancia de entrada, incrementando la energía reflejada hacia la fuente por el conducto. Sin embargo, para los casos en que el conducto transporta flujo, estos cambios bruscos pueden generar turbulencias que reducen la efectividad del silenciador. Por este motivo, se ha sugerido el uso de cambios más graduales de sección que pueden impedir estos efectos (Arenas y Crocker, 2001a). Un ejemplo de esto puede ser el uso de cámaras esféricas como silenciadores reactivos (Arenas y Crocker, 2001b). Afortunadamente, para los casos de velocidades de flujo bajas, como en los casos de los escapes de vehículos, los modelos de estado estacionario pueden ser usados con un bajo nivel de error, para caracterizar la impedancia de entrada de una cámara de expansión (Munjal, 1987).

Por otro lado, la caracterización de la impedancia de conductos perforados ha sido estudiada solamente por medio de métodos experimentales (Rao y Munjal, 1986). Estudios más recientes han mostrado que el uso de conductos curvos como elementos de silenciadores depende de los niveles de ruido (Kim e Ih, 1999). Para este tipo de conductos se requieren métodos multimodales para describir el comportamiento de la propagación del sonido a través de ellos (Felix y Pagneux, 2002). Estos métodos son bastante complejos para ser usados en casos prácticos de diseño de silenciadores. El método más usado para el diseño es el de la matriz de transferencia (MMT), cuya precisión ha sido analizada por varios autores (Gerges et al., 2005). Sin embargo, para varios casos de conductos de sección variable, el MMT no es aplicable en forma directa ya que las matrices de transferencia no están definidas.

En este artículo, se presenta un método para obtener la impedancia de entrada mediante la integración numérica de la ecuación diferencial no lineal, que gobierna la propagación sonora en un conducto de sección variable. Los resultados son comparados con el método clásico de la matriz de transferencia (MMT) y con resultados experimentales.

TEORÍA

La impedancia acústica es un parámetro muy útil para poder caracterizar el comportamiento de una onda sonora. Se define como la razón compleja entre la presión sonora y la velocidad volumétrica. La ecuación diferencial básica que describe la impedancia acústica de entrada, en un conducto unidimensional simétrico de sección variable, que transporta ondas sonoras planas (aproximación a frecuencias bajas), puede ser escrita como (Arenas y Crocker, 2001a)

.

(1)

En esta ecuación, Z es la impedancia normalizada (dividida por el producto de la densidad del aire y la velocidad de propagación de la onda sonora), j es la raíz de -1, k es el número de onda, x es la distancia a lo largo del conducto y S es la sección transversal variable del conducto. Debido a que el sonido se atenúa al propagarse en el aire, el número de onda se puede escribir como (Rossing y Fletcher, 1995)

(2)

donde k0 es el número de onda sin atenuación, f es la frecuencia y r es el radio variable del conducto. La ecuación (2) expresa que, para un conducto recto, las ondas sonoras se atenúan exponencialmente con la distancia. En general, la ecuación (1) no posee solución analítica y debe resolverse por métodos numéricos o aproximaciones.

Para caracterizar completamente la impedancia de entrada, se requiere conocer una condición de borde para la impedancia a la salida (impedancia de radiación). Comúnmente, los silenciadores terminan en un conducto recto de radio a que descarga el sonido a la atmósfera. Esta condición de borde fue estudiada por Levine y Schwinger (1948), resultando una expresión integral muy compleja. Sin embargo, una aproximación asintótica para la impedancia de radiación fue presentada por Dalmont et al., (2001), siendo

Zrad = jkd  + 0.25 b 2

- jb  3[ 0.036 - 0.034 log(b ) + 0.0187b 2 ]

+ b  4 [0.0127+0.082 log(b ) - 0.023 b ],

(3)

donde d = 0.6133a y b = 2ka. La ecuación (3) es válida para frecuencias bajas, cuando el producto ka < 1.5.

METODO EXPERIMENTAL

Para poder comparar el modelo teórico presentado anteriormente con algunos resultados experimentales, se implementó un sistema de medición basado en la técnica de los dos micrófonos, usado normalmente para la medición de la absorción sonora, de acuerdo a la norma ISO 10534-2 (ISO, 1998). Para la medida de la impedancia acústica,  se adquirieron las señales provenientes de dos micrófonos fijos, de ¼” de diámetro, montados en la pared de un tubo de acero de 6 mm de espesor y de 38.1 mm de diámetro interior. Un extremo del tubo fue cerrado con un altavoz, el cual fue excitado con un ruido aleatorio, proveniente de un amplificador de potencia. El esquema experimental se muestra en la Fig. 1, donde s es la separación entre los micrófonos y z es la distancia entre el micrófono A y el punto en el cual se quiere medir la impedancia.

Las señales de los dos micrófonos fueron digitalizadas mediante un sistema de adquisición de datos controlado por un computador. Se midieron las funciones de transferencia entre los dos micrófonos, las cuales fueron corregidas en fase y amplitud, de acuerdo a la metodología indicada en la norma ISO. Además, durante cada experimento, se midió la temperatura al interior de los conductos con un termo-anemómetro digital, para estimar el valor correcto de la velocidad del sonido. Los detalles teóricos de este método se pueden encontrar en el libro de Munjal (1987).

Fig. 1: Esquema experimental

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se construyó en acero de 6 mm de espesor un conducto recto, dos cámaras de expansión simples y una cámara de expansión esférica, con las geometrías indicadas en la Fig. 2. Estas cámaras fueron conectadas a un conducto recto que descargaba el sonido a una cámara anecoica, para simular la impedancia de radiación dada por la ecuación (3). Se midió la impedancia de entrada con el método experimental, usando s = 3, 6 y 12 mm, obteniéndose un promedio de las mediciones. Paralelamente, se integró la ecuación (1) mediante el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden, con un programa computacional implementado en Matlab. Además, se evaluaron las matrices de transferencia para cada cámara y se calculó el valor de la impedancia de entrada mediante el método MMT (Gerges et al., 2005). Las Figuras 3 a 6 muestran los resultados del módulo de la impedancia de entrada normalizada.

Fig. 2: Geometría de las cámaras de expansión

La Fig. 3 muestra que la impedancia para un tubo recto de 1 m de largo y 38.1 mm de diámetro, presenta valores máximos y mínimos espaciados regularmente, lo que es característico de un tubo recto. El primer máximo se ubica en los 80 Hz, mientras que el primer mínimo ocurre a los 162 Hz. La distancia entre máximos y mínimos sucesivos es de 164 Hz. Se observa que el resultado experimental es muy similar al resultado de la integración numérica. Los resultados obtenidos por la matriz de transferencia (MMT), sobreestiman los máximos y mínimos de la impedancia. Por otro lado, se observa que los resultados experimentales son un poco menores que los numéricos. Esto puede deberse a que, a pesar del gran espesor de las paredes del tubo, existe alguna vibración que puede agregar algún amortiguamiento estructural al experimento.

Fig. 3: Impedancia normalizada para un tubo recto de 1m de largo y 38.1 mm de diámetro

La Fig. 4 muestra los resultados para una cámara de expansión simple de 195 mm de largo y de 153 mm de diámetro. Se puede apreciar un primer máximo en 27 Hz y un primer mínimo en 110 Hz. Los resultados experimentales concuerdan bastante bien con los resultados numéricos y con los resultados obtenidos con la matriz de transferencia, hasta los 500 Hz. Sobre este valor, la curva experimental muestra un máximo en 579 Hz y un mínimo pronunciado en los 1180 Hz, que se observaron en todos los experimentos, lo que puede deberse a resonancias de algunos elementos del sistema de medición. El máximo en 27 Hz no se logra experimentalmente, debido a que es muy difícil generar un alto nivel sonoro a tan baja frecuencia.

La Fig. 5 presenta similares resultados para una cámara de iguales dimensiones que en la Fig. 4, pero su largo es ahora de 500 mm. Se puede apreciar que el primer máximo baja a los 18 Hz y el primer mínimo ocurre en los 67 Hz. Nuevamente se observa buena concordancia entre los resultados hasta los 500 Hz, aproximadamente.

Los resultados para una cámara esférica se presentan en la Fig. 6. Se observa que el primer máximo se ubica en los 20 Hz mientras que el primer mínimo ocurre en los 95 Hz. Aquí, los resultados experimentales concuerdan bien con los numéricos y con los de la matriz de transferencia hasta una frecuencia de 400 Hz. Claramente, en este tipo de cámara, la influencia de los modos superiores ocurre a frecuencias más bajas.

En todos los casos estudiados, se aprecia que los resultados usando la matriz de transferencia estiman resultados más altos en las resonancias, que los estimados mediante la integración numérica. Esto se explica porque las matrices de transferencia no incluyen la atenuación por el aire en el interior de los conductos.

Fig. 4: Impedancia normalizada  para una cámara de expansión simple de dimensiones L=195 mm, D=153 mm, d=38.1 mm, t=50 mm, conectada a un tubo de 1 m de largo


Fig. 5: Impedancia normalizada  para una cámara de expansión simple de dimensiones L= 500 mm, D=153 mm, d=38.1 mm, t=50 mm, conectada a un tubo de 1 m de largo

CONCLUSIONES

A partir de los resultados obtenidos, se pueden indicar las siguientes conclusiones: 1) El estudio muestra que la integración numérica de la ecuación de propagación en un conducto de sección variable da estimaciones comparables en precisión al método de la matriz de transferencia, por lo que representa una buena herramienta para caracterizar la impedancia de entrada de las cámaras de expansión; 2) La introducción de un número de onda complejo en el modelo, permite estimar de mejor forma los máximos y mínimos de la impedancia; 3) El método es útil sólo en la región de frecuencias bajas, donde el supuesto de onda plana es válido; y 4) el método podría usarse para obtener nuevas matrices de transferencia para geometrías más complejas.

Fig. 6: Impedancia normalizada para una cámara de expansión esférica de  dimensiones D=237 mm, d=38.1 mm, t=50 mm, conectada a un tubo de 1 m de largo

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado por CONICYT, a través de los proyectos FONDECYT 1020196 y 7020196.

REFERENCIAS

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