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versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. vol.25 no.1 La Serena  2014

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642014000100006 

ARTÍCULOS DESARROLLO DE UN ARREGLO CIRCULAR DE ANTENAS UTILIZANDO HERRAMIENTAS DE ELECTROMAGNETISMO COMPUTACIONAL.

DEVELOPMENT OF A CIRCULAR ANTENNA ARRAY USING COMPUTATIONAL ELECTROMAGNETICS TOOLS

 

Celia M. Calderón(1), (2), (3), Héctor M. Pérez(1) *, Alberto M. Benavides(2) y Luis J.  Morales(2).

(1) Instituto Politécnico Nacional, Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacán, Av. Santa Ana No. 1000, Col. San Francisco Culhuacán, 04430, México D.F. -México (e-mail: celiacalderon@gmail.com, hmperezm@ipn.mx*)
(2) Facultad de Ingeniería en Electrónica y  Comunicaciones, Universidad Veracruzana, Av. Venustiano Carranza s/n. Col Revolución, Poza Rica, México Ver.(e-mail: abenavides@uv.mx, lumorales@uv.mx)
(3) Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica, Universidad Veracruzana. Av. Venustiano Carranza s/n. Col Revolución, Poza Rica Ver. -México


Resumen

Se presenta el diseño de un arreglo circular de antenas con un difractor  de geometría variable colocado en su interior. La idea es disponer de una metodología para la simulación de diversos arreglos circulares de antenas para trabajar en rangos de frecuencias no  ionizantes, una limitante de los rayos X en exámenes tales como las mamografías. El arreglo es modelado utilizando herramientas del electromagnetismo computacional: 1) el  método de diferencias finitas en el dominio del tiempo, para transformar las ecuaciones diferenciales de Maxwell en ecuaciones de diferencia finita y resolverlas; 2) el método de capas perfectamente  acopladas, para establecer las condiciones de frontera de absorción del sistema; y 3) las condiciones de conductor eléctrico perfecto,  para  modelar el difractor. El algoritmo diseñado asegura que  no  existen reflexiones espurias que puedan afectar las lecturas de los sensores y el comportamiento electromagnético del sistema. Los resultados muestran que es factible emplear el arreglo de antenas propuesto para el desarrollo de un sistema de detección temprana de cáncer de mama operando con frecuencias no ionizantes

Palabras clave: arreglo circular de antenas, diferencias finitas,  capas perfectamente acopladas, electromagnetismo computacional


Abstract

The design of a circular antenna array, with a variable geometry diffracting device placed in it. The idea is to develop a methodology for the simulation of circular antenna array to work in frequency  non-ionizing ranges, a limitation of X ray exams such as those for early detection of breast cancer. The array is modeled using computational electromagnetics tools: 1) The method of finite differences in time domain, to transform Maxwell differential equations into finite difference equations to solve them. 2) the method of perfectly matched layers, to establish the absorbing boundary conditions of the system and 3) the conditions of perfect electrical conductor to model the diffracting device. The designed algorithm ensures that there are no spurious reflections which could affect the readings of the sensors and the electromagnetic behavior of the system. Results show that the proposed antenna array is suitable for the development of a system for the early detection of breast cancer working at non ionizing frequencies.

Keywords: antennas array, finite differences, perfectly matched layer, computational electromagnetics


 

INTRODUCCION

El alto índice de mortalidad por cáncer de mama en todo el  mundo  ha generado el interés de muchos investigadores para proponer la tecnología de microondas para la detección temprana de este mal. Susan Hagness pionera de esta línea de investigación, propone  emigrar al rango de frecuencias no ionizantes (Aponte et al., 2007) para la detección oportuna del cáncer de mama en mujeres menores de  40 años, ya que esta es una limitante de los rayos X del examen de mamografía, la cual opera a frecuencias  ionizantes, y debido a la radiación recibida por el cuerpo humano no es permitido realizarse en períodos  menores a  6 meses.

Primeramente se requiere diseñar un arreglo de antenas que opere a la frecuencia de microondas, por lo que en este artículo se presentan los resultados del primer arreglo de antenas que desarrollan los autores. Los tipos de arreglos que se han diseñado por diversos grupos de investigadores son arreglos de antenas planares o circulares. En la  literatura se hace referencia a los resultados de diversas investigaciones reportados para ser usados para la detección oportuna de cáncer de mama, entre ellos se encuentran: arreglos circulares de 17 antenas,  realizado por la pionera en estainvestigación (Hagness et.al., 1998; Nilavalan et al., 2003; Converse et al., 2004; Converse et al., 2006); el modelado de un sistema de 10, 15, 30 por (Fear etal., 2002); de 14 antenas presentado por (O'Halloran et al., 2010), casos de 32 antenas, fueron realizados por (Meaney et al., 2000; Fear y Stuchly 2000); de 40 antenas (Winters et al., 2008) y el de 64 antenas por (Henriksson et al., 2009).

Investigaciones referentes a casos de arreglos planares de antenas se tienen: 11 antenas de (Bassi et al.,   2012), 17 antenas usadas por (Conceicao et al., 2009) haciendo una comparación entre ambos tipos de arreglos por (Johnson et al., 2009) y de 49 antenas por (Li et al., 2004). Para investigaciones con arreglos dispuestos en forma tridimensional se tienen: 72 antenas por (Xie et al., 2006), de 40 antenas por (Shea et. al., 2010; De Lorenzo et al., 2008); arreglos tanto planares como circulares 5 X 5 (Fear etal., 2002; Conceicao et al., 2009); un estudio documentado con un arreglo de cruz que contiene solo dos antenas colocadas en forma perpendicular es el presentado por (Hagness et al., 1999), uno de antena de corneta (Amineh et al.,2011). Todas las  investigaciones mencionadas anteriormente se realizan con una aportación  como en: trabajar en el rango de frecuencias no  ionizantes.

El  interés principal al realizar esta investigación, inicia con el desarrollo de un arreglo circular  de antenas, que será utilizado posteriormente para la construcción de un prototipo que permita detectar tumores basados en las propiedades dieléctricas del tejido maligno, con respecto al tejido sano. Desde el  punto de vista electromagnético, los parámetros de conductividad y permitividad eléctrica dependen de la cantidad de agua almacenada en cada zona del tejido mamario. Se requiere sentar las bases para la implementación futura de una gran diversidadde arreglos de antenas, hasta encontrar el arreglo  óptimo para la investigación que se desea realizar.

En este artículo, los parámetros eléctricos que definen el comportamiento del tejido mamario (incluyendo  los tumores) no se abordan, ya que deseamos centrar nuestra atención en modelar el difractor  colocado en el interior del arreglo, para comprobar el buen funcionamiento del arreglo de antenas diseñado primeramente; iniciamos discretizando el área  del mismo y estableciendo las condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto, discretización que será utilizada como base en la  investigación que se desea realizar posteriormente a partir  de este  algoritmo y  aplicarlos al modelado de los tumores.

Referente a las herramientas del electromagnetismo computacional, se utiliza primeramente el  Método de Diferencias Finitas en el Dominio del tiempo (FDTD), con la finalidad de transformar las ecuacionesdiferenciales de Maxwell y transformarlas en ecuaciones de diferencia finita, resolviendo algebraicamente las ecuaciones electromagnéticas del sistema dividiendo la región de cálculo en celdas pequeñas uniformes (celdas de Yee). Posteriormente se requiere limitar la propagación infinita de la onda electromagnética alimentada por la antena transmisora (Tx) mediante las Condiciones de Frontera de Absorción, el Método utilizado es el de Capas  Perfectamente  Acopladas  (PML). Por último se hace uso de la condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto, determinando las ecuaciones del Campo  Eléctrico y  Magnético  para modelar el  difractor  en el  interior  del arreglo de antenas.

En este arreglo de antenas  se designa  como transmisora la primera  de las 16 antenas (Tx1) y las 15 restantes como antenas receptoras (sensores o probes: P1 a P15), posteriormente se considera la segunda antena (Tx2) como transmisora y las  otras 15 restantes como receptoras, así susesivamente hasta realizar un barrido en todo  el sistema, desde la antena transmisora Tx1 hasta la Tx16, la localización de cada antena debe ser considerada en el algoritmo de programación así también como el intercambio de la posición de las antenas receptoras respectivamente (P1 a P15). La señal de  alimentación es un pulso Gaussiano diferenciado con frecuencia central de operación de 7.5 GHZ ya que se requiere que trabaje en el rango de frecuencias  no ionizantes. Se analizan particularmente tres casos de estudio, ya que se modela el difractor condiferentes formas geométricas (cuadrado, circular y elíptico) en el interior del arreglo de antenas, específicamente en el centro, mediante la implementación de las condiciones de conductor eléctrico perfecto.

Al resolver las ecuaciones de  Maxwell mediante las herramientas del electromagnetismo computacional utilizadas se realizan las lecturas de los sensores obteniendo: 1) los valores de Campo Eléctrico y Campo  Magnético medidos en los sensores o probes; 2) la Potencia Reflejada por el difractor, esto se  logra calculando la  potencia del sistema sin difractor (Potencia Incidente), posteriormente calculando  la potencia del sistema con difractor (Potencia Total), siendo la diferencia entre estas dos potencias, la Potencia  Reflejada por el difractor. El algoritmo diseñado se programa en MatLab® (Elsherbeni y Demir, 2009) utilizándolo también como  interfaz gráfica.

SISTEMA PROPUESTO

El sistema propuesto se detalla a continuación exponiendo cada etapa del proceso considerada en el algoritmo diseñado. Las herramientas del Electromagnetismo Computacional que permiten diseñar la región de cálculo en donde se simula el arreglo de antenas con el difractor en su interior son:

Método de Diferencias Finitas en el Dominio del tiempo (FDTD)

Durante los pasados 25 años el Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD, por sus siglas en inglés) (Taflove y Hagness, 2005; Yu et al., 2006) es una de las herramientas del electromagnetismo computacional que se utiliza para resolver las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo. El método debe su existencia al poder de la simplicidad que proporciona, por  lo que es considerado uno de los más sencillos, donde se transforman las ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones de diferencia finita, que son aproximaciones de forma algebraica y relacionan el valor de la variable dependiente en un punto en la región de solución a los valores en algunos puntos cercanos.

Los valores que representan este caso de estudio se muestran en la Figura.1, donde se muestra la región de cálculo que consiste en 1300 x 1300 celdas de Yee, en los ejes X y Y, respectivamente, siendo un total 1'690,000 celdas.

Fig. 1:  Representación de la región de cálculo

 Método de Capas  Perfectamente Acopladas (PML)

Las condiciones de frontera de absorción se utilizan para truncar la propagación infinita de una  onda electromagnética, de tal forma que  al  llegar a  la frontera de la  región de cálculo la  onda propagada sufra una atenuación  hasta ser completamente "absorbida", el método más utilizado es el Método de Capas Perfectamente Acopladas PML (por sus siglas en inglés), (Berenger, 1994; Sullivan, 2000; Benavides et al., 2009). Actualmente se cuenta con una modificación de este método, propuesto por (Benavides et al., 2010) como una versión modificada del  PML y es el que se utiliza en el  presente trabajo ya que proporciona la reducción de las ecuaciones que se utilizan para la  implementación del  método propuesto.

Partiendo del conjunto de ecuaciones de  Maxwell que representan las condiciones para la simulación del sistema tipo  Transversal Magnético y Bidimensional (Benavides et al., 2011) utilizado en este artículo son:

(1)
(2)
(3)

Donde E es la intensidad de Campo  Eléctrico (V/m), es la intensidad de Campo Magnético (A/m), es la permeabilidad del espacio libre (H/m), denota la permitividad del espacio libre (F/m), es la conductividad eléctrica (S/m), denota la pérdida magnética equivalente ( /m) y es la densidad de corriente eléctrica (A/m2). Seguidamente, para la implementación de las ecuaciones PML, la componente transversal se descompone en sus proyecciones X y Y, por lo que la componente Hz = Hzx + Hzy, la  conductividad  se indica precisamente a la  dirección de propagación. La densidad de corriente se elimina, ya que no existen cargas libres en el medio PML. Por lo que se obtiene el conjunto de cuatro ecuaciones PML siguientes :

(4)
(5)
(6)
(7)

 Las ecuaciones que definen este sistema e implementadas en el algoritmo, son considerando las condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto, en donde el Campo Eléctrico tangencial y el Campo Magnético normal  a la  superficie  del conductor deben ser  igual a cero son:

(8)
(9)
(10)
(11)

En  la Figura.2 se muestra la sección del diagrama de flujo general para calcular las componentes de Campo Eléctrico y Magnético, requeridos para poder calcular la  Potencia Reflejada por el dieléctrico, en los puntos donde son colocados los sensores del sistema.

 

Fig. 2: Diagrama de Flujo del método FDTD

Se considera que el Campo Total es igual al Campo Incidente más el Campo Reflejado, por tanto se calcula los valores  de Campo Reflejado mediante la diferencia del Campo Total menos el Campo Incidente, ya que son el interés particular del presente trabajo, esto se obtiene mediante la adecuación de las ecuaciones anteriores para cada tipo de campo en particular, es decir tanto  para el Campo Eléctrico, Magnético y la Potencia, mostrado a continuación:

Componentes de Campo Eléctrico Reflejado:

(12)
(13)

Seguidamente, las componentes de Campo  Magnético Total, Incidente y Reflejado están dados por:

(14)
(15)
(16)

 Así la componente de la  Potencia Total está dada por:

(17)
(18)

 De los resultados anteriores, la Potencia Total-Total, estará dada por:

(19)

Componentes de la Potencia Incidente:

(20)
(21)

 Seguidamente la Potencia Total Incidente y las componentes de la Potencia Reflejada están dados por:

(22)
(23)
(24)

 Potencia Total Reflejada:

(25)

Todos los valores de Potencia con unidades en Watts. El sistema propuesto trabaja con los parámetros siguientes:

(26)
(27)
(28)

Donde es la longitud de onda (m), es la frecuencia de operación (GHz), c0 es la velocidad de la  luz (m/s),  es el lado de la celda de Yee (m), el escalón temporal (seg) y T es el periodo definido por: 

(29)

Arreglo Circular de 16 Antena

Se dispone un arreglo de antenas monopolo, colocadas en forma circular con un diámetro de 20cm equivalente a 400 celdas de Yee, la región total incluyendo el  PML  es de 1300 celdas, la separación entre las antenas es de 22.5º, el difractor está colocado en el centro con coordenadas I=650, J=650, con un diámetro de 20 celdas, se prueban tres formas geométricas: cuadrado, circular y elíptico. La antena transmisora Tx1, es un monopolo (Allen et al., 2007) que alimenta un pulso gaussiano con frecuencia de operación de 7.5 GHz, esta se coloca en las celdas I=650, J=450; las 15 antenas receptoras se consideran como los sensores del sistema (probes P1 al P15). En la  Figura.3, se muestra el sistema  para el caso de un difractor  cuadrado.

Fig. 3:  Arreglo circular de antenas con difractor cuadrado en su interior.

Posteriormente, se considera la antena Tx2 como antena transmisora y las restantes como antenas receptoras (sensores o probes desde P1 a P15), así  sucesivamente, considerando la rotación de las antenas Txi siendo i=1 a i=16, ya que el sistema trabaja haciendo un barrido en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Se requiere diseñar 16 plantillas de ubicación de Tx y de los probes P1 al P15 para cada caso, como se muestra en la Tabla.1.

Tabla 1: Plantillas de ubicación para  el Arreglo de las 16 Antenas

En la Tabla.2, se muestran las coordenadas de ubicación para formar el arreglo de  antenas, con una variación de la posición de la antena transmisora Txi (i=1,..16), las celdas de Yee correspondientes se representan en function de I y J.

Tabla 2:   Coordenadas de ubicación de las Antenas Tx  (Celdas de Yee)

Condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto

Se utilizan estas condiciones para el modelado de cada uno de los difractores, en donde el Campo Eléctrico tangencial y el Campo Magnético transversal son iguales a cero. La discretización para el caso del difractor cuadrado se  muestra en la Figura.4 de acuerdo a sus coordenadas de ubicación.

Fig. 4:   Zona de Discretización para el difractor cuadrado.

Las condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto específicas para el difractor cuadrado en función de la  Figura.4 se presentan en  la  Tabla.3, estas son  incluidas en  el algoritmo del sistema. Para el difractor circular se procede de forma semejante para establecerlas condiciones PEC, representadas en la Figura.5.

Tabla 3: Condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto (PEC) para el difractor cuadrado.

 


Fig. 5:  Arreglo circular de antenas con difractor circular en su interior.

La diferencia con respecto al caso del difractor cuadrado radica en que para modelar el dieléctrico circular la discretización se realiza asignando áreas de formas geométricas que formen el círculo, las 13 zonas consideradas para este caso se representan en la Figura.6.

 

Fig. 6:  Zonas de Discretización para el difractor circular. 

Ahora bien, para cada una de las 13 zonas discretizadas se establecen las condiciones PEC, como se muestra en la Tabla.4. El tercer caso de estudio es el difractor elíptico, mostrado en la Figura.7.

Fig. 7:  Arreglo circular de antenas con difractor elíptico en su interior. 

Tabla 4:  Zonas de Discretización y condiciones PEC para el difractor circular.

La discretización de este difractor elíptico se representa en la Fig.8, en donde se pueden apreciar 11 zonas diferentes, la Tabla.5 muestra las condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto para cada una de las zonas. 

Fig. 8: Zonas de Discretización para el difractor elíptico

Tabla 5: Zonas de Discretización y condiciones PEC para el difractor elíptico.

RESULTADOSEXPERIMENTALES

Se comprueba la robustez del algoritmo de dos diferentes maneras, una de ellas es verificar que no existen reflexiones espurias en la región PML tal como se muestra en la  Figura.9, en donde la propagación de la onda electromagnética aborda la periferia de la región de cálculo sin presentarse reflexiones, es decir, que logra ser debidamente atenuada por la capa PML, esto garantiza que las lecturas de los sensores sean correctas.

Fig. 9: Campo electromagnético atenuado en la periferia de la región PML.

De acuerdo a los resultados se obtienen los valores de la componente de Campo Eléctrico en un total de 2500 iteraciones para cada uno de los 3 casos de estudio, notándose como la propagación de este campo incide sobre el difractor y continúa su recorrido hasta llegar a la periferia de la región de cálculo.

En las Figuras.10, 11 y 12, se muestran estos valores para n=1150 y n=1350 para difractor circular, cuadrado y elíptico respectivamente.

Fig. 10: Campo Eléctrico con difractor circular, a la izquierda n=1150, a la derecha n=1350

Fig. 11: Campo Eléctrico con difractor cuadrado, a la izquierda n=1150, a la derecha n=1350

Fig. 12: Campo Eléctrico con difractor circular, a la izquierda n=1150, a la derecha n=1350

La Potencia  Reflejada se obtiene en cada uno de los 15 sensores, para el caso del dieléctrico cuadrado, se logra determinar que existe simetría entre los probes P1 y P15, P2 y P14, P3 y P13,P4 y P12, P5 y P11, P6 y P10, P7 y P9, que corresponde a los resultados esperados, algunos de estos resultados se muestran en  la Figura.13, en donde se presenta la comparación de la Potencia  Reflejada obtenida en los sensores a) P1y P15, b) P3 y P13 y c) P7 y P9. La simetría en las lecturas de Potencia Reflejada, es la segunda forma en que podemos validar  la robustez del algoritmo de la simulación, ya que tanto la forma de onda y los valores obtenidos son exactamente los mismos, tal como se esperaba.

Fig.13: Representación de valores de Potencia Reflejada (watts) obtenidos en puntos equidistantes del sistema, con respecto al espacio temporal.

CONCLUSIONES

Se ha realizado la simulación de un arreglo circular de 16 antenas, con una  Antena de Transmisión (Tx1 a Tx16) y 15 Antenas Receptoras (Rx) que funcionan como sensores o probes (P1 a P15), colocadas a 22.5º de distancia entre ellas. Se presentan tres casos de estudio de acuerdo a la geometría del difractor colocado en el interior de la región de cálculo: forma circular, cuadrada y elíptica. Se hace uso de herramientas de electromagnetismo computacional como son los métodos de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo, Condiciones de Frontera de Absorción y condiciones de Conductor Eléctrico Perfecto, para la simulación adecuada del sistema. Se comprueba la robustez del algoritmo al poder comprobar que no existen reflexiones espurias en la periferia de la región PML, así mismo que existe simetría en puntos equidistantes a la ubicación de la antena de transmisión donde se logra obtener valores de Potencia Reflejada y del Campo Eléctrico del sistema y por lo tanto, el algoritmo ya puede ser utilizado para la simulación de diversos arreglos circulares de antenas, como base del proyecto de investigación enfocado a la detección oportuna de cáncer de mama, como ha sido sugerido por varios autores mencionados en la Introducción de este artículo.

 

 NOTAS

 * Autor a quien debe dirigirse la correspondencia.

 

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Recibido May. 28, 2013; Aceptado Jul. 17, 2013; Versión final recibida Ago. 12, 2013