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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.6 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000600007 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°6-2006, pág.: 35-41

CONTROL AUTOMATICO

Observador No Lineal para la Estimación de Concentraciones en un Proceso de Destilación Metanol/Etanol

A Nonlinear Observer for Estimating Concentrations in a Methanol/Ethanol Distillation Process

Carlos M. Astorga, Enrique Quintero-Mármol, Luis G. Vela, Lizeth Torres
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, CENIDET, Interior Internado Palmira s/n,
Col. Palmira, A.P. 5-164, C.P. 62050, Cuernavaca, Morelos-México
(e-mail: astorga@cenidet.edu.mx)


Resumen

En este artículo se presenta el diseño de un observador no lineal de ganancia constante para la estimación de las composiciones en los platos de una columna de destilación a partir de las mediciones de las temperaturas en el hervidor y en el condensador. El observador se basa en un modelo no lineal de un proceso de destilación binaria metanol/etanol. Tanto el modelo, como el observador, son validados experimentalmente en una columna de destilación de laboratorio. La característica principal del observador es que las ganancias son constantes y no requieren la resolución de ningún sistema dinámico. La buena concordancia entre las variables estimadas y las mediciones experimentales permite concluir que este observador puede ser utilizado en aplicaciones de control no lineal.

Palabras clave: columna de destilación, control, observador, modelado, sistemas no lineales


Abstract

This paper presents the design of a non-linear constant gain observer for the estimation of plate compositions in a distillation column based on measurements of the temperatures in the boiler and in the condenser. The observer is based on a non-linear model of the binary distillation process for ethanol/methanol. Both the model and the observer were validated experimentally using a laboratory distillation column. The main characteristic of the observer was that the gains were constant and did not require resolution of any dynamic systems. The good agreement between the variables estimated and the experimental measurements allowed concluding that this observer could be used in non-linear control applications.

Keywords: distillation column, binary distillation, observer, modeling, nonlinear systems


INTRODUCCIÓN

Las técnicas modernas de control para colum­nas de destilación frecuentemente requieren que ciertas variables se encuentren disponibles para su medición. Esta situación no se cumple en la práctica en numerosas ocasiones debido a que no existen instrumentos de medición adecuados para medir en línea ciertas variables de proceso. Los observadores, también conocidos como sensores virtuales, representan una alternativa de solución viable para resolver este tipo de problema. En el caso de los observadores para sistemas no lineales, existen los observadores de gran ganancia desarrollados por Gauthier et al. (1992). De esta clase de observadores existen algunas extensiones así como aplicaciones en diferentes procesos, por ejemplo en bio-reactores (Nadri et al., 2004) o en reactores de polimerización (Astorga et al., 2002). Hammouri et al. (2002) desarrollaron un observador cuya característica es que la ganancia del observador es constante y no se calcula mediante la solución de ecuaciones dinámicas, como en el caso de los observadores de Kalman (Venkateswarlu y Avantika, 2001). Este observador se aplica a una clase de sistemas no lineales con estructura triangular. Hasta antes de este trabajo, este observador sólo había sido evaluado en simulación.

El objetivo de este artículo es presentar el diseño de un observador no lineal de ganancia constante (Hammouri et al., 2002) para la estimación de las composiciones en los platos de una columna de destilación a partir de las mediciones de las temperaturas en el hervidor y en el condensador. El observador se basa en un modelo no lineal de un proceso de destilación binaria metanol/etanol. Tanto el modelo, como el observador, son validados experimentalmente en una columna de destilación de laboratorio.

MODELO MATEMÁTICO

Una columna de destilación consiste en un condensador (plato 1), n-2 platos y un hervidor (plato n), siendo n el número total de platos. El plato en el cual se alimenta la mezcla a destilar (plato f) se conoce como plato de alimentación (ver la Fig. 1). Las secciones superior e inferior  al plato de alimentación son la sección de rectificación y la sección de agotamiento, respectivamente. 

Las ecuaciones del modelo son formuladas haciendo referencia al componente más ligero de la mezcla y se toman en cuenta las siguientes suposiciones que están basadas en los trabajos de Luyben (1992) y Halvorsen y Skogestad (2000):

(S1) presión constante,

(S2) la retención molar de vapor es despreciable con respecto a la retención molar líquida,

(S3) el hervidor es teóricamente un plato y el condensador es total,

(S4) la retención de volumen líquido es constante.

Fig. 1: Diagrama de una columna de destilación.

De acuerdo al concepto de equilibrio líquido-vapor, si la presión PT y la temperatura Ti son usadas como grados de libertad, entonces se pueden calcular las composiciones molares del vapor yi y las composiciones molares del líquido xi en cada plato. Para mezclas ideales Ki = yieq/xieq = pi(Ti)/PT, donde Ki es la constante de equilibrio y depende de las propiedades termodinámicas de la mezcla, el resto de las variables se describen en la Nomenclatura al final de este artículo.

Los efectos de transferencia de masa se describen mediante las eficiencias de Murphree:

(1)

(2)

Los caudales molares de líquido y vapor se calculan mediante: VR=VS+(1-qf)F, LR=VR-D en la sección de rectificación y LS=LR+qfF,

(3)

en la sección de agotamiento (Murray, 2003). Los caudales de producto destilado D y de producto de fondo B son: D = R×VR, donde R define la posición de la válvula de reflujo: un valor de R=0 implica que hay reflujo total a la columna, mientras que si R=1 entonces el total del producto destilado es recuperado en el acumulador; B=(LS-VS)[BV], donde 0 <BV < 1 es el porcentaje de apertura de la válvula de fondo. El caudal de alimentación F es:

(4)

La masa molar líquida retenida en cada etapa del componente más ligero puede calcularse mediante (Murray, 2003):

(5)

La siguiente ecuación indica en qué fase se encuentra el componente más ligero en la etapa de alimentación:

(6)

La concentración molar líquida de la alimentación del componente más ligero es:

(7)

donde

(8)

Tomando en cuenta las suposiciones (S1) a (S4), así como los balances de materia en cada una de las etapas, se obtienen las ecuaciones para el componente más ligero:


(9)

(10)

π(i)=1 si i=f; π(i)=0 si i ≠ f. Si se consideran como entradas del proceso a la potencia de calefacción Qb(t) y a R, es decir u(t)=(Qb R)T, las ecuaciones (9) y (10) conducen a la representación en variables de estado:

(11)

F es considerado como una perturbación del sistema. El modelo permite calcular B, D, Vi, Li, Ti, xi, a partir de Qb, R, Fv, xf.

Validación experimental del modelo

La columna de destilación experimental consta de 12 platos, con mediciones de temperatura en los platos 1, 2, 4, 6, 7, 9 y 12. Estas temperaturas, en conjunto con las relaciones de equilibrio, permiten calcular las composiciones líquidas en cada plato. La mezcla utilizada es el metanol (MeOH) – etanol (EOH), que puede ser considerada como ideal. Los parámetros iniciales de operación del proceso utilizados para la validación fueron: f=7, Vf1=4000 mL, Vf2=4000 mL, V1,12= V2,12=1500 mL, Tf=30 °C, Ei=0.7 i=1,...,12, ei=0.7 i=1,…,12, PT=103.1 kPa. Las entradas del proceso consistieron en: Qb escalón de 0 a 750 Watts aplicada en t=0 min (mediante una termo-resistencia ubicada en el hervidor) y FV escalón de 0 a 21.9 mL/min aplicada en t=30 min.

En la Fig. 2 se muestran las gráficas obtenidas en la validación del modelo. Por razones de simplicidad, sólo se muestran las etapas 1, 7 y 9. En la etapa 1 se aprecia una buena concordancia entre el modelo y las mediciones experimentales. La ligera discrepancia entre el modelo y los datos experimentales en los platos 7 y 9 puede deberse a las diversas hipótesis de simplificación del modelo.

Fig. 2: Composición medida y simulada de metanol en los platos 1, 7 y 9. Las ‘x’ representan valores experimentales y la línea continua valores simulados.

OBSERVADOR NO LINEAL

Considere el siguiente sistema dinámico no lineal triangular:

(12)

En forma compacta, éste puede escribirse:

(13)

Donde:

n=n1+n2;  para j=1,2; yj = Cnjxj = xj1; Cnj=(1, 0, …, 0). nj es el tamaño de cada vector de variables de estado xj. El observador es diseñado considerando las siguientes hipótesis (Targui et al., 2002):

(H1) fj es global Lipschitz con respecto a x;

(H2) La variable de estado x es acotada.

Considere las siguientes notaciones:

i) ,

donde ak (k=1, ... , nj) son funciones acotadas desconocidas que satisfacen la hipótesis:

(H3) Existen dos números reales finitos α >0, β>0 tal que α ≤ ak(t) ≤ β.

ii) ,

donde Snj es una matriz simétrica positiva definida que satisface el Lema:

Lema 1: Considerando las hipótesis (H1) y (H3), existe una matriz simétrica positiva definida Snj y una constante μ >0 tal que

Si el sistema (13) satisface las hipótesis (H1) a (H3), entonces el sistema:

(14)

es un observador para el sistema (13), donde r1>0, r2>0, θ>0, d1>0, d2>0,  Sn1 se define en el Lema 1, r1>0, r2>0, θ>0, d1>0, d2>0 y las matrices  son:

Teorema 1: Si ε es la cota superior de |ε(t)|, entonces para r1>0, r2>0, θ>0 lo suficientemente grandes y " d1>0, d2>0 tal que

(15)

entonces el error de estimación  para algunas constantes λ>0, μ>0, λ'>0. Además, μ®+¥ conforme θ®0. En particular, si ε=0, el sistema (14) es un observador exponencial para el sistema (13). Una demostración de este resultado se da en (Targui et al., 2002).

Aplicación a una columna de destilación

Considere las siguientes notaciones:

(16)

Así, en forma compacta el sistema (11) es:

(17)

donde .

Respecto a la verificación de las hipótesis, (H1) se verifica, ya que las funciones fj son continuas y físicamente acotadas. (H2) se satisface debido a que las composiciones líquidas xiÎ[0, 1]. Finalmente, de acuerdo al Teorema 1, el observador propuesto es:

(18)

RESULTADOS EXPERIMENTALES

El observador (18) es diseñado para la estimación de la composición del componente ligero (MeOH) en cada una de las etapas de una columna de destilación de laboratorio. Los valores de los parámetros iniciales de operación fueron los mismos utilizados en la validación del modelo. Las señales de entrada aplicadas en este experimento consistieron en dos señales en escalón: Qb de 0 a 750 Watts (aplicado en t=0 min) y Qb de 750 a 1500 Watts (aplicado en t=90 min). FV, considerado como una perturbación, consistió en un escalón de 0-21.898 mL/min (aplicado en t=30 min).

La ganancia del observador se obtiene con r1=r2=9, q=1.5. d1=1 satisface la Ec. (15):

El observador fue implantado en una computadora personal, y se utilizó un período de muestreo de 1 min. para realizar las mediciones de temperatura (por medio de RTD´s Pt 100) en el condensador (plato 1) y en el hervidor (plato 12). En la Fig. 3 se muestran las gráficas obtenidas en la validación para las etapas 2, 7 y 9. En ellas se aprecia que los tiempos de convergencia del observador fueron de aproximadamente 2 min en el plato 2 y 20 min en los platos 7 y 9.

Fig. 3: Composición medida y estimada de metanol en los platos 2, 7 y 9. Las ‘x’ representan valores experimentales y la línea contínua valores simulados.

 

(donde n1=f-1=6, n2=n-f+2=6).

Por el Lema 1:

CONCLUSIONES

El observador presentado en este artículo fue evaluado en un proceso de destilación binaria de una mezcla metanol/etanol. Su funcionamiento fue satisfactorio a pesar de las no linealidades del proceso y la presencia de perturbaciones. La buena concordancia entre las variables estimadas y las mediciones experimentales permite concluir que este observador puede ser utilizado en aplicaciones de control no lineal. La característica principal del observador es que las ganancias Qjq son constantes y no requieren la resolución de ningún sistema dinámico.

NOMENCLATURA

i

Número de etapa

B, D

Caudales molares de producto de fondo y de producto destilado (mol/min)

BV

Porcentaje de apertura de la válvula de fondo: 0=cerrada, 1=abierta.

Cnj

Vectores fila de tipo (1, 0, …, 0) y dimensión nj.

Cp1, Cp2

Calor específico (metanol, etanol) (kJ/molºC)

ei, Ei

Eficiencias de Murphree en el i-ésimo plato (rectificación y agotamiento)

f

Número del plato de alimentación

f1, f2

Vectores de dimensión n1 y n2-1 respectivamente

F

Caudal molar de alimentación (mol/min)

FV

Caudal de alimentación (mL/min)

Id

Matriz identidad

Ki

Constante de equilibrio

LR, LS

Caudal molar de líquido (rectificación y agotamiento) (mol/min)

Mi

Retención molar (mol)

M1i, M2i

Retención molar del metanol y etanol en el i-ésimo plato (mol)

n

Número total de platos

n1, n2

Constantes, donde n1+n2 = n

pi

Presión de vapor (kPa)

PT

Presión total (kPa)

qf

Calidad del caudal de alimentación

qf1, qf2

Calidad del caudal de alimentación del metanol (qf1) y del etanol (qf2)

Qb

Potencia de calefacción (Watts)

R

Constante: 0=reflujo, 1=sin reflujo

(×)T

Transpuesta

Tbc

Temperatura de ebullición (ºC)

Tf

Temperatura de alimentación (°C)

Ti

Temperatura en los platos (°C)

t

Tiempo (s)

Vi, Li

Caudales de vapor y de líquido en el i-ésimo plato.

Vf1, Vf2

Volumen en la alimentación metanol y etanol (mL)

VfT

Volumen total en la alimentación (mL)

V1,i, V2,i

Volumen de metanol/etanol en el i-ésimo plato (mL)

VR, VS

Caudales molares de vapor (sección de rectificación y agotamiento) (mol/min)

W1, W2

Peso molecular metanol y etanol (g)

xf

Composición molar en la alimentación

xi

Composición molar líquida

xieq

Composición molar líquida en el equilibrio

yi

Composición molar de vapor

yieq

Composición molar de vapor en equilibrio

ε(t)

Función acotada desconocida

ΔHVc

Entalpía de vaporización (kJ/mol)

x, xi

Vector de variables de estado (x) de dimensión n compuesto por elementos xi

x1, x2

Particiones del vector x de dimensiones n1 y n2 respectivamente

ρ1, ρ2

Densidad metanol y etanol (g/cm3)

w1, w2

Fracción de peso metanol/etanol

w1i

Fracción de peso de metanol en el i-ésimo plato

REFERENCIAS

Astorga, C.M., N. Othman, S. Othman, H. Hammouri y T.F. McKenna, Nonlinear continuous-discrete observers: application to emulsion polymerization reactors, Control Engineering Practice, Vol. 10(1), 3-13 (2002).        [ Links ]

Gauthier, J.P., H. Hammouri, S. Othman, A simple observer for nonlinear systems. Application to bioreactors, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 37(6), 875-880 (1992).        [ Links ]

Halvorsen, I.J y S. Skogestad, Distillation Theory, Encyclopedia of Separation Science, Academic Press Ltd. (2000).        [ Links ]

Hammouri, H., B. Targui y F. Armanet, High gain observer based on a triangular structure, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol. 12, 497-518 (2002).        [ Links ]

Luyben W.L., Practical Distillation Control, 1a edición,  29-47,  Van Nostrand Reinhold, Nueva York, USA (1992).        [ Links ]

Murray, A.G., Dynamical mathematical model of a distillation column, Tesis de Doctorado, University of Tennessee at Chatanooga, Tennesse, USA (2003).        [ Links ]

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Targui, B., M. Farza y H. Hammouri, Constant-Gain Observer for a Class of Multi-Output Nonlinear Systems, Applied Mathematics Letters, Vol. 15(6), 709-720 (2002).        [ Links ]

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