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versão On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. vol.28 no.6 La Serena  2017

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642017000600019 

 

Proyecciones Paramétricas para el Escape de Aristas en Poliedros de Forma Ax ≤ b

 

Parametric Projections to Escape from Edges in Polyhedrons of the Type Ax ≤ b

 

Oscar Y. Buitrago(1,2)*, Andrés L. Ramírez(1) y Rodrigo A. Britto(3)

(1)    Facultad de Ingeniería, Universidad Militar Nueva Granada, Carrera 11 No. 1Q1-8Q, Bogotá, Colombia.

(2)    Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo, Avenida Universidad, Bárbula, Valencia, Venezuela.

(3)    Facultad de Administración, Universidad de Los Andes, Carrera 1 N0 18A- 12 Bogotá, Colombia (e-mail: oscar.buitrago@unimilitar.edu.co; andres1729@yahoo.com; ro-britt@uniandes.edu.co)

* Autor a quien debe dirigirse la correspondencia


Resumen

El objetivo de este trabajo es proponer un procedimiento para la creación de vectores de escape diseñados específicamente para realizar proyecciones ortogonales desde las aristas de poliedros Ax ≤ b hacia el interior de los mismos. El procedimiento propuesto puede ser implementado en algoritmos de punto interior para la optimización de problemas de programación lineal, pues en los mismos se emplean diversas estrategias para evitar llegar hasta la frontera de los poliedros. Para esto se desarrolló un procedimiento de proyección hacia el interior del poliedro desde tres situaciones y se probó con un ejemplo en contexto. Los resultados muestran que la proyección realizada en la iteración en que se aplica el escape no solo permite salir de un punto subóptimo sino que también mantuvo el último valor de la función objetivo. Por lo tanto, se puede concluir que no es necesario evitar la frontera del poliedro o ajustar valores de paso como ocurre en otras aplicaciones.

Palabras clave: vector de escape; poliedro; optimización; proyecciones ortogonales; algoritmo de punto interior


Abstract

The aim of this paper is to propose a procedure to create escape vectors specifically developed to perform an orthogonal projection from an Ax ≤ b type polyhedron’s edge tn its interinr. The prnpnsed prncedure can be implemented in interior-point methods for solving linear programming problems since in these methods various strategies are used to avoid reaching the borders of the polyhedron. A projection procedure was develnped tn the pnlyhedrnn’s interinr starting frnm three scenarins and it was used nn a cnntext case demonstrating its applicability. The results show that the projection carried out in the iteration in which the escape is done not only allows abandoning from a suboptimal solution but it also kept the same objective function value. Therefore, it can be concluded that interior-point methods do not need to avoid the frontier or to adjust values, as it occurs in other applications.

Keywords: escape vector; polyhedron; optimization; orthogonal projections; interior-point method


 

INTRODUCCIÓN

El cómo realizar proyecciones desde la frontera de un poliedro Ax ≤ b hacia el interior del mismo pareciera ser un problema con solución trivial. Sin embargo, hacer este tipo de movimientos resulta complicado especialmente cuando se parte de aristas o puntos extremos. Una implicación inmediata se da en métodos de punto interior para solucionar problemas de programación lineal (PL), pues en ellos el acercarse a la frontera del poliedro puede hacer que la siguiente solución de prueba quede acorralada ( Winston ,2004) o que se realicen búsquedas lineales unidimensionales (Mehrotra, 1992). Por ello se han propuesto diversos métodos para evitar aproximaciones a los límites del poliedro, tales como los de escalado afín de Dikin (1967) y de Todd (1991), y el de barrera logarítmica (Eiselt y Sandblom, 2007).

Recientemente estudios de solución y aplicación de PL o MIP (por las siglas en ingles de mixed-integer programming) inclueyen; la expansión de redes de transmisión eléctrica (Tejada et al., 2014), la selección de portafolios dados una rentabilidad y riesgo (Guastaroba et al., 2014), la optimización de sistemas de energía residenciales (Lauinger et al., 2016), la minimización de tiempo y costo de transporte de mercancías desde diferentes orígenes a diferentes destinos con diferentes medios de transporte (Baidya et al., 2016), la solución del problema de reconstrucción de árboles generadores mínimos (Fortz et al., 2017) y la optimización del manejo de especies invasivas (Kıbış y Büyüktahtakın, 2017). Otro aspecto que refuerza la importancia de proponer escapes de las fronteras de los poliedros definidos por las restricciones de los problemas PL, es que aun cuando el método de solución más famoso es el Simplex (Dantzig, 1951) que se mueve sobre los bordes del poliedro, existen muchos algoritmos que transitan por el interior del mismo y que teóricamente lo aventajan por su complejidad computacional (Powell, 1993). Entre estos se cuentan el elipsoidal (Khachiyan, 1982) y su variante proyectiva (Karmarkar, 1984).

La búsqueda de métodos de solución para algoritmos de punto interior (que son a los que se les puede incorporar la estrategia de escape propuesta) continúa, y se han encontrado propuestas recientes como las de Mehendale (2015) y la de Berti et al (2017). Además, las aplicaciones de este tipo de algoritmos no se limitan a problemas PL. Por ejemplo, Klintberg y Gros (2016) recurren a uno para enfrentar problemas de control óptimo en procesos industriales, Wu et al (2016) utilizan un algoritmo de punto interior para optimización del flujo de energía eléctrica, Touil et al (2017) proponen un algoritmo primal-dual (de punto interior) para solucionar problemas de programación semidefinida. Finalmente, Dattaa et al (2017) incorporan un procedimiento de punto interior para solucionar problemas de optimización multiobjetivo en regiones no convexas.

En este trabajo se propone una forma para volver al interior de poliedros de la forma Ax ≤ b desde las proximidades de las fronteras. Aunque pueda tener otras aplicaciones, una muy importante es que abre las puertas al desarrollo de nuevos algoritmos de solución de problemas PL o a modificaciones a los ya existentes, puesto que se elimina la restricción de no acercarse a la frontera. Específicamente, para escapar de la frontera se plantea el diseño de proyecciones paramétricas sobre hiperplanos perpendiculares al vector gradiente del problema PL. De esta forma se mantiene el valor de la función objetivo correspondiente al punto desde el que se aplica el escape. Si la propuesta se incorpora a un algoritmo iterativo se obtiene un nuevo punto interior (que no reduce el valor de la función objetivo alcanzado hasta el momento) para la continuación de las iteraciones en busca de la solución óptima.

Con respecto a la estructura del artículo, en primer lugar se muestra el problema que se busca solucionar. Después se describe la propuesta para escapar de puntos de frontera (correspondiente a puntos de convergencia no óptima en algoritmos de punto interior) y la forma de cálculo de los que se denominan vectores de escape. Posteriormente, se realizan las correspondientes demostraciones sobre el método de escape propuesto y para hacer una ilustración de cómo funciona, se formula un problema PL al que se le aplica el método de proyecciones ortogonales paramétricas de Ramírez et al., (2012) (en realidad se puede elegir cualquier procedimiento que llegue a la frontera), haciendo que converja a una arista (no óptima) para desde allí implementar el vector de escape. Finalmente se presentan las correspondientes conclusiones.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Inicialmente hay que solucionar el problema de cómo realizar una proyección desde la frontera de un poliedro Ax ≤ b hacia el interior del mismo. Sin embargo, encontrar una respuesta a esta cuestión no es suficiente porque al momento de implementar esta estrategia en un algoritmo de solución de problemas PL se requiere que el valor de la función objetivo logrado no disminuya. Es decir, no es deseable que un algoritmo de solución pueda retroceder.

Puesto que una aplicación que resulta evidente para implementar la estrategia de escape de puntos de frontera en poliedros es incorporarla a algoritmos de punto interior, se toma uno de ellos para definir términos asociados a problemas PL y proyecciones y a la vez ilustrar el problema de llegar a la frontera del poliedro y no escapar de allí. Para este propósito, se hace una breve descripción del método de proyecciones ortogonales paramétricas (Ramírez et al., 2012). En ella se define un problema de programación lineal como max(min) z = dx, sujeto a: Ax ≤ b; x ≥ 0, donde d es el vector de los n coeficientes de la función objetivo, A [mxn] la matriz de coeficientes de las m restricciones, x el vector que contiene las n variables del problema, b el vector de los lados derechos de las m restricciones y 0 un vector compuesto por n ceros. En su propuesta de proyecciones paramétricas ortogonales, los autores reescriben el PL como se indica en (1).

   (1)

Cada vector fila de A se denomina fi, de esta forma la i-ésima restricción se puede definir como se expresa en (2).

  (2)

El lado izquierdo de la desigualdad mostrada en    la    expresión (2) es el termino πi de la    inecuación presentada en la región factible del problema    de    optimización definido    en (1) y representa el correspondiente lado izquierdo de la i-ésima restricción.

El algoritmo de proyecciones paramétricas tiene dos    etapas: inicialización y ciclo    iterativo. En la    primera se construyen n-1 vectores ortogonales al gradiente    de    la función objetivo, d,    y se definen    n-1 rectas paramétricas a partir de un punto interior inicial. Proyectando para cada recta, tanto en sentido positivo como negativo, se encuentran las 2(n-1) intersecciones con las caras del poliedro y se calcula un centroide C para desde allí proyectar d.

El ciclo iterativo consiste en (i) realizar proyecciones ortogonales al vector gradiente desde el punto interior C, (ii) determinar las intersecciones de las proyecciones sobre cada una de las caras del poliedro y (iii) calcular un nuevo centroide Ci,más cercano al óptimo que su predecesor. Desde Ci se vuelve a proyectar d hasta la cara más cercana del poliedro. Desde esta intersección se realiza una proyección ortogonal hasta otra cara del poliedro y se calcula el nuevo centroide con estos puntos. La iteración de este procedimiento debe permitir acercarse tanto como se quiera al punto óptimo.

El problema con este tipo de procedimientos es que se puede converger a un punto no óptimo ubicado en las aristas del poliedro. La propuesta para salir de este tipo de puntos y lograr la convergencia a la solución óptima es calcular para cada restricción un vector de escape ortogonal al gradiente, que como consecuencia mantenga constante el valor de la función objetivo que se ha logrado y, por supuesto, que apunte al interior de la región factible.

PROPUESTA DE VECTORES DE ESCAPE

Cada uno de los hiperplanos fix = bi que limitan la región factible tiene como vector ortogonal a fi. En general, estos vectores no son perpendiculares al gradiente. Sin embargo, una característica deseable en un "vector de escape" (definiendo así a uno que permita proyectar desde un punto de frontera hacia el interior del poliedro) es que sus proyecciones mantengan el valor de la función objetivo constante e igual al que tenga el punto del que se está escapando.

Se propone definir como vector de escape de la i-ésima restricción la diferencia entre el correspondiente vector ortogonal normalizado y la proyección del mismo sobre el gradiente normalizado (los vectores d y fi normalizados se simbolizan con el supra índice n). Conceptualmente el vector de escape para la i-ésima cara (i-ésimo hiperplano soporte del poliedro o i-ésima restricción tomada como igualdad) se presenta en (3).

  (3)

La dirección del vector de escape conceptualizado en (3) es perpendicular al gradiente y por lo tanto permite proyectar desde la frontera hacia el interior del poliedro con la ventaja de no disminuir el valor de la función objetivo. Así, algebraicamente el vector de escape para el i-ésimo hiperplano está dado por (4).

(4)

Al proyectar los vectores de escape, el orden de magnitud de la norma no incide en el resultado del punto encontrado sobre la cara más cercana, sino que simplemente cambia el valor del parámetro de proyección. No obstante, para hacer operaciones entre ellos (e.g. sumas) el valor de la norma sí es importante. Por ello, para combinarlos y obtener una dirección que permita volver al interior desde aristas del poliedro, los vectores de escape deben estar normalizados.

Estrategia de escape

Para estructurar el procedimiento de escape se consideraron tres situaciones de acuerdo con la ubicación de puntos en la frontera del poliedro Ax ≤ b (n variables y m restricciones): (i) sobre un único hiperplano, (ii) sobre la intersección de dos hiperplanos y (iii) sobre la intersección de más de dos hiperplanos.

Desde puntos ubicados sobre un hiperplano

Retornar al interior del poliedro desde un punto P' que pertenece solamente a uno de los hiperplanos que definen la región factible es sencillo. Basta con proyectar el vector de escape del hiperplano en cuestión, de acuerdo con la ecuación (4), hasta que se encuentre con un hiperplano diferente para tener un punto R. El punto medio o cualquier combinación lineal convexa entre P' y R proporciona un punto interior.

Desde puntos ubicados sobre la intersección de dos hiperplanos

Para proyectarse al interior del poliedro desde un punto P' que se localiza en la intersección de dos hiperplanos se deben identificar los mismos. Luego, con la ecuación (4) calcular los dos respectivos vectores de escape, normalizarlos y hacer la suma vectorial. Finalmente, el vector resultante debe ser normalizado para obtener el vector de escape W.

Desde puntos ubicados sobre la intersección de más de dos hiperplanos

Cuando el punto de frontera P' del que es necesario escapar se encuentra localizado sobre la intersección de más de dos hiperplanos, es necesario:

1.    Definir el conjunto H cuyos elementos son los subíndices de los hiperplanos πh = bh sobre cuya intersección se encuentra ubicado el punto P'. De esta forma se elabora una lista L conformada por un subconjunto, cuyo cardinal es menor o igual a m, del conjunto formado por el total de los hiperplanos asociados a las restricciones del poliedro.

2.    Obtener los vectores de escape normalizados de los hiperplanos pertenecientes a L según la ecuación (4).

3.    Regresar un cambio porcentual sobre la proyección que llevó a P' para de esta forma obtener un punto interior Po ubicado a menos de δ unidades de los hiperplanos pertenecientes a L.

4. Proyectar Po + t*E1 hasta la cara fk usando el primer vector de escape de la lista L. Si el punto Q1 resultante incide sobre una sola cara, hacer Q1 + t*Ek. Si incide sobre dos caras, proyectar desde Q1 la combinación de los dos vectores de escape correspondientes. Si incide sobre más de dos caras, anidar el procedimiento descrito.

5.    Continuar el procedimiento hasta incidir en un punto R sobre un hiperplano (cara del poliedro) que no pertenezca a L.

6.    Calcular el vector que va de Po a R y normalizarlo para obtener el vector de escape W.

Demostración: Sea H el conjunto de subíndices h de los hiperplanos πh = bh cuya intersección contiene el punto de frontera P' y sea Po un punto interior a menos de õ unidades (medidas perpendicularmente al gradiente) de los hiperplanos πh = bh, h ∈ H. Se mostrará que el algoritmo no puede converger a un punto Q que pertenezca a algún nh.

Suponga que el algoritmo converge a Q. Esto significa que dado un ε > 0, existe N ∈ IN, tal que si n > N entonces d(Po, Q) < ε. Considere las esferas SQ y SPn centradas en P' y con radios  respectivamente. Entonces todos los puntos Pm con m > n deben estar afuera de SPn y dentro de SQ, pues la sucesión de distancias ІІP´PnІІ es estrictamente creciente.

Sea πn el hiperplano tangente a SPn en el punto Pn. El vector que va de Pn a Pn+1 está contenido en πn y πnnSQ no debe ser encontrada este vector antes que el hiperplano en que se encuentra Pn+1. Pero a medida que y por lo tanto Pn+1 está fuera de SQ. Entonces por contradicción, el algoritmo de escape no puede converger a un punto O que pertenezca a algún(os) πn = bh, h ∈ H. Por lo tanto el algoritmo de escape encontrará finalmente otro hiperplano y el vector que une a P' con el punto hallado sobre el nuevo hiperplano es un vector de escape. La Figura 1 permite interpretar geométricamente la demostración.

Fig. 1: Estrategia general de escape.

Ejemplo de aplicación

Se diseñó el problema de programación lineal (5) con el propósito específico de que el algoritmo de proyecciones ortogonales converja a una arista. En el caso del problema de PL (5), el poliedro definido por la región factible tiene cinco aristas, cada una conformada por la intersección de dos hiperplanos, tal y como se puede apreciar en la Figura 2.

 (5)

La solución óptima de (5) se encuentra en [0 O 20] y cuya función objetivo tiene un valor de 200. Partiendo desde el punto interior P0 = [1 5 1] con z = 16, el algoritmo converge al punto de frontera Pf = [0 6.19 13.81] con z = 144.29 y que se encuentra ubicado sobre la arista conformada por las restricciones 7x1 + x2 + x3 = 20 y x1 = 0. En la Figura 2 se muestra la secuencia de puntos con que el algoritmo de proyecciones ortogonales lleva del punto inicial P0 al punto no óptimo de convergencia Pf. Alcanzar el punto óptimo del problema (5) implica salir de Pf y continuar iterando, escapando tantas veces como sea necesario de aristas o de puntos de frontera. Aplicando (4) se calculan los vectores de escape, Ei, para las caras que forman la arista en la que se encuentra Pf. En (6) se muestra el resultado obtenido para el vector de escape normalizado, E1, correspondiente al hiperplano 7x1 + x2 + x3 = 20.

(6)

El vector de escape normalizado, E2, para el hiperplano x1= 0 se presenta en la expresión (7).

(7)

Los vectores de escape E1 e E2, dados por (6) y (7) respectivamente, se muestran en la Figura 2. Cada uno de ellos se apunta al interior del poliedro desde puntos en la respectiva cara para la que se generaron y que no estén sobre una arista, cara impropia o punto extremo. En contrapartida, las proyecciones de E1 e E2 salen del poliedro en aristas y, por lo tanto, estos dos vectores (normalizados) se deben combinar para obtener una dirección dirigida al interior. La combinación de estos vectores es el vector combinado de la Figura 2 y cuyas coordenadas son [0.0646 -0.9936 0.0929].

Fig. 2: Escape de un punto sobre una arista en la frontera del poliedro.

Proyectando el vector combinado desde Pf se llega al punto escapado de la Figura 2, que se ubica sobre otra cara del poliedro. La combinación lineal convexa entre el punto escapado [0,4034 0 14,381] y Pf también está en el interior del poliedro. La Figura 3 presenta una ampliación para mostrar que el regreso al interior desde un punto de frontera ubicado en un único hiperplano, se hace con el respectivo vector de escape. El punto escapado se promedia con Pf para tener el centroide Cm [0,2017 3,0952 14,0950], que es un punto interior del poliedro con un valor z igual al de Pf y al del punto escapado.

Desde Cm se proyecta d para llegar a P2f [0,2793 3,1728 14,8716], cuyo valor objetivo es 152.16 y está sobre el hiperplano 7x1 + x2 + x3 = 20. Para retornar al interior, se proyecta el vector de escape E1, dado por (6), llegando a P2Escapado [0 3,1391 14,9029]. Se calcula el centroide C2m (punto medio entre Pf2 y Pe2) y proyecta nuevamente d. El resultado de esta proyección es P3f [0,1946 3,2109 15,4363] con z = 158.

Fig. 3: Escape de un punto de frontera ubicado sobre un hiperplano

DISCUSION

La revisión de la literatura muestra que realizar proyecciones hasta la frontera del poliedro Ax ≤ b es una acción que se evita en los algoritmos de punto interior porque limita el avance del proceso o precipita convergencias a puntos no óptimos. La propuesta presentada permite obtener vectores de escape desde puntos de frontera, como se demostró, y por ello se abre la posibilidad de diseñar algoritmos en los que no sea necesario tomar previsiones para evitar acercarse a la frontera. La otra alternativa es incorporar la estrategia de escape a algoritmos ya existentes.

Para ilustrar con un ejemplo el funcionamiento de los vectores de escape, es suficiente con definir un poliedro y localizarse en un punto sobre su frontera. Sin embargo, para contextualizar el cómo puede darse una situación en que se llegue a un punto de frontera en un poliedro Ax ≤ b, se tomó el algoritmo de proyecciones ortogonales paramétricas (Ramírez, et al, 2012) e intencionalmente se le hizo converger a un punto no óptimo, sin embargo pudo haberse elegido cualquier método de punto interior pues el propósito no es mostrar el funcionamiento del mismo sino presentar un ejemplo con contexto.

Una característica importante de los vectores de escape diseñados y que se pone de manifiesto en el ejemplo, es que estos mantienen el valor de la función objetivo logrado hasta el momento. Este hecho es importante si se piensa en una aplicación en algoritmos de punto interior porque si se hace la combinación lineal convexa (por simplicidad puede ser el punto medio, pero dependerá del diseño del algoritmo) entre el punto desde el que se escapa y el punto al que se escapó, se dispone de un nuevo punto interior para continuar con el proceso iterativo sin reducir el valor de la función objetivo.

CONCLUSIONES

Se puede concluir que se diseñó un procedimiento general para proyectarse hacia el interior de un poliedro Ax < b desde puntos ubicados en su frontera. La estrategia de escape se subdividió en tres situaciones: (i) puntos ubicados sobre un único hiperplano, (ii) sobre la intersección de dos hiperplanos y (iii) sobre la intersección de más de dos hiperplanos. Puesto que se deben hacer sumas entre vectores y a que las magnitudes de los mismos pueden ser bastante disimiles, se concluye que estas operaciones se deben realizar con vectores normalizados. Finalmente, se presentaron las correspondientes demostraciones y un ejemplo para mostrar que la incorporación de la estrategia en algoritmos de tipo proyectivo permite que estos escapen de falsas convergencias, proporcionándoles un nuevo punto interior a partir del cual continuar iterando.

Finalmente, teniendo a disposición vectores y una estrategia de escape, no es necesario evitar la frontera del poliedro o ajustar valores de paso como ocurre en otras aplicaciones, por ejemplo en el algoritmo primal dual de punto interior (Mehrotra, 1992).

AGRADECIMIENTOS

Este estudio es producto derivado del proyecto de investigación INV-ING-2105 financiado por la Vicerrectoría de Investigaciones de la Universidad Militar Nueva Granada (Colombia), vigencia 2016.

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Recibido Mar. 16, 2017; Aceptado May. 22, 2017; Versión final Jul. 14, 2017, Publicado Dic. 2017

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