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Información tecnológica

On-line version ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. vol.17 no.4 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000400009 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°4-2006, pág.: 47-52

MATERIALES

Descripción Discreta de Superficies de Contacto de Elementos Cónicos Elásticos en Uniones Mecánicas

Discrete Description of Contact Surfaces of Mechanical Joints with Elastic Conical Parts

Dariusz Szwedowicz (1), Jorge Bedolla (1), Eladio Martínez (1) y Marcos Bedolla (2)
(1) Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Depto. de Ingeniería Mecánica, Interior Internado Palmira s/n, A.P. 4-224, CP 62450 Cuernavaca, Mor.-México (e-mail: d.sz@cenidet.edu.mx; ljbedolla@cenidet.edu.mx)
(2) Instituto Tecnológico de Apizaco, Av. Tecnológico s/n, Apizaco, Tlaxcala-México

Resumen


El artículo presenta la descripción discreta de superficies de contacto de elementos mecánicos cónicos elásticos, los cuales se usan para uniones eje cubo de rueda mediante deformación y fricción. El objetivo es predecir las regiones de contacto potencial de la unión, midiendo diámetros y su variación en dirección axial. Con estas mediciones se representa el perfil de la topografía de la superficie en forma analítica por curvas Bézier, en lugar de los datos discretos medidos. Estos parámetros pueden considerarse para la valoración de la calidad de la manufactura de las partes cónicas y del ajuste del ensamble, lo cual es importante en el funcionamiento de la unión. También, la descripción discreta propuesta tiene potencial aplicación en la representación de modelos mediante elementos finitos para los contornos de elementos en contacto.

Palabras clave: curvas Bézier, elementos finitos, perfiles, superficies de contacto, uniones mecánicas


Abstract

A discrete description of contact surfaces on elastic conical rings, which couple together the shaft and hub  by frictional forces, is presented. The main objective is to predict regions of potential contact in the mechanical joint, by measurements of the diameter variation along the axial direction. The surface topography is represented by the experimental data. The surface profile is then defined analytically by Bézier curves, instead of the discrete description of the experimental database.  These parameters can be considered to assess the workmanship quality of the conical parts and the quality rating of the conical fit, that effect significantly the reliable coupling of the conical joint in service. Also, the proposed description of discrete surfaces can be used in finite element representation for real contours of the parts.

Keywords: contact surfaces, finite elements, mechanical joint, elastic conical rings, Bézier curves


INTRODUCCIÓN

El claro entre planos técnicos de diseño y la manufactura de elementos mecánicos no está totalmente cubierto, y es tema de constante investigación en procesos de diseño mecánico. En la práctica común de diseño, es frecuente idealizar correspondencia perfecta entre elementos manufacturados respecto a los planos técnicos. Sin embargo, los elementos mecánicos manufacturados, incluyendo los producidos en centros de maquinado computarizados de alta precisión, presentan desviación en relación a la forma nominal propuesta. Esas desviaciones, obedecen a variables que no siempre son fáciles de identificar (Culpepper, 2000, Badar et al., 2005), pero que su influencia afecta al proceso de ensamble de una unión mecánica o en la calidad final del ésta. Cómo superar o reducir las modificaciones generadas por las variaciones de las piezas de ensambles mecánicos, para que éstos operen dentro de límites mínimos aceptables, hace del análisis de tolerancias y variaciones geométricas de elementos mecánicos un tema de interés actual de investigación para los ingenieros (Zienkiewicz, 1977; Reed et al., 1983).

La desviación de características nominales de elementos mecánicos manufacturados, con sus particularidades de forma, tamaño, orientación y cinemáticas, son fundamentales para una correcta estimación del producto final. En este sentido, la correspondencia entre planos técnicos y elementos manufacturados se obtiene de las tolerancias asignadas a los diseños, las cuales son insustituibles y pueden aplicarse de estándares específicos o bien de análisis vectoriales de ensambles, en situaciones particulares. Las tolerancias en general son una región virtual asignada a la pieza mecánica, para que pueda cumplir con el estándar propuesto. Sin embargo, es necesario considerar que la manufactura produce piezas independientes para cada caso, con características particulares, aún tratándose de la misma pieza nominal. En consecuencia las superficies de contacto de un ensamble son independientes entre sí y particulares de cada pieza, con variaciones contenidas en la región aceptable. Esto propicia que se modifiquen las regiones de contacto para cada par de superficies, y se obtenga diferencias entre ensambles diseñados y manufacturados de igual manera (Argesanu y Madaras, 2003; Bihlmaier, 1999).

Una unión común en los sistemas mecánicos es la flecha unida a una rueda, como poleas, catarinas y engranes, su frecuencia de uso e importancia justifican su estudio y análisis con elementos tradicionales (Reshétov, 1985) y también con alternativas menos comunes (Beer, 1985), como es la unión con aros cónicos deformables (Bedolla et al., 2003; Szwedowicz, 2001). Éste tipo de unión es básicamente un ensamble mecánico, con los mismos requerimientos de análisis de contacto que cualquier otro, para estimar su resultante. Esta unión usa uno o más pares de aros cónicos elásticos como una interfaz entre los elementos a unir (entre flecha y cubo de rueda). Mediante la aplicación de fuerza de apriete controlada en dirección axial sobre los aros, estos se deforman en dirección radial por su configuración cónica, lo cual genera presión y fuerza de fricción a las superficies de contacto de los elementos a unir, obteniéndose así una unión firme.

La importancia de las variaciones en ensambles de uniones tipo flecha cubo de rueda, hacen que este sea un tema importante de investigación, lo cual permita estimar sus características y potenciales ventajas. Además, generalmente los estudios de tolerancias en ensambles cilíndricos de partes mecánicas se restringen a considerar la forma nominal del elemento o que el cambio de la dimensión nominal es constante para toda la superficie. Esto resulta en un solo dato discreto del valor de variación dimensional, obteniéndose un solo tamaño de claro o interferencia entre las superficies de contacto, lo cual presenta diferencias con un ensamble mecánico real. Por otro lado, la literatura que incluye estudios de contacto y fricción se enfoca principalmente al estudio de rugosidades y su distribución estadística en las superficies de interés (Bourago, 2002). Los tipos de análisis de superficies que se mencionan previamente, para las uniones mecánicas, omiten el análisis a nivel de ondulaciones, donde la variación pueden ser del mismo orden de magnitud que las tolerancias de diseño. Además, las ondulaciones en las superficies pueden ser indicativo, después las dimensiones nominales por su orden de magnitud, de las regiones potenciales de contacto inicial. A partir de esto, el objetivo del presente trabajo se centra en analizar regiones de contacto de la unión mecánica flecha cubo de rueda con aros cónicos elásticos deformables, considerando las variaciones a nivel de ondulación. Para esto, se realizan mediciones de diámetros y sus variaciones en las regiones de contacto de los elementos de la unión. Estas se representan en un plano para describir la topografía de la superficie en dirección axial del elemento. En el manejo de los datos del perfil de superficie, se usa un polinomio que aproxima la superficie, en lugar de bases de datos, lo que permite representar la superficie mediante una ecuación. Los datos así obtenidos permiten estimar condiciones de contacto o claro entre superficies de los elementos. Además, esta discretización y descripción de superficies de contacto presenta la posibilidad que los datos puedan usarse, por ejemplo en la generación de geometrías de modelos de elemento finito.

MEDICIÓN DE ELEMENTOS DE LA UNIÓN

En el presente análisis se consideraron como elementos de unión a los pares de aros cónicos elásticos deformables de la marca Ringfeder, con designación 20x25mm RfN sólidos (catalogo Ringfeder W-300-2). En la Fig. 1 se presenta la fotografía de un par de aros cónicos elásticos deformables, es decir, el aro cónico interno y el aro cónico externo. La Fig. 2 muestra un esquema de los elementos básicos de la unión mecánica flecha cubo con aros cónicos elásticos deformables. Las mediciones a los elementos que intervienen en la unión se realizaron en las regiones con superficies de potencial contacto, las cuales son: cubo-aro externo, flecha-aro interno, y regiones cónicas de los aros. Los diámetros se obtuvieron con una máquina de medición por coordenadas (CMM) marca Mitutoyo, modelo con medición mínima de 0.7mm, y su software propio GeoMeasure el cual fue usado en la adquisición y almacenamiento de los datos obtenidos.

Fig. 1: Par de aros cónicos elásticos deformables.


(a) (b)

Fig. 2: Esquema de colocación de elementos básicos de la unión con aros cónicos deformables a) antes del ensamble y b) después del ensamble.

La distancia axial entre la medición de cada diámetro fue 0.1 mm (eje z, ver Fig. 3a). Esto permitió, al graficar los datos, obtener el perfil de las superficies de contacto en función de la variación de diámetros, considerando el nivel de ondulación de la superficie. En este caso se omite la característica de rugosidad, porque se considera su orden de magnitud significativamente inferior a la ondulación, y no afecta al perfil de ondulación de la superficie. Solo se toman variaciones de diámetro, que son aproximadamente del mismo orden de magnitud de las tolerancias correspondientes (Fig. 3b).

(a)

(b)

Fig. 3. Datos medidos a) esquema de medición de diámetros y b) curva plana de diámetros para un aro externo formada con puntos Qi.

En la medición, el plano de referencia se alineó con el lado de menor espesor del aro, y así poder discretizar la superficie en una secuencia de círculos con centros en P(xi,yi,zi), donde zi es la ubicación axial del plano-i que contiene al diámetro-i (ver figura 3a). Al considerar el diámetro, se obtiene un solo valor di de éste, para cada posición zi. Con los datos así obtenidos, y con un programa propio en Matlab, se organizan y grafican los datos, posteriormente se mapean los diámetros a una curva plana, que se presenta en la Fig. 3b, cuyos puntos Qi se determinan por la ecuación (1), que solo considera posición axial del diámetro y la magnitud de éste.

Qi=Qi(zi,di)

(1)

Al considerar poco práctico manejar una gran cantidad de datos, o una base de estos obtenida de mediciones de diámetros, que generan el perfil de superficie, se considera más conveniente relacionar las mediciones con expresiones matemáticas. Sin embargo, para el caso que se analiza, la variación del perfil de superficie es aleatoria, lo que implica una curva compleja para su ajuste, y es necesario que ésta represente los cambios de pendiente correspondientes a los datos experimentales. Para abordar ese problema, en el proceso de ajuste de los perfiles de superficies obtenidos de mediciones de los diámetros se usan curvas Bézier (Bourke, 1996), que pueden ser de 2 o 3 dimensiones, y se representa por la ecuación (2). En éstas, el punto inicial y final de la curva coinciden con los puntos medidos y para el resto de los puntos presenta un doblez (excepto para una línea recta), que garantiza la correspondencia de la curva con los datos y se mantiene siempre entre los puntos medidos. El incremento en esta curva para el eje de las abscisas es igual al de los datos, y en el otro (u otros ejes) es un valor absoluto menor al medido (excepto en los extremos). También, curvas Bézier con igual incremento en las abscisas, pueden adicionarse o sustraerse en regiones de interés. Para los ajustes de los perfiles de superficies de la unión mecánica con esa curva, se usan los datos medidos de diámetros (en archivos compatibles con Matlab) y la ecuación (2) que se programó en Matlab. De esta manera se genera un polinomio de orden N para un número de puntos k en la curva de datos pk, con un incremento u=1/pk (o menor).

(2)

RESULTADOS

La variación de las superficies de contacto (obtenidas del perfil de diámetros medidos), se relacionan en pares para definir posibles claros o interferencia que modifiquen su ensamble. Un aro externo en contacto con el cubo de rueda, como el caso representativo de la Fig. 4a, define interferencia o claro en el ensamble con valores negativos y positivos respectivamente, para cada posición relativa entre éstos, con lo que se obtiene en forma representativa la Fig. 4b. Ésta presenta la malla de claro o interferencia entre los perfiles de superficie de contacto del aro y el cubo, con incrementos en la posición relativa entre éstos de 0.1 mm. La gráfica de la Fig. 4b se obtuvo mediante un programa propio en Matlab, el cual toma los valores de las curvas Bézier ajustadas.

Las curvas Bézier, también permiten estimar las regiones de contacto en un ensamble mecánico, a parir de las curvas generadas por ecuaciones correspondientes a los datos ajustados. La Fig. 5 ejemplifica la variación de superficies y claro para curvas ajustadas, con ésta puede cuantificarse la magnitud del claro para las posibles posiciones del aro dentro del cubo, análogo a los resultados de la Fig. 4.

(a)

(b)

Fig. 4. Claros entre el aro y el cubo, a) elementos en región de contacto, b) claro o interferencia.


(a)
(b)

Fig. 5. Curvas: a) ajustada y medida del aro, b) de las superficies de contacto ajustadas; L es longitud del aro y x es posición relativa del aro y cubo

La Fig. 3b presentan los límites de la tolerancia del diámetro externo del un aro externo para un ajuste 25h6 mm (un proceso análogo se practica para las superficies de contacto que intervienen en la unión), de lo que se obtiene que más del 95 % de los diámetros medidos cumplen con la tolerancia especificada de diseño. De forma general esto mismo se presenta en las superficies de contacto analizadas. Pero también, como se observa, el perfil obtenido de la variación de diámetros no corresponde a una línea recta dentro de la región de tolerancia, sino que tiene variaciones o cambios de diámetros, lo que produce un perfil independiente y aleatorio de la superficie de contacto. Esta característica  se presenta en todas las piezas mecánicas analizadas en contacto, aún cuando sus dimensiones finales están contenidas en la región de tolerancia, como se presenta en las Figs. 3 a 5. En consecuencia el ensamble resultante tiene influencia directa del par de superficies independientes y aleatorias que se unen, así como de la posición relativa entre estas. Como ejemplo, la Fig. 4 muestra la influencia de la posición relativa de los elementos para el ensamble, donde se observa que al colocar el aro cercano al extremo izquierdo del cubo se tiene una posible interferencia de 0.012 mm, pero para una posición central del aro en el cubo, el claro promedio es cercano a cero, y en el extremo opuesto el claro promedio es de 0.012 mm. Esto implica modificaciones del claro entre el mismo par de superficies de más del 100%, al modificar su posición relativa. A partir de los perfiles de las superficies en contacto se puede estimar las zonas potenciales de contacto inicial para el ensamble. Los resultados presentado en la Fig. 5, permiten también esta posibilidad, además tienen la ventaja de usar polinomios para la descripción de las superficies, y no el banco de datos completo de mediciones. Los datos así obtenidos presentan también la posibilidad de modelar regiones de interacción de contacto y sus geometría discreta para modelos numéricos, por ejemplo usando simulaciones numéricas con el método del elemento finito, y de esta forma estimar la deformación necesaria para realizar el contacto entre las superficies, así como sus perfiles y magnitudes de esfuerzos presentes en la unión para las regiones de interferencia. Lo cual puede contribuir a la estimación de características resultantes del ensamble y de los esfuerzos en la unión que se generan a causa de estas variaciones.

En resumen, la suposición de superficies rectas en piezas de ensamble no es acertada, aún cuando se cumpla con la tolerancia especificada. Ya que el claro no es constante, sino que se modifica en función de las características independientes de las superficies en contacto.

CONCLUSIONES

El artículo presenta un análisis teórico y experimental de variación de perfiles de superficies de contacto en una unión mecánica con aros cónicos elástico deformables. El análisis se realizó a nivel de ondulaciones de las superficies de contacto. La metodología y los programas de cómputo realizados en Matlab pueden aplicarse para seleccionar tolerancias en el diseño y manufactura de los elementos de ensamble. Ya que no es suficiente verificar límites de tolerancia de los elementos, sino que es necesario analizar los claros en la unión o ensamble, y cómo estos modifican el ensamble resultante. Esta información es útil en la fase inicial de diseño, en donde los sistemas computacionales pueden incluir relaciones cinemáticas para ensambles, y que son necesarias tomar en cuenta para estimar las variaciones y deformaciones de estos por la manufactura de la unión. Para el caso en particular se usan para cuantificar claros cuando se realiza la unión mecánica flecha-cubo, ya que esto influye en la fuerza de apriete necesaria para eliminar los claros y tratar de obtener en todos los pares de aros de la unión.

Se presentó una forma práctica de generar los perfiles de las superficies en contacto con y sin las bases de datos de los elementos medidos. Para lo que se usó curvas Bézier y diámetros medidos por una máquina de medición por coordenadas Mitutoyo Bright Apex 710, con su software GeoMeasure. Comparando las variaciones de la zona de contacto se puede estimar las variaciones de los claros en la unión, e inferir sus características finales, como son orientación de los elementos en el sistema, el claro o interferencia, la deformación y esfuerzos, entre otro. Además, los polinomios obtenidos de los ajustes pueden usarse como datos de entrada para generar geometrías de modelos discretos de elementos mecánicos que forman partes de ensambles. También pueden ser útiles en la generación de geometrías de zonas de contacto para modelos de elemento finito.

Se puede concluir que las curvas de Bézier sintetizan una herramienta eficiente para representar las variaciones dimensiónales de elementos en las uniones mecánicas. Los resultados obtenidos de este método pueden ser aplicables directamente al análisis de tolerancias y ajustes y al de resistencia mecánica de una unión mecánica dada.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al CoSNET (Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica) por el apoyo económico para la investigación, dentro de los proyectos CoSNET 524.04-P y 524.04.05-PR.

REFERENCIAS

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