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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.6 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000600022 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°6-2006, pág.: 147-155

ARTICULOS VARIOS

Inestabilidad de Voltaje en Sistemas de Potencia

Instability of Voltage in Power Systems

Rosa E. Correa (1,2) y Joaquín Collado (1)
(1) Centro de Investigación y Estudios Avanzados, Departamento de Control Automático,
Av. IPN 2508, P. O. Box 14-740, Col. Zacatenco, CP 07360 México D. F.-México (email: jcollado@ctrl.cinvestav.mx).
(2) Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Mecánica y Control, Cra. 80 No. 65-223, Medellín-Colombia
(e-mail: recorrea@unalmed.edu.co)


Resumen

El objetivo de este trabajo es aprovechar la naturaleza periódica de los voltajes y corrientes y considerar cargas desbalanceadas para realizar un mejor análisis dinámico de voltaje en sistemas de potencia. El análisis dinámico de la estabilidad de voltaje se ha fundamentado en modelos reducidos que utilizan la transformación de Park. El resultado es un modelo bifásico del generador sincrónico en el que se supone carga balanceada y señales de naturaleza no periódica. En este trabajo se selecciono un modelo periódico de un generador sincrónico. Este modelo permite experimentar con cargas más naturales como resistencias, inductores e inductores conmutados que representan los controladores de los motores modernos. Con apoyo de las curvas V-P, se detectó resonancia en presencia de cargas conmutadas y se mostró los efectos adversos en el sistema de potencia cuando se tienen cargas desbalanceadas.

Palabras claves: inestabilidad de voltaje, armónicos, sistemas no lineales, resonancia


Abstract

The objective of the present study is to take advantage of the periodic nature of voltages and currents, and consider unbalanced loads in carrying out an improved dynamic analysis of voltage in power systems. The dynamic analysis of the voltage stability has been based on reduced models which use Park's transformation. The result is a biphasic model of a synchronous generator for which it is supposed there is balanced load and non-periodic signals. For this, a periodic model of a synchronous generator was selected. This model allowed experimentation with more "natural" loads such as resistances, inductors, and switched inductors which represent the controllers of modern motors. Resonance in the presence of commutated loads was detected with the support of V-P curves, and adverse effects were demonstrated in the power system in the presence of unbalanced loads.

Keywords: voltage instability, harmonics, non linear systems, resonance


INTRODUCCION

En los sistemas eléctricos de potencia, se utilizan diferentes tipos de estabilidad  a) La estabilidad de ángulo del rotor se refiere a la capacidad de las máquinas sincrónicas de un sistema de energía interconectado de permanecer en sincronismo después de ser sometido a una perturbación. b) La estabilidad del voltaje se refiere a la capacidad de un sistema de energía de mantener los niveles de  los voltajes dentro de cierto rango en todos los nodos del  sistema después de ser sometido a una perturbación. c) La estabilidad de la frecuencia se refiere a la capacidad de un sistema de energía de mantener la frecuencia constante después de que el sistema haya sido sometido a una perturbación severa que da como resultado un desequilibrio significativo entre la generación y la carga. d) La estabilidad de los armónicos, introducido recientemente por Möllerstedt y Berhardsson (2000), refiere el hecho de que una carga conmutada puede entrar en resonancia con la fuente periódica.  Todas estas "Estabilidades" en sistemas de potencia son mucho más demandantes que la estabilidad asintótica basada en la teoría de Lyapunov,  usada en Teoría de Control.

En este contexto, nos Interesa  el colapso de  voltaje, que es una de las formas más severas de inestabilidad, Van Cutsem (1998), Chen (1994), (2000) y Chiang (2003). La mayor parte de los métodos de análisis para el estudio de la inestabilidad de voltaje son estáticos, sin embargo la inestabilidad y el colapso de voltaje son fenómenos dinámicos.  El modelo d-q tradicionalmente empleado para este  análisis,  se basa en la transformación de Park (1928), esta transformación  reduce el modelo en una ecuación diferencial y elimina las características periódicas  de las señales. Dobson y Chiang (1989), Prapost y Loparo (1994) han utilizado un modelo dinámico muy reducido del generador, conocido como el modelo de la "ecuación de péndulo", donde se   considera únicamente la dinámica del rotor acoplados a un modelo de carga que se asume dinámica IEEE Task Force (1995), Hill (1993).

Otros modelos incluyen además las dinámicas

del regulador del voltaje, como la del gobernador de velocidad, estos modelos a pesar de llegar a presentar hasta  20 ecuaciones diferenciales para cada generador, no consideran el efecto  periódico de las señales, ya que  utilizan para hacerlos invariantes en el tiempo, la transformación de Park.  Si no se conserva el carácter periódico de las señales no es posible detectar resonancias, además que dificulta el manejo  de cargas desbalanceadas.  La Principal dificultad cuando se usa el modelo d-q radica en la obtención del  modelo dinámico de algunas  cargas, IEEE Task Force (1995). La mayoría de los investigadores en el campo reconoce en este, uno de los problemas a resolver,  para poder realizar  análisis más razonables del comportamiento dinámico de los sistemas eléctricos de potencia.

Se propuso un modelo del generador de diecinueveavo orden, Krause (2004), Ong (1998), El modelo propuesto no hace uso de la transformación de Park, es decir, es un modelo lineal periódico, utiliza modelos estandarizados por la IEEE tanto para el regulador de voltaje como para el gobernador de velocidad.  Este modelo permite utilizar cargas naturales representadas por combinaciones de resistencias, inductancias y capacitores fijos y variables.  La naturaleza del modelo permite la experimentación con cargas desbalanceadas, ya que se puede proponer cargas diferentes  para cada una de las fases del generador. Más importante aún, las cargas son realistas.

Para efectos de simplicidad, se propone un esquema sencillo, constituido por una fuente sinusoidal trifásica, una inductancia en serie a la salida, que representa la impedancia de salida del generador,  a la cual  se le conecta la carga deseada, se preserva la dinámica mecánica del gobernador de velocidad permitiendo este circuito el análisis del comportamiento bajo diferentes valores de la demanda de energía, la cual se expresa como una resistencia y una inductancia que son variadas muy lentamente. En la literatura, la idea de representar el generador como fuente de voltaje en serie con un inductor fue utilizada en Vu (1990). En algunos de sus trabajos llega a utilizar modelos  lineales  de primer orden para representar las variaciones en los transformadores de tomas.

MODELO

El modelo de la máquina consta de dos partes: la componente eléctrica y la componente mecánica, la parte eléctrica considera tres devanado en el estator desfasados 120 grados y cuatro devanados en el rotor; tres devanados amortiguadores y el devanado de campo. 

Cada uno de los devanados corresponden a circuitos resistivos-inductivos R-L, que matemáticamente pueden ser representado por la ecuación:

(1)

En la ecuación (1),   y  son matrices simétricas, definidas positivas de dimensión 7x7,   es una matriz periódica de período   y  la frecuencia angular en el rotor, aproximadamente 377 radianes por segundo  para un par de polos.

(2)

Donde  i (t) ÎR7, , , Los subíndices ,  y  hacen referencia  a los devanados del estator, del  rotor y al devanado de campo de excitación  respectivamente,  es la transpuesta del vector.

                  (3)

                  (4)

En esta ecuación  corresponde a las tres fases en el estator y    a los voltajes en los devanados amortiguadores en el rotor y finalmente  es el voltaje del devanado de campo.

Después de obtener el modelo básico, las variables del rotor son referidas al estator, la simetría de  se ve parcialmente afectada.

Al  modelo de séptimo  orden descrito por (1), se debe complementar con la parte mecánica, la cual corresponde  a:

(5)

Donde representa el momento de inercia del rotor, el amortiguamiento viscoso,  el  par mecánico y  el par eléctrico.

El conjunto de ecuaciones (1) y (2), se complementan con los modelos de tercer  orden del gobernador de velocidad y el de cuarto orden correspondiente al regulador de voltaje. Ambos reguladores fueron tomados de (ONG, 1998) y corresponden a la máquina seleccionada para el estudio.

Finalmente se obtiene un modelo del generador de decimosexto orden del cual se presenta un diagrama de bloques en la figura 1, este modelo permite experimentar  cargas expresadas de una  forma más natural, es decir resistencias, R  inductancias, L y conductancias, C, no como de costumbre, funciones de la demanda de potencia activa, P o de potencia reactiva Q.  Para este caso particular se especifica la carga como una combinación  de R y L,  si la magnitud de la carga  es mayor que la impedancia de salida del generador, se converge a un punto de la rama  superior de la característica  de voltaje contra potencia.

Fig. 1 Diagrama esquemático para el modelo del generador propuesto


Fig. 2 Características de Voltaje y potencia en función del tiempo - - - Voltaje, ▬ Potencia

La proyección de estos puntos en el plano,   (V, P)  proporciona la característica de voltaje como una función de potencia.  Estas curvas se conocen como las características   V-P, las se muestran en la figura  2,  la nariz de estas curvas representa el punto crítico de inestabilidad de voltaje, siendo este el punto de máxima potencia que puede ser entregado al nodo para el cual se generó la curva. Si el sistema demanda una carga mayor, entrara en una condición de inestabilidad de Voltaje.   

En las simulaciones se considerara un generador sincrónico trifásico modelado como una  fuente de voltaje ideal  con una impedancia de salida, la frecuencia es gobernada por el subsistema mecánico con su regulador de velocidad.  La impedancia de la salida de la fuente considera además la dinámica de la línea de transmisión, un diagrama esquemático se muestra en la figura 3.

Una simulación más realista, deberá considerar además de la carga conectada al generador a través de una línea: a) La dinámica del cambiador de tomas en el transformador en  el lado de la carga, b) Límites en la cantidad máxima de Energía reactiva , que podrá ser entregada, y c)  Una Fuente variable de  energía reactiva que podrá ser liberada a través de la conmutación de sistemas de la transmisión flexibles de corriente alterna, o de otros dispositivos.

Este modelo no se ha utilizado en el análisis de Colapso de  voltaje;  por supuesto que este modelo corresponde a la versión anterior del modelo de la máquina sincrónica antes de que se utilizara la transformación de Park o  modelo d-q.

CARGA DESBALANCEADA

Con el propósito de estudiar el efecto de la variación de diferentes  tipos de cargas en el  sistema eléctrico de Potencia, se propone  un modelo  simplificado,  que conserve las características principales de la dinámica del modelo completo.  El modelo consiste en una fuente ideal trifásica periódica, con una impedancia inductiva en  la salida, que considere además  la impedancia de la  línea de transmisión más la impedancia de salida del generador figura 4. Este modelo está sometido a dos  diferentes tipos de carga resistiva: a) una carga equilibrada con una variación de 2 a 0 en p. u.  b) la misma variación resistiva  pero con 5 % de desequilibrio en una fase. Estas simulaciones se muestran en la figura 5. Se debe notar la disminución en la máxima potencia generada cuando la carga no es balanceada. Esta es la primera vez que éste fenómeno ha sido reportado.

En esta sección se presentó la simulación de  un modelo periódico detallado que preserva el carácter periódico de las señales  y una curva cualitativa de la  característica V-P para una carga equilibrada. Esta característica se confrontó con la simulación  del sistema frente a un desbalance  en la carga del 5% en una de las fases, nótese la reducción  del 9,5% en la energía máxima disponible.

FENÓMENO DE RESONANCIA

El mismo modelo simplificado de la sección anterior es utilizado en esta sección, se omite  el regulador de voltaje, la parte eléctrica del  generador es  substituida  por una  fuente de Voltaje trifásica con una impedancia inductiva a la salida.  La parte mecánica es preservada ya que corresponden a las  dinámicas lentas del modelo completo que representa la  dinámica dominante del generador. Partiendo del modelo propuesto en la sección anterior, y  a partir de un valor inicial  que es cuatro veces más grande que la impedancia correspondiente a la  máxima potencia suministrada, se reduce de forma lineal y muy lentamente  la carga hasta un valor , la variación del voltaje como una función de la potencia de salida se presentan en la figura 6. Dos conclusiones importantes se obtienen de estas simulaciones a) El voltaje en la carga aumenta la energía entregada en el nodo correspondiente, este incremento de voltaje en el nodo es debido a la resonancia por la conmutación en la carga., b) El punto de máxima energía también es afectado por la conmutación en la carga, es sabido que este punto depende de la magnitud de  la carga y de la proporción entre las partes resistivas e inductivas.

Fig. 3 Modelo simplificado del generador


Fig. 4 Sistema trifásico de potencia


Fig. 5: Característica  V-P para a) carga balanceada ▬  y
b) carga desbalanceada - - -


Fig. 6: Característica V - P para diferentes tipos de carga a) - - -  carga resistiva Z = R, b) ▬ Z = R + j abs (R),  c)  - ▪ - ▪ -  Carga conmutada.

Las  siguientes  simulaciones fueron hechas con una carga combinada resistiva-inductiva con un factor de potencia  de 0,7 en atraso. Se selecciona este valor con el objetivo de resaltar el efecto del desbalance en la carga.  En ambos casos la carga es balanceada, pero en  la segunda simulación se conmuta  un porcentaje de la carga.  Los detalles de las simulaciones  se muestran en la figura 7.

El procedimiento seguido fue: una fuente trifásica de  voltaje con una impedancia de salida de 0,5 en p. u.  alimenta una carga trifásica que consiste en  a) Carga resistiva pura, que inicia con un valor 4 veces la resistencia, que corresponde a la transferencia máxima de la energía, b) la parte resistiva es igual que en a) pero ahora agregamos una carga inductiva fija de la misma magnitud que la parte resistiva, c) iguales que b) pero el 20% de la carga inductiva  es conmutada,  d) igual que en  b) pero el 22% de la carga inductiva es conmutada.  Si intentamos incrementar  más lejos, el sistema se vuelve  inestable.

Fig. 7: Característica V-P para diferentes tipos de carga a) ▪ ▪ ▪ Z = R, b) ▬ ­ ▬ Z = R +j abs (R),  c) ▬ Carga conmutada  20%,  d) ▬ Igual que en c) pero con una conmutación del 22%, corresponde a la nariz más encogida

ANÁLISIS PARA EL CASO RESONANTE

Se considera el circuito mostrado en la figura 8, el cual corresponde a la siguiente ecuación diferencial

(6)

(7)


Fig. 8: Circuito para el análisis

Donde  tiene una variación en forma de onda cuadrada de 1000 Herz con un ciclo de trabajo de 50%, la cual puede ser aproximada  por la  serie de Fourier:

    

(8)

Donde  es la inductancia promediada en la carga,  corresponde a 1000 Herz que es la frecuencia más usual en el control PWM.  El cambio en la

El cambio en la inductancia corresponde a la carga inductiva que el sistema ve cuando un motor es controlado a través de un inversor modulado por ancho de pulso (PWM).

Como en  el sistema original hay transformadores y otra filtros pasa bajos, únicamente se consideraran  los tres primeros términos en la serie de  Fourier  (Chiang, 2003), para aproximar la función.

       

(9)

Y  la  aproximación de la derivada

       

(10)

Se definen las siguientes funciones:

       

(11)

        

(12)

Sustituyendo en (7)

             

(13)

Si y  son acotadas y del mismo signo se garantiza estabilidad asintótica: Si  es cero, entonces  la estabilidad del sistema dependerá de  si el valor de    permanece acotado. Pero si   se hace cero en cualquier intervalo de tiempo (13) ya no es un modelo  válido. Un cálculo rápido muestra que el valor máximo de la función   es 0.933, de ahí que si  garantiza que .  En la simulación se redujo el valor promedio de   y   multiplicando ambos por la función  y  Para la simulación los valores de los parámetros fueron      con lo cual para  ,  se hace cero en algún tiempo. Comparando el mismo parámetro con el obtenido de las simulaciones realizadas en el sistema trifásico, tomando en consideración la dinámica en el rotor y el regulador de velocidad, se obtuvo  una , siendo una buena aproximación al  modelo experimental.

Un análisis más interesante es colocar en el circuito  de orden reducido un condensador en serie. Este análisis debe considerar diferentes  frecuencias; la frecuencia natural del sistema debido a circuito L-C, la frecuencia de la fuente y la frecuencia de conmutación en la  carga.   Note que si  y existe el fenómeno de resonancia, cuando se alcanza existe una bifurcación en el modelo dinámico reducido (13) que corresponde a la simulación del modelo completo.

CONCLUSIONES

El nuevo modelo supera el problema de cómo modelar las cargas y propone cargas naturales en lugar de funciones poco reales.  Detectamos nuevos factores que deben considerarse en el problema de colapso de voltaje, a saber: los sistemas desbalanceados reducen la energía máxima de transferencia del generador a las cargas;  también las cargas conmutadas  reducen la energía máxima que puede ser entregada y aumentan el voltaje en el nodo de la carga.  Actualmente se desarrolla el análisis matemático para describir los resultados de las simulaciones divulgadas en este trabajo.

Como siguiente trabajo esta el considerar el sistema más realista RLC, con carga conmutada cuyo análisis del modelo reducido nos conduce a una ecuación diferencial con coeficientes periódicos con un término forzante también periódico pero de una frecuencia mucho mayor.

REFERENCIAS

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