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Ingeniare. Revista chilena de ingeniería

versión On-line ISSN 0718-3305

Ingeniare. Rev. chil. ing. v.17 n.2 Arica ago. 2009

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-33052009000200007 

Ingeniare. Revista chilena de ingeniería, vol. 17 Nº 2, 2009, pp. 182-194

 

SOLUCIÓN COMPUTACIONAL DE MODELOS BIOLÓGICOS DE FORMACIÓN DE PATRONES ESPACIO-TEMPORALES

COMPUTATIONAL SOLUTION OF BIOLOGICAL MODELS OF SPATIAL-TEMPORAL PATTERN FORMATION

Juan C. Vanegas A.1                   Nancy S. Landinez P.1                            Diego A. Garzón A.2

 

1 Maestría en Ingeniería Biomédica. Grupo de Modelado Matemático y Métodos Numéricos (GNUM). Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia. Edificio 407, oficina 103A. E-mail: jcvanegasa@ieee.org
2 Profesor Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica. Grupo de Modelado Matemático y Métodos Numéricos (GNUM). Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia. Edificio 407, oficina 103A. E-mail: dagarzona@unal.edu.co


RESUMEN 

Diversos modelos matemáticos han sido utilizados para describir patrones espaciales y temporales presentes en la naturaleza, como la pigmentación de la piel de algunos peces y  las rayas del tigre. Estos modelos matemáticos pueden ser implementados mediante diversas técnicas numéricas entre las que se destacan el método de diferencias finitas, los elementos finitos y los métodos espectrales. En este artículo se describe un método de implementación por elementos finitos de un modelo de dos morfogénesis, un modelo de formación de patrones y un modelo de movimiento celular. Los resultados obtenidos son comparables con los reportados en otros trabajos usando el método de las diferencias finitas. Se concluye que la técnica utilizada es válida para implementar este tipo de problemas y se espera sea de utilidad en la formulación e implementación de modelos matemáticos biológicos complejos de crecimiento y desarrollo celular y tisular.

Palabras clave: Reacción-difusión, modelos biológicos, método de elementos finitos, métodos numéricos, biología matemática. 


ABSTRACT  

Several mathematical models have been used to describe spatial-temporal patterns present in nature such as the skin pigmentation of some fishes and the tiger striped pattern. These mathematical models can be implemented using a wide set of numerical methods among which the finite differences method, the finite elements method and spectral methods are commonly used. In this work, a finite element method is described for the solution of two morphogenesis models, a pattern-formation model and a cell-movement model. The results obtained are similar to those reported by other authors using different numerical approaches. This fact proves the technique to be suitable in the solution of these models and supports our expectations for its use in the solution of complex biological models of growth and cell and tissue development.

Keywords: Reaction-diffusion, biological models, finite elements method, numerical methods, mathematical biology.


AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Dirección de Investigación de la Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá por el apoyo económico a los proyectos de investigación en posgrado. Este trabajo hace parte del proyecto de investigación 202010011460 financiado con recursos de la convocatoria DIB Programas de Posgrado 2008 de la Universidad Nacional de Colombia.

 

REFERENCIAS

[1] A. Madzvamuse, A.J. Wathen and P.K. Maini. "A moving grid finite element method applied to a model biological patter generator". Journal of Computational Physics. Vol. 190, pp. 478-500. 2003.         [ Links ]

[2] D.A. Garzón. "Simulación de procesos de reacción-difusión: aplicación a la morfogénesis del tejido óseo". Tesis para optar al grado de doctor. Zaragoza, España. 2007.        [ Links ]

[3] P.K. Maini. "Mathematical models in morphogenesis". En: Mathematics Inspired by Biology. Springer Berlin- Heidelberg, pp. 151-189. 1999.        [ Links ]

[4] P.K. Maini. "Using mathematical models to help understand biological pattern formation". Comptes Rendus Biologies. Vol. 327, pp. 225-234. 2004.        [ Links ]

[5] A.M. Turing. "The chemical basis of morphogenesis". Philos. Trans. Roy. Soc. Vol. 237, pp. 37-72. 1952.        [ Links ]

[6] K. Page, P.K. Maini and N.A.M. Monk. "Pattern formation in spatially heterogeneous Turing reaction diffusion models". Physics D. Vol. 181, pp. 80-101. 2003.        [ Links ]

[7] J.D. Murray. "Mathematical Biology II: Spatial models and biomedical applications". Springer-Verlag, pp. 405-509. 1993.        [ Links ]

[8] K.J. Painter. "Chemotaxis as a mechanism for morphogenesis". Thesis to obtain degree of doctor. Oxford University. United Kingdom. 1997.        [ Links ]

[9] J.C. Vanegas A., N.S. Landinez P. y D.A. Garzón-Alvarado. "Análisis de la inestabilidad de Turing en modelos biológicos". Revista DYNA. Vol. 76 N° 158, pp. 123-134. Junio 2009.        [ Links ]

[10] Z.C. Wang, W.T. Li and S. Ruan. "Travelling wave fronts in reaction-diffusion systems with spatio-temporal delays". J. Differential Equations. Vol. 222, pp. 185-232. 2006.        [ Links ]

[11] P.K. Maini. "Spatial pattern formation in chemical and biological systems". J. Chem. Soc., Faraday Trans. Vol. 93 Nº 20, pp. 3601-3610. 1997.        [ Links ]

[12] H. Meinhardt. "Models of biological pattern formation", pp. 17-19. Academic Press. London. 1982.        [ Links ]

[13] J.M. García-Aznar, J.H. Kuiper, M.J. Gómez-Benito, M. Doblaré and J. Richardson.  "Computational simulation of fracture healing: Influence of interfragmentary movement on the callus growth". Journal of Biomechanics. Vol. 40 Nº 7, pp. 1467-1476. 2007.        [ Links ]

[14] S. Sick, S. Reinker, J. Timmer and T. Schlake. "WNT and DKK determine hair follicle spacing through a reaction-diffusion mechanism". Science. Vol. 314, pp. 1447-1450. 2006.        [ Links ]

[15] A. Madzvamuse, A.J. Wathen and P.K. Maini. "A moving grid finite element method applied to a model biological patter generator". Journal of Computational Physics. Vol. 190, pp. 478-500. 2003.        [ Links ]

[16] J.D. Murray and G.F. Oster.  "Cell traction models for generation pattern and form in morphogenesis". Journal of Mathematical Biology. Vol. 19, pp. 265-279. 1984.        [ Links ]

[17] A. Madzvamuse. "A numerical approach to the study of spatial pattern formation". Thesis to obtain the degree of doctor. Computing Laboratory. University of Oxford. Oxford, UK.  2000.        [ Links ]

[18] D. Ambard and P. Swider. "A predictive mechano-biological model of the bone implant healing". European Journal of Mechanics A/Solids. Vol. 25, pp. 927-937. 2006.        [ Links ]

[19] T.R. Chandrupatla and A.D. Belegundu. "Introduction to finite elements in engineering". Prentice-Hall, London,  pp. 46-100. 1999.        [ Links ]

[20] S. Rao. "The finite element method in engineering". Elsevier Science and Technology Books, pp. 1- 155. 2004.        [ Links ]

[21] E. Oñate, J. Miquel and F. Zárate. "Stabilized solution of the multidimensional advection – diffusion – absorption equation using linear finite elements". Computers and Fluids. Vol. 36, pp. 92-112. 2007.         [ Links ]

[22] E. Oñate. "Cálculo de estructuras por el Método de los Elementos Finitos". CIMNE. España, pp. 1-99. 1992.        [ Links ]

[23] P. Moreo, J.M. García-Aznar and M. Doblaré. "Bone ingrowth on the surface of endosseous implants. Part 1: Mathematical model". J. Theor. Biol. In Press. 2008.        [ Links ]

Recibido 21 de diciembre de 2007, aceptado 16 de junio de 2009

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