SciELO - Scientific Electronic Library Online

 
vol.20 número2Evaluación del Poder Antioxidante de Fracciones de Aceite Esencial Crudo de Schinus molle L. obtenidas por Destilación al VacíoInfluencia de la Separación de Residuos Sólidos Urbanos para Reciclaje en el Proceso de Incineración con Generación de Energía índice de autoresíndice de materiabúsqueda de artículos
Home Pagelista alfabética de revistas  

Servicios Personalizados

Revista

Articulo

Indicadores

Links relacionados

Compartir


Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.20 n.2 La Serena  2009

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642009000200012 

Información Tecnológica-Vol. 20 Nº2-2009, pág.: 89-104
doi:10.1612/inf.tecnol.4034it.08

INGENIERIA EN ALIMENTOS

Parámetros de Transferencia de Materia en el Secado de Frutas

Mass Transfer Parameters in Fruit Drying

Sebastião R. Ferreira y Antônio R. S. Costa
Universidad Federal de Río Grande del Norte, Departamento de Ingeniería Química, Av. Salgado Filho 3000, 59078-970 Natal,
RN-Brasil (e-mail: ferreira@eq.ufrn.br, seba@ufrnet.br)


Resumen

Se desarrolló un modelo analítico para obtención de parámetros de transferencia de materia en el secado de frutas. El modelo considera la disminución del radio de las frutas durante el proceso de secado. Con el modelo matemático se predice simultánemente el coeficiente externo de transferencia de materia km y la difusividad de agua en los frutos DAB. Para probar el modelo se obtuvo en forma expermental datos de masa de agua MA en la fruta versus el tiempo de secado t, además del radio inicial R0 y el radio al final del proceso Rf. Los valores obtenidos de DAB y km son del mismo orden de magnitud de los calculados por un método numérico de la literatura. La metodología desarrollada, considerando disminución de volumen, puede ser empleada para evaluar parámetros de secado con exactitud razonable para cálculos en ingeniería.

Palabras clave: transferencia de materia, secado de frutas, modelado matemático, difusividad


Abstract

An analytical model was developed to determine mass transfer parameters during fruit drying. The model considers radius shrinkage during the drying process. With the mathematical model the external mass transfer coefficient km and the water diffusivity DAB can be simultaneously evaluated. To test the model, experimental data of water mass MA versus drying time t, and the initial radius R0 and the radius at the end of the process Rf were determined. The values obtained for DAB and km were of the same order of magnitude as those calculated by a numerical method from the literature. The proposed methodology, that considers volume shrinkage, can be used to estimate drying parameters with acceptable accuracy for engineering calculations.

Keywords: mass transfer, fruit drying, mathematical modeling, diffusivity,


INTRODUCCIÓN

Para la obtención de modelos de secado generalmente son consideradas las ecuaciones de transferencia de materia, energía y cantidad de movimiento, surgiendo naturalmente parámetros que influyen en el secado, tales como el coeficiente externo de transferencia de materia entre una fruta y el aire de secado km(m/s), la difusividad de agua en una fruta DAB(m2/s) y el número de Biot Bim(adim.). Uno de los modelos de secado más conocidos es el de Luikov (1966), que está basado en la termodinámica de los procesos irreversibles (Abalone et al., 2001; Luikov, 1966; Pandey et al., 1999; Wu e Irudayaraj, 1996).  El modelo de Luikov es constituido por ecuaciones diferenciales parciales acopladas, en función de la temperatura, la humedad y, cuando existe un intenso secado, puede incluir la presión.

En algunas investigaciones están contemplados los modelos de secado de frutos (Lima, 1999) y también del secador (Karim y Hawlader, 2005a, b; Mabrouk et al., 2006). Los modelos para el fruto y secador están acoplados a través de los flujos de materia, energía y cantidad de movimiento en la interfase fruta/aire. Lima (1999) se dedicó especialmente al análisis del secado de banana; siendo parte de su investigación reproducida en un trabajo posterior (Lima et al., 2002). En el trabajo original (Lima, 1999) desarrolló modelos bidimensionales, analíticos y numéricos, para simular la difusión en sólidos y, en particular, ellos fueron empleados para describir la transferencia de materia y energía en el secado de banana. En su investigación se destaca el denominado modelo (III), que es un modelo con condición de contorno convectiva, fenómenos simultáneos de transferencia de humedad y disminución de volumen del fruto. En su modelo (III) el citado autor admitió, entre otras consideraciones, que:

a) El secado ocurre bajo condición de contorno convectiva, con humedad dependiente de la posición en el sólido esferoidal y del tiempo. Un esquema de un sólido esferoidal es presentado en la Fig.(1).

b) El Biot es admitido como variable durante el proceso de secado; el cual es definido por la Ec.(3).

c) La disminución de volumen es linealmente proporcional a la pérdida promedio de humedad del sólido.

Según Lima, el modelo (III) es el más realista de los analizados por él, dando resultados confiables para los coeficientes transporte; porque están incluidos más efectos físicos que inciden en la cinética de secado, comparado con otros modelos desarrollados por este autor (Lima, 1999; Lima et al., 2002). Por ejemplo, para aire a 60,2 oC, humedad relativa de 19,9 % y velocidad de 0,36 m/s, Lima et al. (2002) presentan DAB = 7,2510-10 m2/s, km = 22,3010-8 m/s y Biot en el inicio y final del proceso, respectivamente, BiL0 =17,52 y BiLf = 11,14. Como DAB y km son considerados constantes y BiL no, entonces al analizar la Ec.(3) se deduce que BiL se modifica debido a la disminución de L del fruto en el secado. En realidad, DAB, km y L pueden modificarse en el proceso.

En la Fig.(1), que representa la mitad de la longitud de una banana, están destacadas las relaciones entre los sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z) y esferoidal (m, f, w). Se presentan el semieje menor y mayor, L1 y L2, respectivamente, y la longitud focal L que es calculada por la siguiente ecuación (Lima, 1999):

(1)


Fig. 1: Características de un sólido esferoidal (Lima, 1999; Teruel et al., 2001).

El volumen de un sólido esferoidal, con L1 < L2, es calculado por la ecuación (Lima, 1999):

(2)

Cuando son cortadas las dos puntas de una banana se obtiene aproximadamente un cilindro finito y , en general, el valor de L1 es aproximadamente igual al radio de una banana R, y L es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de una banana. El número de Biot de transferencia de materia BiL, para un sólido esferoidal de longitud característica L, como el de la Fig.(1), es dado por (Lima, 1999):

(3)

Para un cilindro finito existen dos números de Biot de transferencia de materia; uno para el radio R, dado por la Ec.(12), y otro para la longitud L, dado por la Ec.(3). Para un cilindro infinito hay sólo Biot para R.

Karim y Hawlader (2005a,b) desarrollaron un modelo de secado para un fruto, prediciendo su temperatura y humedad. Es admitido disminución del volumen del material y debido a esto DAB resultó dependiente del contenido acuoso y de la temperatura del fruto (Bird et al., 2002; Crank, 1976). La DAB, obtenida por Karim y Hawlader, disminuye con el progreso del secado; debido a que la reducción del volumen produce cambios en la estructura del fruto, aumentando la resistencia a la difusión del agua, lo que disminuye DAB. Mabrouk et al. (2006) desarrollaron un modelo numérico para predicción de la transferencia de materia y energía de productos granulares en un secador tipo túnel, de lecho fijo. Como la capa usada de producto (uva) era de pequeño espesor, admitieron que no existía gradiente de temperatura y humedad, y obtuvieron un modelo simplificado basado en una capa delgada.

Costa y Ferreira (2007), presentaron un modelo de secado, basándose en la ecuación de Fick para frutos cortados en forma de placa. Lo analizaron para Bi ® ¥, esto es, sin resistencia externa a la transferencia de materia. Un modelo de este tipo es restrictivo, pues sirve sólo para averiguar como se comportaría el sistema cuando la resistencia externa a la transferencia de materia es despreciable. Si Biot fuese un parámetro libre, podría ser obtenido un valor diferente del impuesto, Bi ® ¥,  y quizás representase mejor la realidad del proceso de secado. Costa (2008), en colaboración con el co-autor de este artículo, presenta cálculos para cilindro infinito, ampliando su trabajo anterior (Costa y Ferreira, 2007).

Una de las dificultades en el modelado del secado de frutas es la obtención de parámetros de transporte, tales como Bim, DAB y km. Comúnmente para evaluarlos son empleadas correlaciones o son realizados experimentos por separado para calcularlos o son usados métodos numéricos, para analizar como ellos se comportan en función de variables del proceso. Por ejemplo, para resolver simultáneamente las ecuaciones de transferencia de energía y materia, Mariani et al. (2008) usaron correlaciones para evaluar el coeficiente convectivo de transferencia de calor, hconv(Wm-2o­C-1), en vez de obtenerlo automáticamente del método numérico empleado. En general, esas correlaciones son válidas para una geometría dada, en función de los números de Nusselt, Prandtl y Reynolds (Bird et al., 2002).

El coeficiente hconv también puede ser evaluado de ensayo por separado, por ejemplo, con un cilindro de aluminio o de otro metal, de iguales dimensiones y en condiciones experimentales similares que una fruta dada, obteniendo BiC = hconvR/kAl → 0, para el cilindro metálico. Como la conductividad térmica del aluminio, kAl, es muy grande, en general, se cumple la condición BiC → 0 y el hconv puede evaluado de T versus t, en el cilindro de aluminio, con un modelo sencillo de transferencia de calor. El hconv obtenido para el cilindro metálico puede ser empleado para la fruta, en las condiciones ya mencionadas. Srikiatden y Roberts (2008) calcularon hconv usando un procedimiento como el mencionado, empleándolo en un modelo de secado, considerando transferencias simultáneas de energía y materia, para evaluar DAB de agua en papas y zanahorias. Kaya et al. (2008) obtuvieron de experimentos el coeficiente local hconv, a través del flujo de calor en la superficie de un kiwi y calcularon km, usando la analogía de Chilton y Colburn, entre el espesor de capa límite de transferencia de calor y materia. Pero Lima (1999) evaluó km de una banana en aire, a partir del ajuste de un modelo matemático, usando datos experimentales de secado, obtenidos por Queiroz (1994).

La masa de agua en una fruta a tiempo infinito M, también puede ser evaluada en experimento por separado, para una temperatura dada, presión y concentración acuosa del ambiente. Partiendo de una masa inicial de agua en una fruta MA0, ella alcanza la masa M cuando entra en equilibrio con el medio, en las condiciones mencionadas. La masa MA0 también puede ser obtenida de un ensayo por separado, calculándose la cantidad inicial de agua en un alimento, a partir de un experimento en estufa. Kaya et al. (2008) obtuvieron experimentalmente la masa de equilibrio MAe, para kiwi, a través de isotermas, empleando soluciones saturadas de sales y agua destilada, a 25, 35, 45, 55 y 65 oC, en función de la humedad relativa en el rango del 9,6 al 100 %. Evaluaron MA0 de kiwi, con un equipamiento de infrarrojo, que analiza concentración cuosa. 

En esta investigación se propone un modelo para evaluar parámetros, tales como Bim, DAB y km. En la metodología desarrollada, algunos parámetros son mantenidos libres durante sus cálculos, por ejemplo, Bim y DAB, esto es, ellos son determinados automáticamente por un programa computacional de regresión no lineal y representan valores promedio para el secado. Además, son comparados los resultados obtenidos del modelo propuesto y los calculados por Lima (1999), con un método numérico.

MODELO PROPUESTO PARA SECADO DE UN CILINDRO INFINITO

Es desarrollado un modelo de secado, considerando una banana como un cilindro infinito, basándose en el análisis de parámetros, a partir del modelo de Luikov. En general el flujo de humedad, debido a gradientes de presión, no es significativo a temperaturas convencionales de secado. Por lo tanto, comúnmente los términos de presión pueden ser despreciados y las ecuaciones básicas para el análisis del secado son:

(4)


(5)

Siendo uA(kg de agua/kg de sólido) la humedad, T(oC) la temperatura, t(s) el tiempo, Kij, i,,j = 1 y 2, son los coeficientes fenomenológicos para i = j y los coeficientes combinados para i ≠ j.

Los efectos de gradientes de temperatura en difusión de humedad sólo son significativos en el secado por conducción o cuando hay intenso calentamiento, tal como en secado por microondas o dieléctrico. Debido a eso, las ecuaciones fenomenológicas, se transforman en las siguientes, para un cilindro infinito, es decir, con transferencias solamente en la dimensión radial r:

(6)


(7)

Las Ecs.(6) y (7) son las ecuaciones difusivas de Fick y Fourier, respectivamente. Los parámetros K11 = DAB y  K22 = α son, respectivamente, la difusividad del agua DAB y la difusividad térmica α = k/(rCp), y Cp(Jkg-1oC-1) el calor específico de un fruto, k(Wm-1oC-1) su conductividad térmica y r(kg/m3) su densidad.

Sea una fruta considerada como un cilindro infinito, de diámetro D = 2R(m), con flujo unidimensional y simétrico de energía y materia en r. Dividiendo la Ec.(6) por la (7) y considerando constantes K11 = DAB y K22 = a = k/(rCp), resulta de la adimensionalización de citadas ecuaciones, en:

(8)

El número de Luikov es Lu = (1/a)/(1/DAB) = (resistencia interna a la difusión de calor)/(resistencia interna a la difusión de materia). Por ejemplo, a una temperatura de secado de 29,9 oC, para una banana se calcula que k = 0,481 Wm-1oC-1, r = 980 kg/m3 y Cp = 3.346 Jkg-1oC-1 y DAB = 1,3510-10 m2/s, resultando en Lu = DAB/k/(rCp) = 0,00092 << 1 (Costa y Ferreira, 2007; Costa, 2008). Cuando se cumple que Lu << 1, significa que la transferencia interna de materia domina la transferencia simultánea de calor y materia, porque ella es una etapa mucho más lenta que la de transferencia de calor. Con las consideraciones realizadas y admitiendo, como primera aproximación, que no hay resistencia externa a la transferencia de energía, la Ec.(6) es la ecuación diferencial básica para el siguiente análisis.

Las condiciones de contorno para resolver la Ec.(6), que describe la transferencia de materia dentro de un cilindro infinito de radio R(m), están dadas por:

(9)


(10)


(11)

La Ec.(9) es la condición inicial, la Ec.(10) la de simetría y la Ec.(11) el flujo de materia en la superficie. En la Ec.(11) YAS(kg/kg) es la concentración acuosa de equilibrio en la superficie de un fruto, Y la concentración acuosa en el medio externo lejos de la superficie, hm(kgm-2s-1) = kmrS un parámetro con unidad de flujo de materia, km(m/s) = hm/rS el coeficiente externo de transferencia de materia y rS(kg/m3) la densidad de los sólidos en un fruto.

De la adimensionalización de la Ec.(11) se obtiene la ecuación siguiente, en la cual surge naturalmente el número de Biot de transferencia de materia BiR:

(12)

El Biot, BiR = (1/DAB/R)/(1/km), es la relación entre la resistencia interna a la transferencia de materia 1/DAB/R y la resistencia externa 1/km. Si Bi está en el rango 0,1 < Bi < 100, existe resistencia interna y externa a la transferencia de materia, cuando Bi < 0,1 no existe resistencia interna y si Bi > 100 no existe resistencia externa (Luikov, 1968).

La solución de la Ec.(6), con las condiciones de contorno de las Ec.(9) a (11), que da la humedad puntual de agua en una fruta uA(r; t), o sea, la masa de agua/masa de sólidos en un fruto versus tiempo y posición (Crank, 1976), es:

(13)


(14)


(15)

Siendo u la humedad a tiempo infinito. La Ec.(14) es la ecuación de autovalores mn, que es auxiliar en la obtención de uA de la Ec.(13). En las ecuaciones anteriores, la función de Bessel de primera especie, de orden cero y uno, respectivamente, J0(mn) y J1(mn), son:

(16)


(17)

Los mn de la Ec.(14) son calculados usando las Ec.(16) y (17) como auxiliares; en función de BiR = kmR/DAB. Los mn son encontrados en tablas (Crank, 1976; Luikov, 1968) o son calculados por programas como Excel o por correlaciones (Schwartzberg, 1981). Integrando la Ec.(13) de r = 0 a r = R en el volumen del cilindro, se obtiene la humedad total UA = MA/MS; que es la relación entre la masa total de agua en una fruta MA y la masa total de sólidos MS. Es decir, la integración es realizada sustituyendo la humedad uA de la Ec.(13) en la siguiente ecuación:

(18)

Es mejor trabajar con la masa de agua MA que con UA. Después de sustituir la Ec.(13) en la Ec.(18), además de UA = MA/MS, UA0 = MA0/MS y U = M/MS, resulta de la integración:

(19)


(20)

Usando la Ec.(19) se calcula MA versus t, en función de Biot BiR. Con la Ec.(19) también pueden ser evaluados DAB y km, si fueren conocidos MA versus t, y el radio R. La masa a tiempo infinito M coincide con la de equilibrio MAe, a una temperatura dada, presión y humedad ambiente. Si M es usada como un parámetro libre, al correlacionar MA versus t, entonces ella puede no ser igual a MAe, debido al ajuste de parámetros.

METODOLOGÍA DE CÁLCULO DE PARÁMETROS DEL MODELO PROPUESTO

Es presentada una metodología para calcular parámetros, tales como DAB, BiR y km, basándose en la Ec.(19). Para realizar cálculos con la Ec.(19) o cuando se emplea solamente el primer autovalor m1, de la Ec.(14), es conveniente usar una correlación en vez de resolver la serie de potencias de la Ec.(14). Con este objetivo, pueden ser empleadas las siguientes ecuaciones para m1, en función de Bi, presentadas por Schwartzberg (1981), para cilindro infinito:

(21)


(22)

El rango de Bi presentado por Schwartzberg (1981), para las Ec.(21) y (22) es, respectivamente, Bi < 3 y Bi > 5. Las Ec.(21) y (22), respectivamente, en general dan desviaciones menores que |1,5 %|, en el cálculo de m1, en comparación con el evaluado con la solución exacta de la Ec.(14). Los cálculos con el modelo presentado se simplifican mucho, en parte, por usar una correlación como la Ec.(21) o (22); eliminando los, a veces, engorrosos procedimientos de cálculo con ecuaciones exactas de autovalores.

El modelo presentado es válido para todo el rango de Biot, 0 < BiR < ¥; pero si BiR < 0,1 casi no hay interés en la práctica de secado de alimentos. Usando las ecuaciones de esta sección en el rango intermediario, 0,1 < BiR < 100, que es el de mayor interés en secado, se calcula simultáneamente BiR y DAB, y enseguida km.

El procedimiento de cálculo para evaluar los parámetros BiR, DAB y km, cuando no hay disminución del radio de un cilindro infinito R0, es:

i)   Son obtenidos datos experimentales de MA versus t.

ii)  Es reemplazada en el primer término de la Ec.(19), por ejemplo, la ecuación de m1 de la Ec.(22), para BiR > 2. Es decir, tanto en el factor preexponencial de la Ec.(19), dado por B1 de la Ec.(20), así como en el término dentro del exponencial, reemplazando el autovalor al cuadrado, esto es, elevando la Ec.(22) al cuadrado, m12. Después de esas sustituciones, resulta del primer término de la Ec.(19):

(23)

iii) Son correlacionados datos de MA versus t de la Ec.(23), con un programa computacional de regresión no lineal, obteniendo directamente BiR y DAB, y con estos valores y el radio R0, se obtiene km de la Ec.(12) BiR = kmR0/DAB. Es decir, son calculados simultáneamente BiR, DAB y km.

Si hay disminución de volumen, es necesario adicionar una ecuación relacionando la disminución del radio en el secado de un cilindro infinito R, en función, por ejemplo, de la concentración acuosa (Queiroz y Nebra, 2001). Se propone correlacionar R versus MA, con la siguiente ecuación; siendo (a) y (b) parámetros obtenidos por regresión de datos:

(24)

Nótese que en las Ecs.(23) y (24) existe la variable MA. Después de insertar la Ec.(24) en la Ec.(23), se puede obtener simultáneamente BiR y DAB, admitiendo disminución del radio en el secado. Los valores de MA0 y M también pueden ser obtenidos como parámetros libres de la Ec.(23), si ellos no son conocidos.

Como en la Ec.(24) el radio R disminuye en el secado, puede ser usado un Rm promedio para el proceso. Por ejemplo, la media aritmética del radio en el inicio y final del secado t0 y tf, respectivamente, resultando en Rm = (R0 + Rf)/2, o un Rm a tiempo promedio t1/2 = (t0 + tf)/2, obteniendo Rm(t1/2) o un Rm integrando R de la Ec.(24) de t0 a tf y dividiendo por (tf - t0), resultando en Rm = ∫Rdt/(tf - t0). El radio Rm es un parámetro auxiliar en el procedimiento de cálculo a continuación, para evaluar BiL y km para un sólido esferoidal de longitud 2L, a partir de BiR y DAB obtenidos para un cilindro infinito de diámetro 2R.

El procedimiento para calcular los parámetros BiR, DAB y km, con disminución del radio de un cilindro infinito en el secado, es:

1)   Son empleadas las siguientes variables en la Ec.(23): X = t/R2 versus Y = (MA - M)/(MA0 - M); y el radio R es dado por la Ec.(24).

2)   Son mantenidos como parámetros libres de un cilindro infinito BiR y DAB, que son calculados con un programa de correlación no lineal.

3)   Es calculado un radio promedio Rm, por ejemplo, Rm(t1/2) a tiempo promedio t1/2 = (t0 + tf)/2.

4)   Son usados el Bi para un cilindro infinito BiR = kmRm/DAB de la Ec.(12), dividida por la Ec.(3) BiL = kmL/DAB, para calcular Bi para un sólido esferoidal BiL = BiRL/Rm; tanto en el inicio como en el final del proceso. Evaluando L0 a t0 = 0 y empleando BiR y Rm(t1/2), se obtiene el Biot en el inicio, para un sólido esferoidal BiL0 = BiRL0/Rm.

5)   Son empleados BiL0, L0 y DAB, evaluando el coeficiente km0 para un sólido esferoidal, en el inicio del secado, de la Ec.(3) km0 = BiL0DAB/L0.

6)   Son usados BiR, Rm(t1/2) y Lf evaluado a t = tf, calculando el Biot para un sólido esferoidal, en el final del proceso BiLf = BiRLf/Rm.

7)   Son empleados BiLf, Lf y DAB, evaluando el coeficiente kmf para el sólido esferoidal, en el final del secado, de la Ec.(3) kmf = BiLfDAB/Lf.

Algunos otros posibles procedimientos de cálculo son presentados a continuación. Como el Biot en el radio BiR = kmR/DAB, reemplazando R de la Ec.(24) en BiR, sustituyendo el resultado en la Ec.(23) y correlacionando MA versus t, se obtiene DAB y km como parámetros libres, en vez de BiR y DAB. Si en la Ec.(23) están libres los términos R, km y DAB, se obtiene de esos parámetros un Biot Bi = kmRm/DAB en función de un radio promedio Rm.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Son realizados cálculos con el modelo analítico desarrollado y la metodología propuesta, usando datos de Queiroz (1994), ecuaciones y datos presentados por Lima (1999) y Lima et al. (2002); algunos de ellos reproducidos en la Tabla 1.

En la Tabla 1 son presentados datos de humedad de equilibrio Ue(en base seca) = MAe/MS, siendo MAe la masa de agua en la fruta en estado de equilibrio, las dimensiones iniciales de una banana L10 y L20, y el tiempo de secado t, para experimentos de Queiroz (1994); excepto L2, que fue calculada por Lima (1999). Los subíndices (0), (f) y (e) representan, respectivamente, datos en el inicio, final y en condición de equilibrio de secado (t ® ¥); y UR la humedad relativa del aire de secado.

Es resuelto un ejemplo para el ensayo (4) de la Tabla 1, para ilustrar el empleo de la metodología de este artículo; en la cual se considera una banana como cilindro infinito y disminución de R durante su secado. Los resultados obtenidos son comparados con los de simulaciones de Lima (1999); en las cuales se considera que una fruta es un sólido esferoidal, con disminución de L1 y L2 en el proceso.

Para evaluar MA de la Ec.(23) es necesario conocer MA0 y M o obtenerlas como parámetros libres, correlacionando datos de MA versus t. En este artículo se calcula MA y M a partir de datos de las Tablas 1 y 2, como es presentado a continuación. Son usadas ecuaciones de MA versus t correlacionadas por Lima (1999), a partir de experimentos de Queiroz (1994); porque es más fácil emplear esas ecuaciones, que colectar puntos de gráficas de MA versus t, como presentadas por Lima et al. (2002) y, después, correlacionarlos para obtener MA versus t.

Lima et al. (2002) presentan curvas y datos experimentales de MA versus t, de los seis ensayos de la Tabla 1 y Lima (1999) presenta esas curvas y ecuaciones de MA versus t; como la Ec.(25), mostrada a seguir. Las ecuaciones presentadas por Lima (1999) están expresadas en humedad en base seca UA(b.s). Por ejemplo, de la Tabla 1, para el ensayo (4), la humedad inicial en base seca es UA0 = 2,96 = MA0/MS y en base húmeda UA0/(UA0 + 1) = MA0/(MA0 + MS) = 2,96/(2,96+1) = 0,7475. Es decir, una banana contiene inicialmente Mu0 = 74,75 % de agua y 25,25 % de sólidos.

Se calcula la masa de una banana en inicio del secado, para el ensayo (4), partiendo de su volumen inicial V0 y densidad r0, resultando en ρ0V0 = MA0 + MS. El volumen V0 es calculado por la Ec.(2), usando las dimensiones iniciales del sólido esferoidal L10 y L20, que están reproducidas en la Tabla 1, obteniendo V0 = 57,8210-6 m3. Este volumen es similar al de la Tabla 2, V0 = 57,830 cm3. Usando r0 = 980 kg/m3, ρ0V0 = MA0 + MS = 56,66 g, resulta en MA0 = 0,7475(56,66 g) = 42,36 g y MS = 14,31 g. Como UAe = 0,0426 = U = M/14,31 g, se obtiene que M = 0,61 g. Reemplazando esos valores en el lado izquierdo de la Ec.(23), resulta:

(25)

El lado derecho de la Ec.(25) fue obtenido por Lima (1999), de datos MA versus t de Queiroz (1994); y presenta muchas cifras decimales en cada término. El lado izquierdo de la Ec.(25) fue calculado en este artículo porque él es necesario en cálculos posteriores, por ejemplo, para evaluar MA y R.

Si no hubiera disminución de volumen, el lado derecho de la Ec.(25) podría ser igualado al derecho de la Ec.(23), usando el radio inicial R = R0, generando puntos a cada t, obteniendo BiR y DAB y, enseguida, BiL = BiRL/R y km = BiLDAB/L. Pero como hay disminución de R, son usadas las Ec.(23) y (24), con el procedimiento ya descrito y que es implementado a seguir.

En la Tabla 2 son presentados datos de disminución de dimensiones de una banana, para los ensayos de la Tabla 1. Los datos de la Tabla 2 para el inicio y el final del secado, son área superficial de una banana S, su volumen V, sus dimensiones L1 y L2, y el coeficiente adimensional de encogimiento o de disminución de volumen . Éste coeficiente está asociado con la modificación de volumen sufrida por un sólido durante la difusión de agua. Si  = 0,70 significa que su volumen al final del proceso, cuando se alcanza su humedad de equilibrio, será 30 % de su volumen inicial. Para el ensayo (4) el volumen inicial y final son, respectivamente, V0 = 57,830 cm3 y Vf = 14,869 cm3, resultando en  = 1 - Vf/V0 = 0,7429, que es similar a  = 0,7844; el promedio de la Tabla 2.

Tabla 1: Parámetros para aire y banana de los ensayos de secado (Lima, 1999; Queiroz, 1994).

Ensayo

Datos del aire

Datos de una banana

Tiempo de secado

(h)

Ta

(oC)

UR

(%)

v (m/s)

U0

(b.s)

Uf

(b.s)

Ue

(b.s)

T0

(oC)

Tf

(oC)

L20

(m)

L10

(m)

1

29,9

35,7

0,38

3,43

0,32

0,1428

19,1

29,7

0,05856

0,01613

121,85

2

39,9

19,3

0,33

3,17

0,33

0,0664

21,0

38,9

0,05878

0,01569

72,00

3

49,9

19,2

0,37

3,21

0,32

0,0579

20,3

47,1

0,05901

0,01522

40,80

4

60,2

19,9

0,36

2,96

0,25

0,0426

30,6

57,5

0,05897

0,01530

35,3

5

60,5

10,7

0,35

3,04

0,31

0,0211

23,4

57,0

0,05909

0,01506

27,80

6

68,4

7,3

0,39

2,95

0,22

0,0121

25,3

64,2

0,05890

0,01545

27,60

Tabla 2: Dimensiones de una banana en su secado y coeficiente de disminución de volumen (Lima, 1999; Queiroz, 1994).

E
n
s
a
y
o

Datos del aire

Inicio del secado

Final del secado

Ta
(oC)

UR
(%)

v (m/s)

L10
(cm)

L20
(cm)

V0
(cm3)

S0
(cm2)

L1f
(cm)

L2f
(cm)

Vf
(cm3)

Sf
(cm2)

1

29,9

35,7

0,38

1,6130

5,8562

63,822

96,099

0,8614

3,1274

9,720

27,407

0,8838

2

39,9

19,3

0,33

1,5690

5,8784

60,616

93,676

0,9457

3,5433

13,275

34,035

0,8345

3

49,9

19,2

0,37

1,5220

5,9016

57,265

91,074

0,9001

3,4903

11,846

31,856

0,8475

4

60,2

19,9

0,36

1,530

5,8977

57,830

91,518

0,9729

3,7503

14,869

37,006

0,7844

5

60,5

10,7

0,35

1,5060

5,9095

56,142

90,184

0,9481

3,7205

14,010

35,746

0,8117

6

68,4

7,3

0,39

1,5450

5,8903

58,896

92,349

0,9915

3,7800

15,565

38,032

0,7899

Se correlaciona R versus MA de la Ec.(24), usando datos para el ensayo (4) de la Tabla 2. Se obtiene de la Tabla 2, respectivamente, para el inicio y final del proceso, como primera aproximación que R0 @ L10 = 0,01530 m y Rf @ L1f = 0,009729 m. Pero como MA0 = 42,36 g, MS = 14,31 g, y en el final del secado, de la Tabla 1, Uf = 0,25 = MAf/MS, resulta en MAf = 3,58 g. Con esos valores sustituidos en la Ec.(24), la disminución de R @ L1 versus MA, para R0 = 0,01530 m, está dado por:

(26)

De las Ecs.(24) y (26), resulta en a = {0,01530 - 0,0001436(42,36)} m y b = 0,0001436 m/g. Para t0 = 0 h y MA0 = 42,36 g, de la Ec.(26) resulta R = R0 y a tf = 35,3 h, de la Ec.(25) MA = 3,27 g y de la Ec.(26) Rf = L1f = 0,009686 m; que da una desviación de -0,44 % en relación a Rf @ L1f = 0,009729 m, de la Tabla 2. Una ecuación similar a la Ec.(26) puede ser obtenida para disminución de L2, si una banana es considerada un cilindro finito. Nótese en la Ec.(26) que R disminuye debido a la disminución de MA en la fruta. Las MA de la Ec.(26) pueden ser experimentales o de una ecuación como, por ejemplo, la Ec.(25). Es decir, de MA experimentales o generadas por la Ec.(25) se estudia la disminución en R, de la Ec.(26).

El procedimiento para obtener los parámetros BiR, DAB y km, para el ensayo (4), con disminución del radio de una fruta, es:

i)      Obtener Y = (MA - MA∞)/(MA0 - MA∞) usando valores de t0 = 0 h a tf = 35,3 h, en el lado derecho de la Ec.(25); resultando en la columna (2) de la Tabla 3.

ii)    Reordenar la Ec.(25) para obtener MA versus t; obteniendo la columna (3) de la Tabla 3. El término Y es el valor calculado en la columna (2).

iii)   Sustituir las MA de la columna (3), en R de la Ec.(26); resultando en la columna (4).

iv)  Obtener X = t/R2, dividiendo la columna (1), t, por la columna (4) al cuadrado, R2; resultando en la columna (5).

v)    Correlacionar X = t/R2 versus Y = (MA - M)/(MA0 - M) de la Ec.(23), es decir, las columnas (5) y (2) de la Tabla 3, con el programa de regresión no lineal Lab Fit (Silva y Silva, 2003), usando como parámetros libres BiR y DAB, resultando en:

(27)

vi)  Del Lab Fit para la Ec.(27), presentada en la Fig.(2), se obtuvo DAB = 0,250110-5 m2/h = 6,9510-10 m2/s, R²yy(x) = 0,987, Biot en el radio BiR = 3,299 @ 3,30 y m1 = 1,833. Los parámetros DAB y BiR son presentados en las Tablas 4 y 5. El m1 es calculado de la Ec.(22) o por el término correspondiente dentro del exponencial de la Ec.(27). La DAB = 6,9510-10 m2/s difiere en -4,2 % de la DAB = 7,2510-10 m2/s de Lima (1999), para el ensayo (4) de la Tabla 5 y modelo (III), con convección y disminución de L1 y L2 de una banana, en aire a 60,2 oC y 19,9 % de humedad. En la Fig.(2) no aparecen todas las cifras decimales de la Ec.(27), porque en el Lab Fit sólo es posible escribir ecuaciones con hasta 94 cifras; por ejemplo, 2,4048 está escrito como 2,4.

vii) Usar el tiempo promedio t1/2 = (t0 + tf)/2 = 35,3 h/2 = 17,65 h, para calcular MA(t1/2) = 11,27 g y Rm(t1/2) = 0,01084 m, de las Ecs.(25) y (26), respectivamente. El radio promedio Rm es empleado como una referencia en los cálculos a continuación, para obtener BiL y km, en el inicio y final del proceso. Los valores de t1/2, MA(t1/2) y Rm(t1/2) están presentados en la Tabla 4.

viii)Dividir BiR de la Ec.(12), para cilindro infinito, por la Ec.(3), para evaluar BiL de un sólido esferoidal, si es conocido L; usando BiL = BiRL/Rm. Para el inicio del secado se obtiene para el sólido esferoidal, L0 de la Ec.(1), usando R0 @ L10 y L20 del ensayo (4) de la Tabla 2, así como BiL0, respectivamente, por las siguientes ecuaciones:

(28)

(29)

ix)  El Bi de la Ec.(29) o (3) BiL0 = 17,35 presentado en la Tabla 4, difiere en -1 % de BiL0 = 17,52 del ensayo (4) de la Tabla 5 y modelo (III). Lo mismo puede ser realizado para el final del proceso a tf = 35,3 h. De la Tabla 2 se obtiene Rf @ L1f y L2f, y se calcula Lf y BiLf, respectivamente, de las ecuaciones a continuación:

(30)


(31)

x)    Evaluar km, de la Ec.(3), para el inicio del secado, empleando DAB, L0 y BiL0, de las Ec.(27), (28) y (29), respectivamente, resultando en km0:

(32)

 

xi)  Calcular kmf para el final del proceso, con DAB, Lf y BiLf, de las Ec.(27), (30) y (31), respectivamente, resultando en:

(33)

En la Tabla 4 se presenta un resumen de los parámetros evaluados para el ensayo (4); acorde a la secuencia de cálculo (i) a (xi). El cálculo a continuación es realizado sólo para confirmar el valor de km = 22,3010-8 m/s, presentado para  el modelo (III) de la Tabla 5. El km para el ensayo (4), en el inicio del proceso, con BiL0 = 17,52, L0 = 0,05696 m y DAB = 7,2510-10 m2/s, es km0 = BiL0DAB/L = 22,3010-8 m/s. Para el final del secado, con BiLf = 11,14, Lf = 0,03622 m y DAB = 7,2510-10 m2/s, resulta en kmf = 22,3010-8 m/s. El km0 = 21,1610-8 m/s de este trabajo difiere en -5,1 % de km0 = 22,3010-8 m/s del modelo (III).

Si no fuera considerada la disminución del radio R, esto es, usando el radio inicial R0 = 0,01530 m en la Ec.(23), correlacionando X = t versus Y = (MA - M)/(MA0 - M), de las columnas (1) y (2) de la Tabla 3, para el ensayo (4), resultaría en DAB = 0,856810-5 m2/h = 23,8010-10 m2/s y BiR = 1,53. Con L0 = 0,05696 m de la Ec.(28) y R0 = 0,01530 m, se obtiene de la Ec.(29) que BiL = 5,70 y de la Ec.(32) resulta en km = 23,8010-8 m/s. La DAB = 23,8010-10 m2/s es -8 % menor que DAB = 25,8710-10 m2/s, para condición de contorno convectiva, pero sin disminución de volumen, que es denominado modelo (II); que es presentado en la Tabla 5. Las DAB = 23,8010-10 m2/s y DAB = 25,8710-10 m2/s son muy diferentes de DAB = 6,9510-10 m2/s, con disminución en R. El km = 23,8010-8 m/s evaluado en esta publicación, sin considerar disminución en R, es 12,6 % mayor que km0 = 21,1310-8 m/s con disminución en R y 39,8 % mayor que km = 17,0310-8 m/s del modelo (II).

De los resultados anteriores se concluye que para el ensayo (4), la DAB calculada en esta investigación concuerda bien con la evaluada por los modelos (II) y (III). También es buena la concordancia entre el km calculado en este trabajo y por el modelo (III), pero no lo es por el modelo (II).

Tabla 3: Parámetros de cálculo para el ensayo (4), cuando hay disminución del radio de una banana.

t(h)

Ec.(25)

Ec.(25)

R(m)

Ec.(26)

Columnas (1) y (4)

0,00

0,996

42,21

0,01528

0,000

1,00

0,923

39,15

0,01484

4541,098

2,00

0,855

36,32

0,01443

9602,049

3,00

0,792

33,69

0,01405

15187,834

4,00

0,734

31,25

0,01370

21299,284

5,00

0,680

28,98

0,01338

27933,152

6,00

0,629

26,88

0,01308

35082,263

7,00

0,583

24,94

0,01280

42735,755

8,00

0,540

23,14

0,01254

50879,372

9,00

0,499

21,46

0,01230

59495,815

10,00

0,462

19,91

0,01208

68565,132

11,00

0,428

18,48

0,01187

78065,134

12,00

0,396

17,15

0,01168

87971,820

13,00

0,367

15,91

0,01150

98259,803

14,00

0,339

14,77

0,01134

108902,729

15,00

0,314

13,71

0,01119

119873,668

16,00

0,290

12,73

0,01105

131145,481

17,00

0,269

11,82

0,01092

142691,159

18,00

0,248

10,98

0,01079

154484,110

19,00

0,230

10,20

0,01068

166498,427

20,00

0,213

9,48

0,01058

178709,094

21,00

0,197

8,82

0,01048

191092,173

22,00

0,182

8,20

0,01039

203624,933

23,00

0,168

7,63

0,01031

216285,964

24,00

0,155

7,10

0,01024

229055,240

25,00

0,144

6,61

0,01017

241914,168

26,00

0,133

6,15

0,01010

254845,597

27,00

0,123

5,73

0,01004

267833,816

28,00

0,113

5,34

0,00998

280864,530

29,00

0,105

4,99

0,00993

293924,819

30,00

0,097

4,65

0,00989

307003,083

31,00

0,089

4,35

0,00984

320088,985

32,00

0,083

4,06

0,00980

333173,380

33,00

0,076

3,80

0,00976

346248,240

34,00

0,071

3,56

0,00973

359306,581

35,00

0,065

3,33

0,00970

372342,387

35,30

0,064

3,27

0,00969

376247,945

Tabla 4: Parámetros calculados con el modelo analítico, para los ensayos (1) al (6).

E

n

s

a

y

o

DAB.1010

(m2/s)

BiR

(adim.)

L0

(m)

Lf

(m)

t1/2

(h)

MA(t1/2)

(g)

Rm(t1/2)

(m)

BiL0

(adim.)

BiLf

(adim.)

km0.108

(m/s)

kmf.108

(m/s)

1

1,35

6,62

0,05630

0,03006

60,93

13,60

0,01015

36,72

19,61

8,80

8,80

2

2,32

5,97

0,05665

0,03415

36,00

13,29

0,01078

31,38

18,91

12,86

12,86

3

4,01

4,96

0,05702

0,03372

20,40

12,69

0,01036

27,29

16,14

19,17

19,17

4

6,95

3,30

0,05696

0,03622

17,65

11,27

0,01084

17,35

11,03

21,16

21,16

5

6,71

3,91

0,05714

0,03598

13,90

12,49

0,01072

20,84

13,12

24,46

24,46

6

9,69

2,67

0,05684

0,03648

13,80

12,36

0,01118

13,57

8,71

23,15

23,15

En las Tablas 4 y 5 se presentan los principales resultados de este trabajo, para los ensayos (1) al (6), de igual manera a la desarrollada para el ensayo (4), con ecuaciones similares as las Ecs.(25) y (26), resultando en la Ec.(27); que es empleada para evaluación de parámetros. Fueron usadas ecuaciones similares al lado derecho de la Ec.(25) de MA versus t, para los otros ensayos, presentadas por Lima (1999) y reproducidas en la Tabla 6. Para el lado izquierdo de ecuaciones del tipo de la Ec.(25), fueron calculadas MA0 y M, con datos de la Tabla 1, r0 = 980 kg/m3 y el procedimiento descrito antes de dicha ecuación. Fueron obtenidas ecuaciones similares a la Ec.(26) de R versus MA, con el procedimiento descrito antes de mencionada ecuación. Un resumen de las ecuaciones básicas de cálculo para todos los ensayos, es presentado en la Tabla 6. Ellas son usadas para obtener ecuaciones como la Ec.(27) y calcular los parámetros de las Tablas 4 y 5.

Fig.2. Masa adimensional de agua en banana Y = (MA - M)/(MA0 - M) = (MA - MAinf)/(MA0 - MAinf) versus X = t/R2, para aire a 60,2 oC y disminución de R, obteniendo Biot A = BiR y B = DAB.

Tabla 5: Parámetros obtenidos de simulación por Lima (1999) y en la presente investigación.

Lima (1999)

Modelo para un sólido esferoidal

Modelo para un cilindro infinito

Ensayo

Ta

(oC)

DAB.1010

(m2/s)

km.108

(m/s)

BiL

(adim.)

a.107

(m2/s)

DAB.1010

(m2/s)

km.108

(m/s)

BiL

(adim.)

Modelo II -

Condición de contorno convectiva

1

29,9

6,02

6,10

5,78

----

----

----

 

2

39,9

6,25

10,51

9,53

----

----

----

 

3

49,9

13,27

15,43

6,63

----

----

----

 

4

60,2

25,87

17,03

3,75

----

23,83

23,83

5,70

5

60,5

25,90

19,38

4,27

----

----

----

 

6

68,4

34,28

19,76

3,28

----

----

----

 

Modelo III -

Condición de contorno convectiva + disminución de volumen

1

29,9

1,65

10,10

34,46

18,40

----

1,35

8,80

8,80

36,72

19,61

2

39,9

2,48

15,53

35,47

21,38

1,20

2,32

12,86

12,86

31,38

18,91

3

49,9

4,57

21,35

26,64

15,75

----

4,01

19,17

19,17

27,29

16,14

4

60,2

7,25

22,30

17,52

11,14

----

6,95

21,16

21,16

17,35

11,03

5

60,5

7,30

26,15

20,47

12,89

----

6,71

24,46

24,46

20,84

13,12

6

68,4

8,63

26,56

17,49

11,23

----

9,69

23,15

23,15

13,57

8,71

Modelo III* - Condición de contorno convectiva + disminución de volumen + km infinito

1

29,9

0,93

¥

----

----

----

----

 

2

39,9

1,40

¥

----

----

----

----

 

3

49,9

2,31

¥

----

----

----

----

 

4

60,2

3,08

¥

----

----

----

----

 

5

60,5

3,29

¥

----

----

----

----

 

6

68,4

3,66

¥

----

----

----

----

 

Comparando las DAB, presentados en la Tabla 4, del modelo (III) y las calculadas en este artículo por un modelo analítico, se obtiene una desviación promedio Xprom = -6,1 y desviación estándar σn-1 = 10,3 %. Comparando los km, resultan en Xprom =  -10,8y σn-1 = 4,3 y para los Bim, resultan en Xprom = -4 y σn-1 = 10,4. Por lo tanto, la concordancia entre los parámetros del presente artículo y los del modelo (III), pueden ser considerados buenos; encontrándose en el rango de las desviaciones publicadas en la literatura, para determinaciones experimentales y teóricas de parámetros de transporte.

Tabla 6: Ecuaciones básicas de cálculo con el modelo analítico de cilindro infinito.

Ensayo

Ecuaciones básicas

1

2

3

4

5

6

CONCLUSIONES

Los valores de km, DAB y BiL obtenidos del modelo presentado en este trabajo, son del mismo orden de magnitud de los calculados por Lima (1999) en su modelo (III), usando métodos numéricos.

Los parámetros km, DAB, BiR y BiL son obtenidos naturalmente del modelo desarrollado, sin necesidad de experimentos por separado para calcularlos ni de correlaciones para evaluarlos.

La disminución de volumen debe ser considerada en modelos de secado de frutas, pues se obtienen valores de km, DAB, BiR y BiL, que representan mejor el secado, en relación a los valores obtenidos con modelos de volumen constante.

REFERENCIAS

Abalone, R., A. Gastón y M.A. Lara; Simulación Numérica del Proceso de Secado de un Material Anisotrópico, Engenharia Térmica: 1, 47-55 (2001).        [ Links ]

Bird, R.B., W.E. Stewart y E.N. Lightfoot; Transport Phenomena, John Wiley, New York, USA (2002).        [ Links ]

Costa, A.R.S. y S.R. Ferreira; Sistema de Secado Solar para Frutos Tropicales, Información Tecnológica: 18(5), 49 -58 (2007).        [ Links ]

Costa, A.R.S.; Sistema de Secado Solar para Frutos Tropicales y Modelado del Secado de Banana en un Secador de Columna Estática, Tesis doctoral, UFRN - Universidad Federal de Río Grande del Norte, Natal, Brasil (2008). (En portugués y disponible en www.ufrn.br.)        [ Links ]

Crank, J.; The Mathematics of Diffusion, Clarendon Press, Oxford, England (1976).        [ Links ]

Karim, Md.A. y M.N.A. Hawlader; Drying Characteristics of Banana: Theoretical Modelling and Experimental Validation, Journal of Food Engineering: 70, 35-45 (2005a).        [ Links ]

Karim, Md.A. y M.N.A. Hawlader; Mathematical Modelling and Experimental Investigation of Tropical Fruits Drying, International Journal of Heat and Mass Transfer: 48, 4914-4925 (2005b).        [ Links ]

Kaya A., O. Aydin y I. Dincer; Experimental and Numerical Investigation of Heat and Mass Transfer During Drying of Hayward Kiwi Fruits (Actinidia Deliciosa Planch), Journal of Food Engineering: 88, 323-330 (2008).        [ Links ]

Lima, A.G.B., M.R. Queiroz y S.A. Nebra; Simultaneous Moisture Transport and Shrinkage During Drying of Solids with Ellipsoidal Configuration, Chemical Engineering Journal: 86, 85-93 (2002).        [ Links ]

Lima, A.G.B.; Fenómeno de Difusión en Sólidos Esferoidales Prolatos. Estudio de Caso: Secado de Banana, Tesis doctoral, UNICamp - Universidad Estadual de Campinas, Facultad de Ingeniería Mecánica, Campinas, Brasil (1999). (En portugués y disponible en http://libdigi.unicamp.br/; el código del trabajo es vtls000188465.)        [ Links ]

Luikov, A.V.; Analytical Heat Diffusion Theory. Academic Press, New York, USA (1968).        [ Links ]

Luikov, A.V.; Heat and Mass Transfer in Capillary Porous Bodies, Pergamon Press, New York, USA (1966).        [ Links ]

Mabrouk, S.B., B. Khiari y M. Sassi; Modelling of Heat and Mass Transfer in a Tunnel Dryer, Applied Thermal Engineering: 26, 2110-2118 (2006).        [ Links ]

Mariani, V.C., A.G.B. Lima y L.S. Coelho; Apparent Thermal Diffusivity Estimation of the Banana During Drying Using Inverse Method, Journal of Food Engineering: 85, 569-579 (2008).        [ Links ]

Pandey, R.N., S.K. Srivastava y M.D. Mikhailov; Solutions of Luikov Equations of Heat and Mass Transfer in Capillary Porous Bodies Through Matrix Calculus: a New Approach, International Journal of Heat and Mass Transfer: 42, 2649-2660 (1999).        [ Links ]

Queiroz, M.R. y S.A Nebra; Theoretical and Experimental Analysis of the Drying Kinetics of Bananas, Journal of Food Engineering: 47, 127-132 (2001).        [ Links ]

Queiroz, M.R.; Estudio Teórico-experimental de la Cinética de Secado de Bananas, Tesis doctoral, UNICamp - Universidad Estadual de Campinas, Facultad de Ingeniería Mecánica (1994). (En portugués y disponible en http://libdigi.unicamp.br/; el código del trabajo es vtls000082363.)        [ Links ]

Schwartzberg, H. G.; Mathematical Analysis of the Freezing and Thawing of Foods, AIChE Summer National Meeting, Detroit, Michigan (1981).        [ Links ]

Silva, W.P. y C.M.D.P.S., Silva; LAB Fit Ajuste de Curvas (Regresión no Lineal y Tratamiento de Datos) v.7.2.14c (2003). (En portugués y disponible en http://www.angelfire.com/rnb/labfit/index_p.htm.)        [ Links ]

Srikiatden, J. y J.S. Roberts; Predicting Moisture Profiles in Potato and Carrot During Convective Hot Air Drying Using Isothermally Measured Effective Diffusivity, Journal of Food Engineering: 84, 516-525 (2008).        [ Links ]

Teruel, B., L.A. Cortez, P. Leal y A.G.B Lima; Estudio Teórico del Enfriamiento de Frutas de Distintas Geometrías con Aire Forzado, Ciência e Tecnologia de Alimentos: 21(2), 228-235, mayo-agosto (2001). (En portugués.)        [ Links ]

Wu, Y. y J. Irudayaraj; Analysis of Heat, Mass and Pressure Transfer in Starch Based Food Systems, Journal of Food Engineering: 29, 399-414 (1996).        [ Links ]

Creative Commons License Todo el contenido de esta revista, excepto dónde está identificado, está bajo una Licencia Creative Commons