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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.3 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000300020 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°3-2006, pág.: 137-148

INGENIERIA CIVIL

Desarrollo de un Método Eficiente para el Estudio de la Interacción Dinámica Pantógrafo-Catenaria

An Efficient Method for Study of the Pantograph-Catenary Dynamic Interaction

Jesús Benet, Enrique Arias, Angelines Alberto y David Cebrian
Escuela Politécnica Superior de Albacete, Universidad de Castilla-La Mancha,
Avda. España s/n, 02071, Albacete-España (e-mail: Jesus.Benet@uclm.es, Enrique.Arias@uclm.es)


Resumen

Se desarrolla un procedimiento para el estudio de la interacción dinámica pantógrafo-catenaria en líneas ferroviarias. Se ha obtenido un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales con restricciones, comentándose las modelizaciones de los sistemas pantógrafo, catenaria, así como de las condiciones de restricción. Las ecuaciones se han integrado numéricamente como ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de las diferencias centrales. El procedimiento expuesto ha servido de base para el desarrollo de un software de altas prestaciones en Visual C, que permite simular el comportamiento mecánico de varios pantógrafos interactuando con la línea aérea de contacto (catenaria), con objeto de obtener unos valores óptimos de montaje, tanto en líneas convencionales como de alta velocidad.

Palabras claves: pantógrafo catenaria, líneas ferroviarias, ecuaciones diferenciales, método de las diferencias centrales


Abstract

A method for the study of the pantograph-catenary dynamic interaction in railways is presented. A non linear system of differential equations with constraints has been obtained, and the models for pantograph, catenary and constraints, are discussed. The equations have been solved as ordinary differential equations using the central differences method. This procedure has been used to develop high performance software in Visual C, to simulate the mechanical behavior of several pantographs interacting with the contact aerial line (catenary), in order to obtain optimal installation values both in conventional and high-speed lines.

Keywords: pantograph-catenary, railways, differential equations, central difference method


INTRODUCCIÓN

Para conseguir unas prestaciones adecuadas en la circulación de las unidades ferroviarias, la fuerza de contacto pantógrafo-catenaria se ha de mantener lo más uniforme posible, evitando las pérdidas de contacto o “despegues". El desarrollo de un modelo matemático que permita evaluar el comportamiento mecánico del sistema, puede ser de gran ayuda con objeto de especificar unas condiciones de montaje óptimas en la línea aérea de contacto, conocida como catenaria.

La integración numérica de la ecuación diferencial de este sistema presenta varios tipos de dificultades: en primer lugar hay que obtener un adecuado modelado, especialmente en lo referente al contacto pantógrafo-catenaria: el pantógrafo se desplaza a gran velocidad, generando una carga móvil de tipo puntual sobre la línea, por otro lado se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales con restricciones, no siendo aplicables directamente los métodos numéricos de integración correspondientes a las ecuaciones diferenciales ordinarias, existiendo además otra importante dificultad, debido al gran número de variables que aparecen en la formulación matemática de las ecuaciones, con los consiguientes requerimientos de memoria y tiempo de computación, habiendo aparecido en este sentido varios trabajos en la literatura científica: Arnold y Simeon (2000), Collina y Bruni (2002),  Drugge et al. (1999),  Jenssen y Trae (1997), Lesser et al. (1996) y Schaub y Simeon (2001). En el presente trabajo, se presenta un método para el estudio y resolución del problema de una forma sencilla y eficiente, los resultados de este trabajo han servido de base para el desarrollo de un software de altas prestaciones con objeto de efectuar simulaciones para líneas ferroviarias convencionales y de alta velocidad. El trabajo está estructurado de la siguiente manera: en primer lugar se comenta la forma general de las ecuaciones dinámicas, el modelado del sistema y de las condiciones de restricción es explicada a continuación, seguidamente se comenta el procedimiento empleado para la integración numérica de las ecuaciones diferenciales, aplicando el método de las diferencias centrales, completándose todo ello con los aspectos computacionales y con una aplicación real del método propuesto.

ECUACIONES DINÁMICAS DEL SISTEMA  

Las ecuaciones diferenciales de un sistema estructural sometido a restricciones, se pueden escribir, empleando el método de los multiplicadores de Lagrange:

                           (1)

En donde M es la matriz de masas del sistema, C la matriz de amortiguación, K la matriz de rigidez, Φ la matriz de las condiciones de restricción, R el vector término independiente, S el vector asociado a las condiciones de restricción (que en este problema equivale al vector nulo), q el vector coordenadas generalizadas y λel vector de los multiplicadores de Lagrange que físicamente equivale al vector de las fuerzas de restricción.

El conjunto pantógrafo-catenaria, se puede considerar compuesto por dos subsistemas que interactúan entre sí, con unas condiciones de restricción, ya que la pletina de frotamiento del pantógrafo ha de mantener el contacto con los cables de la catenaria para recibir el flujo de corriente eléctrica. Las ecuaciones anteriores se pueden expresar para un instante de tiempo tn en forma más compacta:

                   (2)

En el sistema pantógrafo-catenaria, únicamente la matriz de masas permanece constante a lo largo del tiempo, mientras que el resto de los términos puede variar para cada instante tn, de ahí que se hayan expresado con el subíndice n.

Si existen g coordenadas generalizadas y r restricciones, el sistema anterior presenta un total de g+r ecuaciones con g+r incógnitas.  El número de coordenadas generalizadas depende básicamente, de los metros de cable de catenaria supuesto, de la forma en que se ha efectuado la discretización de los cables y del número y tipo de pantógrafos, y

 el número de condiciones de restricción depende del número y tipo de pantógrafos y de los hilos de contacto, uno o dos, sobre los que interactúa el pantógrafo.

Por otro lado, cada uno de los términos y matrices de la ecuación anterior se pueden descomponer a su vez en dos términos, uno correspondiente a la catenaria, representado con el subíndice 1 y otro correspondiente al pantógrafo, representado con el subíndice 2, resultando: 

           (3)

MODELADO DE LA CATENARIA

La línea aérea de contacto o catenaria se instala considerando una serie de vanos,  normalmente 15 ó 20, constituyendo cada serie un sistema independiente, denominado cantón de seccionamiento, los vanos suelen presentar además una longitud de unos 60 m. En los ferrocarriles europeos se pueden considerar básicamente dos tipos de montajes: el sistema de péndola normal y el sistema de péndola en Y.

En la Figura 1 se muestra un vano con el sistema de péndola normal en el que se  pueden distinguir tres tipos de cables: el sustentador, las péndolas y el hilo de contacto. Tanto el sustentador como el hilo de contacto están tensados por poleas y contrapesos independientes, situados en los extremos de cada cantón de seccionamiento. La catenaria es pues un sistema continuo que se puede modelar aplicando las técnicas de análisis del MEF (Método de los Elementos Finitos), de acuerdo con Cook et al. (1989) ó Bathe (1996).

Fig. 1: Vano de catenaria

En lo que respecta a los cables del sustentador e hilo de contacto, se parte de  la ecuación de Euler-Bernouilli para un cable flexible pretensado en movimiento:

                    (4)

Siendo p el peso del cable por unidad de longitud, g la aceleración de la gravedad, y el desplazamiento del cable, T la tensión mecánica, I el momento de inercia diametral y E el módulo elástico del material. Los cables se modelan como elementos tipo viga pretensada, con dos coordenadas generalizadas por nodo: el desplazamiento y el giro, estando ya explicada la formación de la matriz de rigidez en otros trabajos (Benet et al., 2004). Para la matriz de masas del elemento viga pretensada, se ha supuesto una matriz diagonal en donde m es la masa total del elemento y l su longitud:

                             (5)

 

En el caso particular del sustentador, se puede también modelar como elementos tipo cuerda pretensada, considerando la rigidez a flexión mediante resortes de torsión en los nodos, y una única coordenada, que corresponde al desplazamiento, siendo ésta  la aproximación empleada en el trabajo desarrollado.

Las péndolas se comportan como barras de tracción de longitud final de montaje l, estiradas a partir de una longitud inicial lo. En este caso cada nodo presenta una única coordenada generalizada correspondiente al desplazamiento, y la matriz de masas presenta una forma similar a la ecuación (5) pero sin considerar los términos correspondientes al giro.

Hay que decir además que las péndolas únicamente trabajan a tracción de manera que su efecto en las ecuaciones dinámicas (y su inclusión en la matriz de rigidez y término independiente), únicamente se considerará cuando la longitud efectiva, tomada como distancia entre los nodos extremos, sea mayor o igual que la longitud inicial lo.

Aparte de los cables, hay que tener en cuenta además, el efecto del brazo de atirantado.  Este elemento es una barra de longitud l, articulada a la estructura soporte en un extremo y que agarra al hilo de contacto en su extremo opuesto. Su finalidad es fijar al hilo de contacto de manera que describa un zig-zag, con objeto de desgastar de forma uniforme la superficie de frotamiento del pantógrafo, comportándose como un soporte semirígido.

El efecto del brazo sobre la matriz de rigidez y término independiente se puede aproximar como equivalente a la fuerza ejercida por un resorte de rigidez kb sobre el hilo de contacto, de acuerdo con la ecuación:

                                (6)

Donde fb representa la fuerza dinámica ejercida por el brazo, fm la fuerza estática de montaje, que es un valor prefijado, yAm  la altura estática de montaje del punto o nodo de agarre, que es también conocida, yA es la coordenada generalizada asociada al nodo de agarre del brazo y kb la rigidez aparente, obtenida a partir de la linealización de las ecuaciones estáticas y que depende también de las condiciones de montaje (Benet et al., 2004).

Cuando el pantógrafo está circulando, la masa m del brazo oscilará girando un ángulo θA alrededor de la articulación, presentando una inercia que habrá de tenerse en cuenta al configurar la matriz de masas del sistema, esta inercia será equivalente a la de una cierta masa mA situada en el nodo o punto de agarre del hilo de contacto, desplazándose alternativamente una altura zA =l. θA.

La masa equivalente mA se calculará igualando la energía cinética de rotación del brazo girando alrededor de la articulación, con la energía cinética de traslación de la masa mA oscilando verticalmente:

    (7)

Con todas estas consideraciones, es posible ensamblar las matrices de masas M1, de rigidez K1,  así como el término independiente R1 de la catenaria.

Fig. 2: Detalle del brazo de atirantado.

Finalmente falta por explicar la formación de la matriz de amortiguación C1. Se ha estimado conveniente suponer una amortiguación de tipo Rayleigh, (Cook et al. ,1989 ó Bathe, 1996), en donde la matriz de amortiguación de la catenaria es una combinación lineal de las matrices de masas y de rigidez:

                                         (8)

En este caso se ha supuesto una matriz de rigidez para la catenaria K1 constante, con todas las péndolas conectadas y por tanto una matriz de amortiguación C1 también constante. Las constantes numéricas α y β, se determinan a partir de las amortiguaciones supuestas para dos frecuencias significativas de oscilación del sistema.

MODELADO DEL PANTÓGRAFO

El pantógrafo es un sistema articulado cuya finalidad es captar la energía eléctrica de la línea aérea y transmitirla a la unidad de tracción. Para facilitar su inclusión en las ecuaciones dinámicas se suele modelar como un conjunto de masas, resortes y amortiguadores, sobre los que actúan diferentes fuerzas, aunque los valores correspondientes de estos parámetros se pueden obtener mediante ensayo en el laboratorio, aplicando técnicas de análisis nodal, lo más habitual es que los fabricantes faciliten directamente estos datos.

En la Figura 3 se muestra el modelo de un pantógrafo de una masa de cabeza sobre un hilo de contacto, cada masa lleva asociada una coordenada generalizada correspondiente a su desplazamiento vertical.

Tal como se explica más adelante, con objeto de facilitar la integración de la ecuación diferencial del sistema, se ha añadido deliberadamente un elemento adicional de masa nula, denominado “colector terminal”, el cual recibe la fuerza y contacto del cable y está unido a la masa o masas de cabeza mediante un resorte rígido. Físicamente la rigidez de este resorte representa la rigidez real del contacto hilopletina.

Fig. 3: Pantógrafo sobre un hilo de contacto.

De acuerdo con el dibujo de la Figura 3, se puede observar que sobre las diferentes masas del pantógrafo pueden actuar fuerzas de diferente naturaleza: aparte de las acciones de los resortes y amortiguadores, aparecen otras fuerzas, como la fuerza estática del pistón neumático de empuje: fest, fuerzas de rozamiento: fr1, fr2, etc., fuerzas aerodinámicas: faer, fuerzas de contacto o de restricción pantógrafo-catenaria: λ1, etc.

La ecuación dinámica correspondiente al pantógrafo de la Figura 3, presentará una matriz de masas diagonal y constante.

                           (9)

Esta matriz presenta un término nulo sobre la diagonal, correspondiente a la masa del colector terminal.

La matriz de amortiguación, será:

            (10)

Esta matriz no es necesariamente constante, pudiendo variar con el tiempo, ya que de acuerdo con los datos suministrados por los fabricantes, algunos valores del coeficiente de amortiguación pueden alterarse según las masas se estén acercando o alejando. En lo que respecta a la matriz de rigidez:

    (11)

Esta matriz tampoco es constante ya que los valores de las rigideces pueden variar con la deformación de los resortes que es en definitiva la distancia relativa entre las masas, pudiendo aparecer topes en el recorrido de las mismas, lo cual equivale a suponer una rigidez muy elevada a partir de una determinada deformación. En lo que respecta al vector término independiente:

                           (12)

En la expresión anterior se ha incluido la fuerza de restricción λ1 como si fuera una fuerza más aplicada. En el término independiente aparecen diferentes tipos de fuerzas, algunas de las cuales pueden ser constantes, como la fuerza estática del pistón neumático de empuje, pero otras pueden variar con el tiempo, como la fuerza aerodinámica faer, que varía con el cuadrado de la velocidad y las fuerzas de rozamiento fr, que si bien son constantes en módulo, varían de sentido según  las masas se estén acercando o alejando.

En una misma unidad ferroviaria, pueden existir hasta cuatro pantógrafos, de manera que la estructura presentada en las expresiones anteriores para un solo pantógrafo, se repetirá según el número de pantógrafos de la unidad.

Finalmente, el esquema presentado en la Figura 3, hace referencia a un pantógrafo circulando por una línea con un único hilo de contacto, sin embargo en la práctica se presenta con frecuencia el caso de una catenaria con dos hilos de contacto independientes, de forma que péndolas consecutivas sujetan a hilos diferentes, de acuerdo con el esquema de la Figura 4. En este caso aparecen dos fuerzas de restricción  λ1 y λ2, existiendo dos colectores terminales. Para compensar las diferencias de desplazamiento entre los colectores, se ha intercalado un resorte de compensación de rigidez kC.

Fig. 4: Catenaria con dos hilos de contacto.

CONDICIONES DE RESTRICCIÓN

De acuerdo con las experiencias realizadas y tal como comentan otros autores: Arnold y Simeon (2000), Collina y Bruni (2002),  Drugge et al. (1999),  Jenssen y Trae (1997), Lesser et al. (1996) y Schaub y Simeon (2001), resulta problemático considerar un contacto puntual entre el pantógrafo y la catenaria, ya que ello equivale a suponer una carga concentrada en movimiento, apareciendo problemas de integración cada vez que el pantógrafo pasa por un nodo correspondiente a la discretización del hilo de contacto.

Para evitar este problema es conveniente suponer un contacto de tipo distribuido, según una determinada ley o función de distribución, lo que equivale también a decir  que la fuerza de contacto se reparte sobre la zona de frotamiento del pantógrafo situada en el colector terminal, según la mencionada ley.

Por conveniencia se supone un sistema de ejes Oxy que se mueve con el pantógrafo. La variable x representa la posición de los diferentes puntos del hilo de contacto a lo largo del eje horizontal.

Si l es la longitud de la superficie de frotamiento, y4 la coordenada generalizada correspondiente a la posición vertical del colector terminal del pantógrafo, yh(x) la posición del hilo de contacto en el entorno de la superficie de frotamiento del pantógrafo e y = f(x), la función de distribución del contacto, se cumplirá:

                      (13)

La anterior ecuación permite obtener la posición del colector terminal del pantógrafo y4, como una media ponderada de las posiciones de los nodos del hilo de contacto situados sobre la zona de frotamiento. En general es aconsejable que la función de ponderación y = f(x) tenga una forma “suave” con objeto de facilitar la transición a través de los nodos. Se han ensayado varias funciones para f(x) habiéndose obtenido buenos resultados con una función polinómica de Hermite definida de la siguiente forma:

  (14)

Cumpliéndose además:

                                            (15)

Por otro lado la posición de los diferentes puntos del hilo de contacto en el entorno del pantógrafo se puede definir a partir de las funciones de interpolación, las cuales varían para cada elemento de la discretización.

Suponiendo un elemento genérico i, situado sobre la zona de frotamiento, sean N1i(u), N2i(u), N3i(u) y N4i(u) las funciones de interpolación para el elemento tipo viga pretensada, (Cook et al., 1989 ó Bathe, 1996). Sean y1i, θ1i, y2i, θ2i las coordenadas de los nodos del elemento. La posición genérica de un punto del hilo de contacto del elemento i situado sobre la superficie de frotamiento vendrá dada por:

                  (16)

La variable u representa la posición relativa de un punto arbitrario del hilo de contacto en el elemento i. Si xi es la posición horizontal del nodo de la izquierda del elemento, de acuerdo con la Figura 5:

                                                   (17)

Con lo cual, la ecuación (16), se puede expresar también en función de x:

    (18)

Fig. 5: Función de distribución de carga sobre la superficie de frotamiento del pantógrafo.

La ecuación (13) relativa a la condición de restricción, particularizada para un instante de tiempo tn, teniendo en cuenta que la integración ha de extenderse a los m elementos situados sobre la superficie de frotamiento, resulta:

        (19)

Esta ecuación equivale a decir que la posición del colector terminal del pantógrafo es una media ponderada de las coordenadas generalizadas de los nodos del hilo de contacto situados sobre la superficie de frotamiento. Los coeficientes de ponderación son los términos no nulos del vector fila Φ’n. La ecuación (19) se puede expresar también:

                (20)

La expresión anterior ha de repetirse para todas las condiciones de restricción del sistema, de manera que el vector Φn se transforma en la matriz de las condiciones de restricción.

El número de condiciones de restricción depende de varias consideraciones: del tipo de pantógrafo: si existen una o dos masas de cabeza, del número de hilos de contacto y del número de pantógrafos, de manera que si hay un total de r condiciones de restricción y g coordenadas generalizadas, la matriz  Φn será de r x g dimensiones.

INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN

Se han ensayado los procedimientos numéricos de integración más usuales de la mecánica estructural, que aparecen en las referencias científicas,  (Cook et al., 1989 y Bathe, 1996) para resolver el sistema de ecuaciones (2), habiéndose obtenido buenos resultados con el método explícito de integración de las diferencias centrales, para ello se han aproximado los vectores velocidad y aceleración de las coordenadas generalizadas a las siguientes expresiones:

                      (21)

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación (2), se tiene:

(22)

La expresión anterior permite obtener las coordenadas generalizadas qn+1, en el instante tn+1, pero sin embargo no sirve para conocer el vector de las fuerzas generalizadas λn+1 en ese mismo instante. Además otro importante inconveniente que presenta, es que para determinar qn+1 hay que resolver un sistema lineal de ecuaciones, al ser la matriz de amortiguación Cno diagonal.

Hay que señalar que una de las principales ventajas de los métodos explícitos es poder obtener las variables de integración directamente mediante operaciones matriciales sencillas, sin necesidad de resolver un sistema de gran número de ecuaciones, esto podría ser posible en el presente caso, si se hubiese supuesto una matriz de amortiguación diagonal para la catenaria, o si se hubiese despreciado la amortiguación.

Aunque las opciones comentadas, podrían ser legítimas, se ha preferido, por estimar que es mas realista, trabajar con una amortiguación de tipo Rayleigh, de acuerdo con la ecuación (8) y modificar en medio paso el vector velocidad, en la ecuación (2), lo que permitirá, como se muestra a continuación, obtener las variables de integración de forma directa, resultando la siguiente ecuación del sistema:

              (23)  

Según Cook et al. (1989), esta modificación introduce un pequeño error que es perfectamente despreciable para sistemas estructurales con un amortiguamiento bajo, lo que se entiende que ocurre en el problema objeto de estudio.

Aproximando los vectores velocidad y aceleración a las expresiones:

                       (24)

Sustituyendo en (23) y resolviendo para el vector coordenadas generalizadas qn+1, teniendo en cuenta que la matriz de masas M es diagonal:

            (25)

La ecuación anterior permite determinar el vector de las coordenadas generalizadas qn+1 de forma directa. Sin embargo, todavía aparecen algunos aspectos sin resolver: el vector fuerzas generalizadas λn+1 sigue sin conocerse y además la ecuación (25) tampoco sirve para determinar la coordenada del colector terminal del extremo del pantógrafo (y4)n+1, ya que su masa es nula, careciendo de sentido esta ecuación para su cálculo. Sin embargo estos dos problemas pueden resolverse también de forma sencilla: como la ecuación (25) permite conocer el vector de las coordenadas generalizadas de la catenaria (q1)n+1 en el instante tn+1, es posible determinar (y4)n+1 aplicando la ecuación (19) en tn+1:

                                 (26)

La ecuación (25) también permite conocer la coordenada de la masa de cabeza del pantógrafo (y3)n+1, de manera que la fuerza de restricción pantógrafo-catenaria es la fuerza sobre el resorte del colector terminal, cuya rigidez es k4, resultando:

                  (27)

Las ecuaciones (26) y (27) hay que repetirlas para todos los colectores terminales de los pantógrafos, obteniendo el vector de las fuerzas de restricción λn+1. En el caso de dos hilos de contacto, suponiendo una disposición en la cabeza del pantógrafo como la mostrada en la Figura 4, si k4 y k5 representan las rigideces de los  colectores terminales, y kC es la rigidez del resorte de compensación, la fuerza de contacto, será:

               (28)

Completándose el ciclo de integración. Para inicializar el algoritmo se han determinado los valores de las coordenadas generalizadas y fuerzas de restricción en el instante inicial, resolviendo el sistema lineal:

                              (29)

Así mismo, en lo que respecta a las velocidades de las coordenadas generalizadas, se ha supuesto para el instante inicial:

                                                        (30)

El procedimiento de integración expuesto, basado en el método explícito de las diferencias centrales, permite obtener las variables efectuando operaciones sencillas, mediante las ecuaciones (25), (26) y (27) ó (28), sin necesidad de resolver ningún sistema de ecuaciones, tratándose las no linealidades de forma directa al poder actualizarse los diferentes términos variables: matrices de rigidez, de amortiguación y término independiente al final de cada ciclo de integración, quedando preparados para el siguiente ciclo. Sin embargo, como desventaja, al tratarse de un procedimiento de integración explícito, resulta condicionalmente estable, de forma que el paso de integración  Δt ha de ser siempre inferior a un determinado valor crítico, por encima del cual el algoritmo degenera, esto además puede ser especialmente delicado al tratarse de un problema no lineal, sin embargo, de acuerdo con las experiencias realizadas, las ventajas del procedimiento expuesto superan a los inconvenientes.

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN

Según lo explicado en apartados anteriores, el algoritmo de integración queda estructurado de la siguiente manera:

1. Introducción de los datos de montaje: características de los cables sustentador e hilo de contacto: peso, material, sección, tensión mecánica, número de hilos de contacto, etc. Características de las péndolas: longitudes, peso, precarga (si bien estos datos hay que calcularlos previamente en el estudio de las fuerzas estáticas), posicionamiento de las péndolas, etc. Características geométricas de los vanos: longitudes, alturas etc. Así mismo hay que considerar también los datos referentes al pantógrafo o pantógrafos: número de pantógrafos, fuerzas, masas, rigideces, amortiguaciones, etc.

2. Formación de la matriz de rigidez K0 y del término independiente R0 en el instante inicial, de acuerdo con el modelado supuesto para los cables y pantógrafo.

3. Formación de la matriz de las condiciones de restricción en el instante inicial Φ0.

4. Formación de la matriz de masas M.

5. Formación la matriz de amortiguación inicial del sistema C0, empleando la ecuación (8) para la matriz de amortiguación de la catenaria.

6. Establecimiento de las coordenadas generalizadas y fuerzas de restricción iniciales,  resolviendo el sistema lineal (29) y anulando las velocidades, de acuerdo con (30).

7. Ciclo de integración de las ecuaciones diferenciales en el tiempo, n = 0,1, 2...

i) Cálculo de las coordenadas generalizadas de la catenaria y pantógrafo qn+1, en el instante tn+1, empleando la ecuación (25).

ii) Cálculo de la posición del colector, (y4)n+1  o colectores terminales del pantógrafo, (y4)n+1 y (y5)n+1, mediante la ecuación (26).

iii) Cálculo de la fuerza, (λ1)n+1 o fuerzas de restricción pantógrafo-catenaria, (λ1)n+1 y (λ2)n+1, mediante las ecuaciones (27) ó (28).

iv) Formación de la matriz de las condiciones de restricción  Φn+1, mediante la ecuación (26).

v) Actualización de las diferentes matrices y término independiente para el instante tn+1, contemplándose: la desconexión de péndolas, distancias relativas entre las masas de los pantógrafos, velocidades relativas entre las masas de los pantógrafos, despegues, etc.

vi) También se calculará la velocidad en las coordenadas generalizadas mediante la ecuación:

                               (31)

vii) Modificación del subíndice de las variables y términos de la ecuación diferencial según el ciclo de integración: del subíndice n + 1 del ciclo actual, al n, volviendo al punto (i), ó en el caso de que el desplazamiento horizontal del pantógrafo alcance un cierto valor establecido inicialmente, final del programa.

ASPECTOS COMPUTACIONALES Y RESULTADOS

Los procedimientos expuestos en los anteriores apartados han servido de base para el desarrollo de un programa informático en lenguaje Visual C que permite simular el comportamiento dinámico del sistema pantógrafo-catenaria. Se han supuesto los dos tipos de catenaria utilizados en la red ferroviaria española: sistema de péndola normal y sistema de péndola en Y, con uno ó dos hilos de contacto, pudiendo considerar además varios pantógrafos de diferentes tipos: de una o dos masas de cabeza, circulando por la línea.

A la hora de desarrollar un programa informático basado en el algoritmo anteriormente expuesto, se han de considerar también otros aspectos importantes relativos a un software de altas prestaciones como  son, entre otros (Nath Datta,1995): robustez, portabilidad, y eficiencia en términos de ahorro tanto de espacio de almacenamiento (Bytes de memoria) como de coste computacional del algoritmo (flops).

Puesto que tanto la matriz de rigidez como la matriz de amortiguación, presentan un alto grado de dispersión, se implementarán en alguno de los formatos de almacenamiento de matrices dispersas existentes en la literatura científica (Saad, 1996). En particular se han escogido dos formatos: El formato coordenado (COO) por su simplicidad e idoneidad para este algoritmo, y el formato de fila  comprimida (CSR) que nos permite llevar a cabo operaciones matriciales (producto matriz-vector, resolución de sistemas de ecuaciones, etc) de una forma sencilla. De esta manera se obtendrá una reducción en el espacio de memoria necesaria para almacenar las matrices que aparecen en la resolución del problema dinámico.

Por otro lado, las características de robustez, portabilidad y eficiencia (en flops), se han obtenido gracias al empleo de librerías software estándares del álgebra lineal numérica como son BLAS (Lawson et al., 1979) y SPARSKIT (Saad,1994).

Con objeto de cuantificar la mejora computacional de estas implementaciones se han llevado a cabo un conjunto de casos de estudio (del 1 al 4, según el número de pantógrafos),  suponiendo un pantógrafo tipo Schunk de doble pletina (dos masas de cabeza) sobre una catenaria de dos hilos de contacto.

Para estos casos de estudio, tanto el número de vanos como el número de péndolas por vano y la longitud del vano, se mantienen constantes. En particular el número de vanos se ha fijado en 10, el número de péndolas por vano en 8, y la longitud del vano en 20 m. Estos datos son muy cercanos a la realidad, a excepción de la longitud de vano que suele ser de unos 60 m, si bien se tomó la longitud de 20 m para poder compararlo más fácilmente con la versión inicial sin optimizar.

La tabla 1 refleja el ahorro de memoria obtenido entre la implementación inicial empleando matrices completas y la nueva implementación de altas prestaciones, considerando únicamente el almacenamiento necesario de los términos no nulos para la matriz de rigidez y de amortiguación. La unidad de medida de memoria considerada es el MegaByte (MB). Se observa como para todos los casos, este ahorro se sitúa por encima del 99%.

Tabla 1: Ahorro de memoria.

Caso de Estudio

Memoria original (MB)

Memoria nueva (MB)

Ahorro memoria (%)

1

66,162

0,238

99,651

2

68,710

0,239

99,652

3

68,261

0,240

99,653

4

69,814

0,241

99,655

La tabla 2 muestra la ganancia de tiempo entre la implementación original y la nueva implementación de altas prestaciones. Se puede observar como la ganancia de tiempo obtenida es cercana al 99% en todos los casos. La unidad de medida de tiempo considerada es el segundo (seg).

Tabla 2: Ahorro de tiempo.

Caso de Estudio

Tiempo original (segs)

Tiempo nuevo (segs)

Ganancia tiempo

(%)

1

6379

45

99,295

2

5985

54

99,098

3

5563

59

98,939

4

5157

62

98,978

Se muestran a continuación los resultados para una simulación con un pantógrafo de tres masas circulando a 216 km/h sobre un cantón de catenaria de 10 vanos de 60 m de luz y 1,2 m de altura entre cables, empleando el sistema de péndola normal y un solo hilo de contacto, sin flecha, con nueve péndolas por vano y una distancia entre péndolas y entre péndolas extremas y apoyos de 6 m. Las propiedades principales de los cables y pantógrafo se muestran en las tablas 3 y 4.

Sobre el pantógrafo actuará una fuerza estática de empuje de 120 N sobre la masa base. No se ha supuesto amortiguación para la catenaria.  En las figuras 6 y 7 se muestran los resultados de la simulación correspondientes a la variación de la fuerza de contacto y a la elevación del hilo de contacto en los vanos centrales.

Fig. 6: Fuerza de contacto en vanos centrales.


Fig. 7: Elevación del hilo en el punto de contacto para los vanos centrales.

Tabla 3: propiedades de los cables.

 

Material

Diámetro

(mm)

Tensión

(kN)

Péndola

Cobre

5

----

Sustentador

Cobre

12

10

Hilo  contacto

Cobre

12

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Tabla 4: propiedades de los pantógrafos.

 

Masa
(kg)

Rigidez
(N/m)

Amortiguación
( Ns/m)

Base

m1=15

k1=50

c1=90

Cabeza

m2=7,2

k2=4200

c2=10

Colector terminal

m3=0

k3=50000

c3=0

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se ha desarrollado un procedimiento para el estudio y simulación de la interacción dinámica del sistema pantógrafo-catenaria en líneas férreas. Se ha obtenido un sistema de ecuaciones diferenciales con restricciones, en donde la catenaria se ha modelado empleando el MEF, mientras que el pantógrafo se ha considerado como un sistema de masas, resortes y amortiguadores, a los que se les ha añadido un elemento adicional sin masa con un resorte de gran rigidez sobre la masa de cabeza, con objeto de facilitar la integración. Se ha desarrollado un algoritmo de integración numérica basado en el método explícito de las diferencias centrales, que resuelve el problema de una forma sencilla y directa, como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

El excesivo tiempo de computación siempre ha sido un importante inconveniente en el estudio de este tipo de problemas, los resultados de este trabajo han servido de base para elaborar un programa informático en lenguaje Visual C que permite efectuar simulaciones para diferentes tipos de catenarias y pantógrafos, con varios pantógrafos circulando, empleando tiempos de computación muy bajos, usando un PC convencional, tal y como muestran los resultados experimentales, gracias a una espectacular reducción en el espacio de memoria requerido.

El método presentado permite también efectuar simulaciones para catenarias con dos hilos de contacto, tal como se explica a lo largo del trabajo, este tipo de catenaria se emplea para impulsar unidades de tracción de corriente continua y es bastante frecuente en líneas convencionales de varios países europeos.  Así mismo a partir del método presentado es posible abordar de forma satisfactoria el estudio de problemas dinámicos mas complejos, como son los relativos a la transición del pantógrafo entre dos cantones y problemas dinámicos en tres dimensiones.

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