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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.6 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000600008 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°6-2006, pág.: 43-49

CONTROL AUTOMATICO

Dos Enfoques en el Diseño de un Observador Asintótico para un Proceso Fermentativo Descrito por Ecuaciones Diferenciales Parciales

Two Approaches in the Design of an Asymptotic Observer for a Fermentative Process Described by Partial Differential Equations

Efrén Aguilar-Garnica, Víctor Alcaraz-González, Víctor González-Álvarez
Departamento de Ingeniería Química, Universidad de Guadalajara, Blvd. Marcelino García Barragán 1451, CP 44430 Guadalajara, Jalisco-México.
(e-mail: eaguilar@ccip.udg.mx, victor@ccip.udg.mx, victorga@ccip.udg.mx)


Resumen

En este artículo, se presentan dos enfoques de diseño de un observador asintótico para un sistema fermentativo descrito por ecuaciones diferenciales parciales (EDP). En el primer enfoque, denominado reducción posterior, se diseña el observador directamente sobre el modelo en EDP y después, tanto el modelo como el observador, son reducidos a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) mediante el Método de Colocación Ortogonal (MCO). En el segundo enfoque, denominado reducción temprana, el modelo en EDP, es inicialmente reducido a EDO, usando también el MCO y luego, el observador asintótico es diseñado para el modelo reducido. El estudio muestra, mediante un análisis de la dinámica del error de estimación para ambos enfoques, que el comportamiento dinámico del observador asintótico es independiente del enfoque de diseño utilizado.

Palabras clave: observador asintótico, proceso fermentativo, ecuaciones diferenciales


Abstract

This paper presents two approaches for the design of an asymptotic observer for a fermentative process described by partial differential equations (PDE). In the first approach, termed late lumping, the observer is designed for the PDE model and then both the observer and the model are reduced to a set of ordinary differential equations (ODE) by means of the Orthogonal Collocation Method (OCM). In the second approach, termed early lumping, the PDE model is initially reduced to an ODE set by using the OCM and then the asymptotic observer is designed for the reduced model. The study demonstrates that by analyzing the estimation error dynamics for both design approaches, the dynamic behavior of the asymptotic observer is fully independent of the design approach used.

Keywords: asymptotic observer, fermentative process, differential equations


INTRODUCCIÓN

El diseño de observadores y leyes de control para sistemas cuyas dinámicas están dadas por Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), los cuales también se conocen como sistemas dinámicos con parámetros distribuidos, ha cobrado auge en los últimos años (ver Dochain, 2001, Dochain y Vanrolleghem, 2001, Aguilar et al., 2005). Básicamente, existen dos enfoques de diseño (Dochain, 2001). En el primero de estos enfoques, llamado reducción posterior, el observador se construye en base al modelo en EDP y luego dicho observador se reduce a un conjunto de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) utilizando diversos métodos, tales como: diferencias finitas y colocación ortogonal. En el segundo enfoque, el cual se conoce como reducción temprana, el modelo en EDP se reduce a un conjunto de EDO usando alguno de los métodos de reducción anteriormente señalados y posteriormente, el observador se diseña con base en el modelo reducido. En el presente artículo, se muestra el diseño de un observador asintótico para un proceso fermentativo cuyo modelo matemático está descrito por EDP, utilizando los dos enfoques anteriormente citados. Posteriormente, un análisis de las dinámicas del error de estimación del observador, permite demostrar que su desempeño, es independiente del enfoque de diseño utilizado. El artículo está organizado de la siguiente forma. En la segunda sección, se describe el sistema fermentativo bajo estudio. Posteriormente, en la sección tres, se presenta el diseño del observador asintótico: primero utilizando el enfoque de reducción posterior y luego usando el enfoque de reducción temprana. En la cuarta sección se presentan y se comentan los resultados de este artículo junto con simulaciones que muestran el desempeño del observador y finalmente, se establecen las conclusiones de este trabajo.

EL SISTEMA FERMENTATIVO

Se desea diseñar un Observador Asintótico (OA) para un proceso de fermentación alcohólica de glucosa en donde se produce etanol, utilizando levadura inmovilizada. Este proceso fermentativo, se lleva a cabo en un sistema que consiste en un biorreactor de lecho fluidizado de longitud Le, así como en un tanque de recirculación. Un esquema de este sistema así como su modelo puede encontrarse en (Alcaraz et al., 1997). Dicho modelo está dado por el siguiente conjunto de ecuaciones:











(1)


(2)


(3)


(4)


(5)

con las condiciones de frontera e iniciales:

(6)


(7)


(8)

(9)
(10)
(11)

 

donde S, P, (g/L)  son las concentraciones de sustrato y de producto en la fase líquida del bioreactor. El subíndice T es utilizado para nombrar a las mismas especies en el tanque de recirculación. La concentración de biomasa en los geles está representada por X (g/L), mientras que t (h) y x ( ) son las variables de tiempo y espacio adimensional respectivamente. DS y DP (m2/h) representan los coeficientes de difusividad para sustrato y producto, y para el presente caso, se supone que: . La velocidad superficial del fluido v (m/h), se calcula como: v=QT/(εA), donde QT es el flujo volumétrico (m3/h), A es el área de la sección transversal del biorreactor (m2) y  es la porosidad del lecho fluidizado. YX/S, YP/X (g/g);  (adimensionales) son los coeficientes de rendimiento y los factores de efectividad para el sustrato y el producto respectivamente. Se considera además que las especies inmovilizadas siguen una cinética no lineal m=mmax S/(Ks+S) que se conoce como cinética de Monod donde mmax (h-1) es la velocidad máxima de crecimiento mientras que Ks (g/L) es la constante de de afinidad del sustrato. Antes de proceder al diseño del observador nótese que la dinámica de las especies en el lecho fluidizado (ecuaciones (1)-(3)), puede ser descrita por el siguiente modelo dinámico general para reactores de lecho fijo y fluidizado (Dochain y Vanrolleghem, 2001):

(12)


(13)

donde: ; ; ; ; ; ; .

DISEÑO DEL OBSERVADOR ASINTÓTICO

Enfoque de reducción posterior

Sea  que cumple con Rºrango(Y). Considérese una partición de estados dada por:  donde  contiene R variables de estado que son medidas y  las restantes  variables de estado que no son medidas y se desea estimar. Esto conduce a una nueva partición de Y:  que debe cumplir con: R=rango(Ya). Considérese además la transformación de estados en la variable:  con  y donde Ca y Cb son soluciones de la ecuación matricial: CaYa+CbYb=0. Sin pérdida de generalidad,  puede ser seleccionada como la matriz identidad, i.e., Cb=I, lo que produce la solución: Ca=-YbYa-1. Para el caso específico del proceso fermentativo, se desea estimar la concentración de producto y biomasa a partir de mediciones de sustrato de tal forma que: =S y =[P  X]T.        Así,  Ya= -(1-e)hS/eYX/S; Yb=[(1-e)hPYP/X/e 1]T Si se calcula la dinámica de la variable auxiliar, entonces se obtiene el siguiente observador asintótico para reactores tubulares (Dochain y Vanrolleghem, 2001):

(14)



(15)


(16)

con las condiciones de frontera e iniciales:

(17)


(18)

(19)

(20)

Nótese que el OA requiere del conocimiento de las variables en el tanque de recirculación (véase (17)). En este trabajo se asume que dichas variables se pueden medir fácilmente.

Por otro lado, para analizar no sólo la estabilidad del OA, sino también su desempeño, se define el error de estimación e como:  ( ).

La Dinámica del Error de Estimación (DEE) puede ser fácilmente calculada y está dada por las ecuaciones (21) y (22), mientras que las condiciones frontera e iniciales vienen dadas por (23) y (24) respectivamente:

(21)

(22)

(23)


(24)

(25)

(26)

Mientras que la ecuación (21), describe la DEE para la concentración de especies inmovilizadas (en este caso, concentración de biomasa) y señala que el error de estimación para tales especies (eI) es constante, la ecuación (22) representa la DEE para la concentración de especies en fase líquida (en este caso concentración de producto) y es una ecuación lineal y asintóticamente estable (Dochain y Vanrolleghem, 2001). Además de ser estable, esta dinámica es completamente independiente de los términos no lineales, por lo que se dice que el OA es robusto frente a las no linealidades. Sin embargo, tanto las dinámicas del OA como su DEE, son dimensionalmente infinitas. Lo anteriormente señalado significa que se necesitaría un número infinito de mediciones para obtener un número infinito de estimaciones, lo cual es un inconveniente para fines de monitoreo y control del proceso puesto que es una tarea  prácticamente imposible de realizar. Ante tal problema, se propone reducir tales dinámicas a un conjunto de EDO para facilitar la implementación del OA al proceso real y el análisis de su estabilidad. El método de reducción utilizado aquí es el Método de Colocación Ortogonal (MCO) (Finlayson, 1980), que ha sido seleccionado por sus ventajas sobre otros métodos de reducción (Aguilar et al., 2005). En el MCO las EDO’s representan la dinámica del modelo en EDP en los puntos de colocación los cuales se calculan como las raíces de los polinomios de Jacobi, por lo que toman valores de entre 0 y 1. Así, si se aplica el MCO a la DEE, se obtiene:       

y las condiciones iniciales y frontera quedan:





i=2…N+1

(27)


(28)


 

(29)

(30)

 

(31)


(32)

donde: ; ; ; ; ; ;  ( ), N representa el número de puntos de colocación internos, son los valores numéricos de tales puntos de colocación y el subíndice i se usa para referirse a las variables de estado localizadas en el i-ésimo punto de colocación. Nótese que la dinámica de las variables  requiere del conocimiento de estas mismas variables en las fronteras ( , ) las cuales se obtienen al resolver de forma simultánea las ecuaciones (31) y (32) y tienen la forma: ;  con ; ;  ;  .

Al sustituir en (27) las expresiones en la frontera obtenidas, se llega a:  donde E es una matrix de NxN (E=[Ek, l]) :

(33)

Así, las ecuaciones (27) y (28) pueden escribirse en forma matricial como:

     ó   

(34)

La estabilidad de  y por lo tanto del OA en el proceso de estimación de las especies en el lecho fluidizado, se garantiza si E tiene valores propios con parte real negativa. Analizando (33) se deduce que E es función de N,  y  por lo que estos parámetros se deben seleccionar de tal forma que E cumpla con el requisito señalado (Aguilar et al., 2005).

Enfoque de reducción temprana

El diseño de observadores bajo este enfoque requiere de un modelo reducido el cual se obtiene al aplicar el MCO a las ecuaciones del modelo en EDP ((1)-(11)). Para N puntos de colocación, el modelo reducido tiene la forma:












i=1…N+2
j=2…N+1

(35)



(36)






(37)

 

(38)

(39)

con las condiciones frontera e iniciales:

(40)


(41)


(42)



(43)

(44)
(45)
(46)

Las expresiones en las fronteras para S y P son calculadas al resolver en forma simultánea (40)-(42) y (41)-(43) y para N puntos de colocación tienen la forma:

(47)

(48)

donde ;

y la variable  representa a cualquiera de las variables S ó P. Sustituyendo las expresiones en la frontera de estas variables en el modelo reducido, éste toma la forma:  (z(t)ÎÂ(3N+2)x1)  con

 con

; ; ;( ).  Además:

con:

  ( )

  ( )

 (f(z(t))ÎÂNx1);  b(t)=0 e Z es la matriz identidad. El sistema reducido puede ser reacomodado como:

(49)

donde las q variables de estado medidas han sido agrupadas en el vector z2(t) (dimz2(t)=q) y las variables de estado a ser estimadas se denotan con z1(t) (dimz1(t)=s=3N+2-q). Las matrices  y  (m,w=1,2) son particiones de G y H. Considérese que: rango(H)=rango(H2)=c ( ) y que se hace la transformación: w(t)=V1z1(t)+V2z2(t), entonces el siguiente sistema es un OA (Dochain, 2003):

(50)

con , , ;  ( ) es una matriz invertible, generalmente seleccionada como la matriz identidad (i.e., );   ( ) y  es la pseudo-inversa de  con la propiedad  . Luego, si se define el error de estimación como  se puede calcular la DEE para el OA, la cual viene dada por:  con . Así, puesto que para el proceso fermentativo aquí estudiado se desea estimar la concentración de producto y biomasa en el lecho a partir de mediciones de concentración de producto en el tanque y de concentración de sustrato en el lecho y en el tanque, la partición de estados está dada por

 y . Para esta partición en particular, se puede demostrar que rango(H)=rango(H2)=N por lo que se podrá diseñar el OA tomando como base al modelo reducido. Además, para esa partición:

 

   

a partir de estas expresiones, se calcula  y se sustituye en la DEE para obtener:

  

(51)

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

El desempeño que muestra el OA cuando se utiliza el enfoque de reducción posterior puede ser comparado con el desempeño que presenta el OA cuando se usa el enfoque de reducción temprana si se cotejan las DEE obtenidas en la sección anterior. Compárese entonces (34) y (51) y nótese que son idénticas. Esto significa que el OA puede ser diseñado con cualquiera de los enfoques aquí expuestos pues se obtendrán exactamente los mismos resultados de estimación. La importancia de este resultado radica en que éste puede ser aplicado cuando se desee diseñar un OA para cualquier otro proceso que esté descrito por un modelo similar al del proceso fermentativo. En tal caso, se sugiere utilizar el enfoque de reducción temprana en lugar del enfoque de reducción posterior ya que puede llegar a representar un menor esfuerzo de diseño pues el OA es construido para el modelo reducido. Las simulaciones que describen el desempeño del OA se muestran en las Figuras 1 y 2.

Fig. 1: Desempeño del OA para P


Fig. 2: Desempeño del OA para X

Estas simulaciones se realizaron utilizando los parámetros del modelo reportados en (Alcaraz et al., 1997) y los parámetros de reducción N=3 y . Para esta selección de parámetros de reducción, E tiene valores propios complejos con parte real negativa y se obtienen los puntos de colocación internos x2=0.11, x3=0.5 y x4=0.89 que equivalen al 11% al 50% y al 89% de la longitud del lecho fluidizado. Supóngase que es posible ubicar un sensor para medir la concentración de sustrato en cada uno de los puntos de colocación aquí considerados y que además se dispone de sensores para medir la concentración de sustrato y producto en el tanque de recirculación. Si estas suposiciones se cumplen, entonces el OA será capaz de estimar la concentración de producto y biomasa en los puntos de colocación como se muestra a continuación en las Figuras 1 y 2. En ambas figuras, las líneas punteadas denotan el comportamiento del OA en los puntos de colocación internos para diversas condiciones iniciales, mientras que la línea continua es la concentración de producto o biomasa descrita por el modelo en los puntos de colocación. Es importante además señalar que las mediciones necesarias para el desempeño del OA fueron tomadas del modelo. En la Figura 1 se puede ver que, para la concentración de producto, el OA converge con bastante rapidez hacia el estado real. De hecho, es tan rápida la estimación del OA que en esta figura no es posible apreciar el estado estacionario para la concentración de producto. El comportamiento oscilatorio del OA se debe a que los valores propios de E son números complejos. En la figura 2, que muestra el desempeño del OA para la concentración de biomasa, se puede ver que existe un error de estimación constante ya que la DEE para estas especies ( ) es cero.

CONCLUSIONES

En este artículo se diseñó un observador asintótico para un proceso fermentivo descrito por EDP bajo dos enfoques distintos y se demostró que el desempeño del observador es independiente del enfoque de diseño utilizado.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al CONACyT y al PROMEP por el apoyo otorgado para la realización de éste trabajo.

REFERENCIAS

Aguilar, E., V. Alcaraz-González y V. González Álvarez, “Asymptotic observer design and stability analysis for a fermentation process”, Actas de la 7ma Conf. CA (IASTED), 129-134, Cancún,México, Mayo 18-20 (2005).        [ Links ]

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Dochain, D. State and parameter estimation in chemical and biochemical processes: a survey. Journal of Process Control, 13(8), 801-818 (2003).        [ Links ]

Finlayson, B. A., “Nonlinear analysis in chemical engineering”, 1a edición, 191-193. Mc Graw-Hill, New York, E.U.A. (1980).        [ Links ]

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