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versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. vol.29 no.5 La Serena oct. 2018

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642018000500003 

Artículos Varios

Identificación Algebraica de Parámetros Asistida por Observadores GPI para un Helicóptero de Dos Grados de Libertad

Algebraic Parameter Identification Assisted by GPI Observers for a Helicopter with Two Degrees of Freedom

Harvey D. Rojas1  2 

Herbert E. Rojas3 

John A. Cortés4 

1Universidad Manuela Beltrán, Programa de Ingeniería Electrónica. Avenida circunvalar Nº 60-00, Bogotá D.C., Colombia, (e-mail: harvey.rojas@docentes.umb.edu.co).

2Servicio Nacional de Aprendizaje SENA, Centro de electricidad, electrónica y telecomunicaciones, Av. Carrera 30 # 17B-25-Sur, Bogotá D.C., Colombia, (e-mail: davidrc@misena.edu.co).

3Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Proyecto Curricular de Ingeniería Eléctrica, Grupo GCEM-UD, Cra 7 # 40-53, piso 5, Bogotá D.C., Colombia. (e-mail: herojasc@udistrital.edu.co).

4Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería, Depto. de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Av. Carrera 30 No. 45-03 Edif. 453 Of. 222, Bogotá D.C., Colombia. (e-mail: jacortesr@unal.edu.co).

Resumen

Este artículo propone una alternativa para la estimación de parámetros de un helicóptero de dos grados de libertad que opera bajo control de lazo cerrado. Como principal contribución se plantea una variante de la metodología algebraica de identificación, la cual involucra el uso de observadores proporcional integral generalizados (GPI). Estos observadores están encargados de proveer la estimación de las derivadas de las salidas del sistema para su computo directo en los casos donde existen operaciones no lineales de difícil manipulación analítica. Inicialmente, se establece un identificador algebraico para cada ecuación no-lineal del sistema a fin de estimar los parámetros de interés. Posteriormente, para la selección de los parámetros estimados se adopta el criterio de la integral del cuadrado del error y el correspondiente índice de error. Finalmente, se presentan resultados experimentales que permiten validar la estrategia de identificación utilizada y los parámetros estimados con respecto al modelo asumido.

Palabras clave: estimación de parámetros; identificación algebraica; identificación en lazo cerrado; observadores GPI; helicóptero 2-DOF

Abstract

This paper proposes an alternative for parameter estimation of a helicopter with two degrees of freedom that operates under closed loop control. The main contribution of this work is a variant of the algebraic identification methodology, which involves the use of generalized proportional integral observers (GPI). These observers are responsible for providing the estimation of the time-derivatives of the system outputs for their direct computation in the cases where there are non-linear operations with difficult analytical manipulation. Initially, in order to estimate the parameters of interest, an algebraic identifier for each non-linear equation of the system is proposed. Subsequently, for the selection of the estimated parameters the criterion of integral squared error and the corresponding error index are adopted. Finally, experimental results that allow validating the identification strategy and the estimated parameters with respect to the model assumed are presented.

Keywords: parameter estimation; algebraic identification; closed loop identification; GPI observers; 2-DOF helicopter

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de los parámetros asociados a los modelos de sistemas industriales, se ha convertido en un reto fundamental en diferentes campos de la ingeniería, tales como el diseño de sistemas de control de alto desempeño (García-Rodríguez et al., 2009), el diagnostico automatizado de equipos (Flores y Asiaín, 2011) y la planeación y ejecución de acciones de mantenimiento (Campuzano-Martínez, 2016), entre otros. Lo anterior, ha incentivado el desarrollo de numerosos métodos de identificación/estimación con aplicación a sistemas lineales y no-lineales, tales como: las técnicas basadas en predicción de error para sistemas lineales (Nelles, 2013), los métodos probabilísticos para el modelamiento de procesos (Kodamana et al., 2018), el uso de aproximaciones lineales para el modelamiento de sistemas no lineales (Schoukens y Tiels, 2017) y la identificación basados en datos de sistemas no lineales complejos (Wang et al., 2016;), entre otros.

Una alternativa desarrollada en los últimos años que ha demostrado una gran rapidez y robustez en la estimación de parámetros y estados, es la basada en métodos algebraicos (Sira-Ramírez et al., 2014a). La metodología de identificación algebraica de parámetros fue introducida por Fliess y Sira-Ramírez (2003), como un método basado en cálculo operacional (para el caso lineal) y consideraciones en el dominio del tiempo. Este método permite obtener los parámetros desconocidos del sistema, mediante un conjunto de ecuaciones lineales variantes en el tiempo, las cuales son independientes de las condiciones iniciales y de las perturbaciones estructuradas (Fliess y Sira-Ramírez, 2003). Adicionalmente, esta técnica no es asintótica en su naturaleza y no requiere un conocimiento estadístico del ruido que afecta las mediciones realizadas sobre el sistema, aspecto que resulta muy atractivo a la hora de la implementación (Fliess et al., 2008).

Los métodos algebraicos han sido probados en múltiples aplicaciones del ámbito académico e industrial. En un primer nivel, estos métodos han mostrado resultados exitosos en el tratamiento de señales sinusoidales para la identificación de modos de vibración en estructuras flexibles (San-Millan y Feliu, 2015), la estimación de contenido armónico en sistemas eléctricos de potencia (Beltrán-Carbajal et al., 2018) y el filtrado de señales afectadas por la presencia de ruido (Morales et al., 2016). En segundo nivel, han sido incorporados en diferentes esquemas de control permitiendo la estimación algebraica de estados y derivadas para aplicaciones de control de movimiento (Menhour et al., 2014), la tolerancia a fallos en sistemas de levitación magnética (Kiltz et al, 2014) y procesos industriales (Martínez-Guerra et al., 2017) y el control de sistemas mecatrónicos basado en el rechazo activo de perturbaciones estimadas algebraicamente (Cortés-Romero et al., 2017). En tercer nivel, los métodos algebraicos han sido utilizados en la estimación de parámetros de sistemas dinámicos lineales y no lineales, demostrando ser útiles en la caracterización de servo-mecanismos (Garrido y Concha, 2013; Miranda‐Colorado y Moreno‐Valenzuela, 2017), el control de robots (Becedas et al., 2009; Pereira et al., 2013), el control de sistemas mecánicos (García-Rodríguez et al., 2009; Beltrán‐Carbajal y Silva‐Navarro, 2013), el control de convertidores electrónicos de potencia (Linares et al., 2014; Bougrine et al., 2017) y el control de máquinas eléctricas (Delpoux y Floquet, 2015).

Un aspecto distintivo de la metodología algebraica para la estimación de parámetros, es el uso de manipulaciones algebraicas del modelo matemático del sistema. Esto incluye, en general, la derivación analítica de las ecuaciones, la multiplicación por potencias del tiempo y el uso de integraciones iteradas en el dominio del tiempo (Fliess et al., 2008). Estos procedimientos se realizan a fin de eliminar el efecto de las perturbaciones estructuradas y las condiciones iniciales y obtener ecuaciones libres de derivadas explicitas, donde las expresiones resultantes se pueden organizar en términos de ecuaciones lineales en los parámetros Ahora bien, en los casos donde existen operaciones no-lineales directas entre las variables de estado y las derivadas de las salidas del sistema, la complejidad en el desarrollo analítico aumenta, aspecto que puede llegar a dificultar su implementación práctica (Sira-Ramírez et al., 2014a). Una alternativa para enfrentar dicho problema es el uso de sistemas que proveen la estimación de las señales de difícil manipulación desde la perspectiva algebraica, tales como los observadores proporcional integral generalizados (GPI). Las características y aplicaciones de este tipo de observadores han sido documentadas en múltiples trabajos que abordan problemas como el control de señales periódicas (Cortés-Romero, et al., 2014), control de convertidores electrónicos de potencia (Zurita-Bustamante et al., 2011), sincronización de circuitos caóticos (Luviano-Juarez et al., 2010), control de máquinas eléctricas (Sira-Ramírez et al., 2014b) y aplicaciones de tolerancia a fallos (Cortés-Romero et al., 2013), entre otros.

Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo presenta una variante de la metodología algebraica para la estimación de parámetros e involucra el uso de observadores GPI con dos propósitos: (1) el diseño del controlador que garantice la estabilidad del sistema bajo un enfoque de rechazo activo de perturbaciones; y (2) la estimación de las derivadas de algunas señales, reduciendo así la complejidad en las manipulaciones algebraicas del modelo del sistema y facilitando la implementación final de los identificadores. Para validar el esquema de identificación propuesto se considera, como caso de estudio, el problema de estimación simultánea de un conjunto de ocho parámetros asociados al modelo no-lineal de un helicóptero de dos grados de libertad (2-DOF). Asimismo, se adoptan el criterio de la integral del cuadrado del error y el correspondiente índice de error, con el propósito de evaluar el grado de ajuste de los parámetros estimados al modelo del sistema. Finalmente, se presentan los resultados experimentales que validan el esquema de identificación propuesto.

MODELO MATEMÁTICO DEL HELICÓPTERO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD

Para determinar los parámetros del primer grupo se posicionó una masa conocida en el lado contrario de la nariz del helicóptero de manera que, al variar su ubicación con respecto al pivote, se consiga desplazar el centro de masa del sistema para diferentes ángulos de inclinación medidos. Posteriormente, se desarrolló una ecuación de balance de par alrededor de eje de Pitch (en condiciones de equilibrio y sin voltajes aplicados a los motores), lo cual permite obtener los parámetros asociados a la posición del centro de masa del helicóptero mediante un análisis trigonométrico simple. En la Tabla 1 se presentan los valores de los parámetros generales del helicóptero 2-DOF.

Tabla 1: Parámetros generales del helicóptero 2-DOF 

CONTROL LINEAL BASADO EN OBSERVADORES GPI DEL HELICÓPTERO 2-DOF

En esta sección se presenta el diseño del controlador que garantiza la estabilidad del sistema, permitiendo así realizar las pruebas en lazo cerrado. Esto permitirá validar posteriormente la propuesta de identificación.

Representación simplificada y desacoplada del sistema

Control lineal basado en observador GPI para el eje de Pitch

Control lineal basado en observador GPI para el eje de Yaw

Teniendo en cuenta los resultados de la sección anterior, en este apartado se planea un controlador para el eje de Yaw. Para ello, se asume un modelo interno de la perturbación generalizada tal que d 2 𝜉 𝜓 (𝑡) 𝑑𝑡 2 =0 . Esta condición se plantea de acuerdo a la variación que se espera tenga la perturbación generalizada, la cual incluye los efectos del acople con el otro eje. De esta forma, y asumiendo el error de estimación como 𝜖 𝜓 𝑡 =𝜓 𝑡 − 𝜓 𝑡 , se propone el siguiente observador GPI para la estimación de la función de perturbación generalizada y las derivadas de la salida plana en el subsistema desacoplado del eje de Yaw:

IDENTIFICACIÓN ALGEBRAICA DE PARÁMETROS EN EL HELICÓPTERO 2-DOF

En esta sección se presenta una propuesta para la estimación de parámetros del helicóptero 2-DOF usando la metodología algebraica en el dominio del tiempo. Esta técnica de identificación se basa en el uso de manipulaciones algebraicas del modelo matemático del sistema usando tres pasos fundamentales: (i) la derivación en el dominio del tiempo de las ecuaciones, a fin de eliminar perturbaciones estructuradas (en los casos en que sea necesario); (ii) la multiplicación por potencias del tiempo y la realización de integraciones iteradas, a fin de eliminar las condiciones iniciales y obtener ecuaciones libres de derivadas explicitas; y (iii) la organización de las expresiones resultantes en términos de ecuaciones lineales en los parámetros (Sira-Ramírez et al., 2014a).

Como elemento novedoso, en este trabajo se incorpora el uso de los observadores GPI presentados en la sección anterior, con el fin de proveer una estimación de las derivadas de las salidas del sistema para su cálculo directo. Esto es importante en los casos donde existen operaciones no-lineales de difícil manipulación analítica desde la perspectiva del método algebraico clásico. Teniendo en cuenta estas consideraciones, durante el resto de esta sección se asume la siguiente notación simplificada para la integración iterativa en el dominio del tiempo:

Identificación de parámetros asociados al eje Pitch

Tabla 2: Parámetros asociados a la ecuación de movimiento de Pitch 

Donde:

De esta forma, una representación vectorial de la ecuación (24) será:

Identificación de parámetros asociados al eje Yaw

Donde:

De esta manera, después de emplear los resultados obtenidos en el apartado anterior, se obtiene la siguiente solución para el vector de parámetros estimados en el eje de Yaw:

Finalmente, en la Tabla 3 se presentan las definiciones de los parámetros asociados a las ecuaciones (29) y (30).

Tabla 3: Parámetros asociados a la ecuación de movimiento de Yaw 

Criterios para la selección de parámetros estimados

Con el propósito de evaluar el grado de ajuste de los parámetros estimados al modelo del helicóptero 2-DOF, en este trabajo se adoptó el criterio de la integral del cuadrado del error y el correspondiente índice de error. Este índice y el análisis de la sensibilidad a la variación de los parámetros fueron discutidos y analizados por Chiasson (2005) en la identificación de parámetros de máquinas eléctricas a través de la metodología de mínimos cuadrados. Por otra parte, Sira-Ramírez et al. (2014a) adoptó esta metodología dentro de un esquema de identificación en línea usando métodos algebraicos. En la Tabla 4 se resumen los criterios adoptados para la selección de los parámetros estimados en relación con los elementos definidos en las ecuaciones (26) y (29).

Tabla 4: Parámetros asociados a la ecuación de movimiento de Yaw 

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Resultados de la identificación de parámetros

Tabla 5: Características generales de las pruebas 

Fig .1: Índice de error relativo (fila 1) e índices de sensibilidad (filas 2 y 3) en el eje Pitch 

Fig 2: Identificación algebraica de los parámetros estimados en el eje Pitch 

Fig 3: Índice de error relativo (fila 1) e índices de sensibilidad (filas 2 y 3) en el eje Yaw 

Fig. 4: Identificación algebraica de los parámetros estimados en el eje Yaw 

Validación de los parámetros obtenidos durante la estimación

Fig. 5: Validación del modelo comparando simulaciones (línea azul) y mediciones reales (línea roja). fila 1: ángulos -- fila 2: voltajes aplicados a los motores -- fila 3: perturbaciones generalizadas estimadas 

En la Figura 5 también es posible apreciar que los voltajes aplicados (fila 2) y las perturbaciones generalizadas (fila 3) tienen algunas componentes de alta frecuencia (oscilaciones rápidas), las cuales se deben a las ganancias de los observadores GPI. Finalmente, dada la similitud observada entre los valores medios obtenidos en las simulaciones y las mediciones reales (para los voltajes aplicados y las perturbaciones generalizadas), es posible concluir que el modelo obtenido con parámetros únicos puede ser usado en aplicaciones generales con fines de control y diagnóstico. No obstante, para aplicaciones que demanden mayores desempeños, será necesario incorporar todo el esquema de identificación a fin de obtener parámetros variantes en el tiempo.

Para analizar con mayor nivel de detalle los resultados presentados en la Figura 5, en cada caso, se calculó la diferencia (error) entre las señales reales y las señales obtenidas a partir de la simulación. Asimismo, con el fin de reducir el efecto de las componentes de alta frecuencia en las señales, se procesaron los errores calculados con ayuda de un filtro pasa bajos de primer orden y un ancho de banda de 10 rad/s. En la Figura 6 se muestran los resultados de esta comparación y los errores obtenidos para las posiciones angulares, los voltajes aplicados a los motores y las perturbaciones generalizadas estimadas.

Fig. 6: Errores de validación (diferencia entre mediciones reales y simulaciones) para el modelo de estimación Error (línea azul) - Referencia en el punto cero (roja punteada) 

En la Figura 6 se puede apreciar (para todos los casos) que los errores de mayor magnitud se presentan al iniciar la prueba, es decir, en el tiempo comprendido entre 0 y 20 segundos. Esto se debe a que el modelo con parámetros únicos no se ajusta con la misma precisión al comportamiento real del sistema en todas sus regiones de trabajo, especialmente en la zona de arranque del sistema. No obstante, superado el arranque, los errores se reducen considerablemente y mantienen valores medios cercanos a cero.

Otro aspecto a resaltar de los resultados presentados en la Figura 6, es que los errores de las señales correspondientes al eje de Yaw (columna de la derecha) son, en general, de mayor magnitud que los obtenidos en el eje de Pitch. Este comportamiento permite inferir que el modelo identificado para la inclinación (eje de Pitch), en comparación con su contraparte para la rotación (eje de Yaw), predice con mayor precisión el comportamiento real del sistema. Esta condición puede obedecer, por un lado, a la presencia de elementos no modelados en la dinámica que describe el movimiento en el eje de Yaw (ecuación 2) y, por otro lado, a características propias del experimento como el condicionamiento numérico y la persistencia de la excitación en dicho eje.

CONCLUSIONES

En este artículo se propuso una alternativa para la estimación simultánea de un conjunto de ocho parámetros asociados al modelo no-lineal de un helicóptero de dos grados de libertad (2-DOF) que opera bajo control de lazo cerrado. La principal contribución de este trabajo radica en la presentación de una variante de la metodología algebraica para la estimación de parámetros, la cual involucra el uso de observadores proporcional integral generalizados (GPI). Estos observadores son los encargados de proveer una estimación de las derivadas de las salidas del sistema, para su cómputo directo, en los casos donde existen operaciones no-lineales de difícil manipulación analítica desde la perspectiva del método algebraico clásico.

Con el propósito de evaluar el grado de ajuste de los parámetros estimados al modelo del helicóptero 2-DOF, se adoptó el criterio de la integral del cuadrado del error y los correspondientes índices de error y de sensibilidad. Estos indicadores mostraron que los parámetros estimados con mayor precisión fueron los asociados a la relación de voltaje a par en los motores, en comparación con los coeficientes de fricción viscosa y el término asociado a la fricción de Coulomb.

El modelo que incluye los parámetros estimados fue validado por medio de simulaciones y realizando una comparación con mediciones reales. Esta comparación permitió establecer que existe un mejor ajuste en las variables asociadas al eje de Pitch (inclinación). Sin embargo, los resultados obtenidos para el modelo en conjunto son aceptables y habilitan el uso de los parámetros estimados para diferentes aplicaciones de diagnóstico y control.

AGRADECIMIENTOS

Los autores quieren extender su agradecimiento al Centro de Electricidad, Electrónica y Telecomunicaciones del SENA y al Sistema de Investigación, Desarrollo tecnológico e Innovación del SENA (SENNOVA) quienes financiaron la publicación de este trabajo.

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Recibido: 12 de Diciembre de 2017; Aprobado: 06 de Marzo de 2018

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