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Formación universitaria

On-line version ISSN 0718-5006

Form. Univ. vol.12 no.6 La Serena Dec. 2019

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-50062019000600041 

ARTICULOS

Evaluación del Entendimiento Gráfico de Derivada e Integral Definida mediante un Examen en Castellano de Opción Múltiple

Evaluation of Graphical Understanding of Derivatives and Definite Integral using a Multiple-Choice Test in Spanish

Angeles Dominguez1  2 

Pablo Barniol1 

Genaro Zavala1  2 

1() Tecnologico de Monterrey, Monterrey, México. (e-mail: angeles.dominguez@tec.mx; pablo.barniol@tec.mx; genaro.zavala@tec.mx)

2() Universidad Andres Bello, Antonio Varas 880, Providencia, Santiago, Chile.

Resumen:

Se presenta un examen de opción múltiple que evalúa la interpretación del concepto de derivada como pendiente y del concepto de integral definida como área bajo la curva en el contexto del cálculo. Se muestra también que el examen es un instrumento de evaluación confiable, y se presenta un análisis cuantitativo del entendimiento de estudiantes en los conceptos evaluados en el examen. El examen consta de 16 preguntas de opción múltiple, está escrito en castellano y surge de una versión previamente validada para cinemática en el idioma inglés. El examen se aplicó a 140 estudiantes del primer año de ingeniería de una universidad mexicana. El examen cumple con las pruebas estadísticas de confiabilidad y de poder discriminatorio. Se observó que los participantes mostraron serias dificultades en la interpretación gráfica de los conceptos. Se concluye que los diversos análisis realizados, las recomendaciones y el examen pueden ser empleados con confianza por profesores e investigadores de ingeniería y ciencias en países hispanohablantes.

Palabras clave: derivada; integral definida; pendiente; área bajo la curva; interpretación gráfica

Abstract:

The paper presents a multiple-choice exam that evaluates the graphic interpretation of the concept of derivative as slope and of the concept of definite integral as area under the curve. It also shows that the exam is a reliable evaluation instrument, and a quantitative analysis of the students' understanding of the concepts evaluated in the exam is done. The instrument consists of 16 multiple-choice questions, written in Spanish and it comes from a previously validated English version for kinematics. The exam was applied to 140 freshman engineering students at a Mexican university. The exam complies with the reliability statistical tests and has discriminatory power. It was observed that the participants have serious difficulties in the graphical understanding of the concepts. It is concluded that the various analyzes carried out, the given recommendations and the exam can be used with confidence by professors and researchers of engineering and sciences in Spanish-speaking countries.

Keywords: derivative; definite integral; slope; area under the curve; graphical interpretation

INTRODUCCIÓN

Los exámenes con opciones múltiples son valorados en el área de la educación de la ingeniería y de las ciencias, ya que son útiles para evaluar el aprendizaje conceptual de una población grande de estudiantes y el análisis estadístico de los datos recabados permite una mayor generalización de los hallazgos (Beichner, 1994; Redish, 1999). Estos exámenes deben cumplir con un proceso de diseño adecuado (Beichner, 1994) y con pruebas estadísticas de confiabilidad y poder discriminatorio (Ding et al., 2006). Se han diseñado varios de estos exámenes en el área de la educación de las matemáticas (por ejemplo: Carlson et al., 2010; Epstein, 2013) y de la física (por ejemplo: Beichner, 1994; Hestenes et al., 1992; Maloney et al., 2000).La comprensión de diversos conceptos utilizados en las ingenierías y las ciencias requiere que los estudiantes entiendan conceptos fundamentales del cálculo, tales como: función, su primera derivada y su segunda derivada, así como de sus representaciones y relaciones gráficas. Por ejemplo, una comprensión completa de los conceptos de cinemática requiere que los estudiantes tengan una comprensión adecuada de las gráficas de posición (función), velocidad (primera derivada) y aceleración (segunda derivada). Para esto, es importante que los estudiantes puedan comprender, en el contexto de cinemática, el concepto de derivada como pendiente en las relaciones entre la posición y la velocidad, y entre la velocidad y la aceleración. Del mismo modo, es importante que los estudiantes puedan comprender el concepto de antiderivada como el área bajo la curva en las relaciones entre la aceleración y el cambio de velocidad, y entre la velocidad y el cambio de posición. En los últimos años, varios investigadores del área de la enseñanza de la matemática y de las ciencias han estudiado el entendimiento gráfico por parte de estudiantes universitarios del concepto de derivada como pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (Deniz y Kabael, 2017; Dolores-Flores, Rivera-López y García-García, 2019; Leinhardt et al., 1990; McDermott et al., 1987; Woolnough, 2000), del concepto de integral definida como área bajo la curva para un cierto intervalo (Bajracharya et al., 2012; Nguyen y Rebello, 2011), y de ambos conceptos (Beichner, 1994; Christensen y Thompson, 2012; Epstein, 2013; Susac et al., 2018). Sin embargo, en esta línea de investigación, se detectó que existía una necesidad de contar con un examen en castellano que evaluara el entendimiento conceptual en el contexto específico del cálculo y que haya sido construido siguiendo las recomendaciones de diseño del área de la educación de las ciencias (Beichner, 1994; Ding et al., 2006; Zavala et al., 2017).

Dominguez et al. (2017) publicaron el examen “Test of Understanding Graphs in Calculus” (TUG-C) en el lenguaje inglés con opciones múltiples que cubría esta necesidad. En este artículo se presenta y analiza de manera detallada la versión del examen TUG-C (por sus siglas en inglés) en castellano a partir de la versión traducida del inglés para cinemática (Zavala et al., 2017). Un ejemplo de la reescritura de un ítem del contexto de cinemática al contexto del cálculo se muestra en la figura 1. Nótese que en la gráfica se mantiene la escala pero se cambian los nombres de las variables en congruencia con el contexto. De la misma manera, en el texto del problema se cambian las variables y las unidades para adaptarse al contexto. Es importante mencionar que los conceptos de derivada e integral definida tienen otras configuraciones epistémicas que sintetizan un aspecto parcial de los conceptos (Wilhelmi, Godino y Lacasta, 2007), además de la tratada en este trabajo (Contreras, et al., 2010; Gordillo et al., 2017). Sin embargo, este trabajo se centra en configuraciones epistémicas geométricas, pendiente y área bajo la curva, de estos dos conceptos, derivada e integral definida respectivamente, que se han usado extensivamente en libros de texto y por otros autores en sus trabajos de investigación (Bajracharya et al., 2012; Beichner, 1994; Christensen y Thompson, 2012; Epstein, 2013; Leinhardt et al., 1990; McDermott et al., 1987; Nguyen y Rebello, 2011; Woolnough, 2000).

Los tres objetivos del presente artículo son: (1) presentar el examen en castellano y su proceso de diseño, (2) mostrar que es un instrumento de evaluación confiable con poder discriminatorio adecuado siguiendo el análisis recomendado por Ding et al. (2006), y (3) presentar un análisis cuantitativo del entendimiento en cada uno de los conceptos evaluados en el examen de 140 estudiantes de cursos introductorios de matemática y física de una universidad privada mexicana. La originalidad del presente artículo radica en dos puntos. El primer punto se centra en la relevancia de realizar un análisis del examen en su versión en castellano. Varios investigadores, como Lindell y Ding (2013), han señalado la importancia de analizar la confiablidad de los instrumentos de evaluación al realizar cambios en los enunciados, que está directamente relacionado con el cambio de contexto, así como cambios en el idioma en estos instrumentos. En el presente artículo se da a conocer y se analiza por primera vez la confiabilidad del examen TUG-C en su versión en castellano. El segundo punto se centra en los análisis y las recomendaciones que pueden servir a investigadores del área de la enseñanza de la ingeniería y de las ciencias, y a profesores que enseñen estos conceptos en cursos de matemáticas, física, o alguna área relacionada en países hispanohablantes. Es importante mencionar que la versión final del examen se comparte en el anexo y, como se verá en la sección de metodología, fue diseñada a partir del análisis de varias versiones preliminares.

Varios estudios han analizado el entendimiento de los estudiantes del concepto derivada como pendiente en el contexto de la física: la mayoría de estos utilizando el contexto de la cinemática (Beichner, 1994; Ivanjek et al., 2016; McDermott et al., 1987; Planinic, Ivanjek y Susac, 2013; Planinic et al., 2012), pero algunos de estos utilizando otros contextos (Ivanjek et al., 2016; Planinic, Ivanjek y Susac, 2013; Woolnough, 2000). También varios estudios han analizado este entendimiento en el contexto de las matemáticas (Christensen y Thompson, 2012; Epstein, 2013; Hadjidemetriou y Williams, 2002; Ivanjek et al., 2016; Leinhardt et al., 1990; Planinic, Ivanjek y Susac, 2013; Planinic et al., 2012). En esta subsección nos centramos en los dos estudios que presentan una clasificación general de las dificultades de los estudiantes en el entendimiento gráfico del concepto de derivada como pendiente (Beichner, 1994; Leinhardt et al., 1990). Estos dos estudios clasifican las dificultades de los estudiantes en tres categorías: (1) confusiones de intervalo/punto, en las cuales los estudiantes se enfocan en un solo punto en vez de en un intervalo; (2) confusiones de pendiente/altura en las que los estudiantes interpretan de manera inadecuada la altura del gráfico con la pendiente; y (3) confusiones icónicas, en las que los estudiantes interpretan incorrectamente los gráficos como figuras o imágenes (Beichner, 1994; Leinhardt et al., 1990).

Fig. 1: Ejemplo de la reescritura del ítem 1, en la parte de arriba se muestra la versión traducida de cinemática TUG-K (Zavala et al., 2017) y en la de abajo la versión en cálculo TUG-C en el contexto de Cálculo. 

Otros estudios han analizado la comprensión de los estudiantes sobre el concepto integral definida como área bajo la curva en el contexto de la física: la mayoría de estos utilizando el contexto de la cinemática (Beichner 1994; Ivanjek et al., 2016; McDermott et al., 1987; Planinic, Ivanjek y Susac, 2013), y algunos de estos utilizando otros contextos (Ivanjek et al., 2016; Meltzer, 2004, Pollock, Thompson y Mountcastle, 2007, Nguyen y Rebello, 2011, Planinic, Ivanjek y Susac, 2013). También varios estudios han analizado este entendimiento en el contexto de las matemáticas (Bajracharya et al., 2012; Ivanjek et al., 2016; Orton, 1983; Planinic, Ivanjek y Susac, 2013). Para este estudio, nos centramos en la investigación que se enfoca en el análisis de concepciones alternativas de la integral desde la concepción gráfica de área bajo la curva. Por lo que se resalta que Beichner (1994) presenta un análisis general de las dificultades de los estudiantes en entendimiento de concepto de integral definida como área bajo la curva y las clasifica en tres categorías: (1) no reconocer el significado de las áreas bajo la curva, (2) calcular la pendiente en lugar del área, y (3) confusiones de área/altura en las que los estudiantes interpretan de manera inadecuada la altura del gráfico en el último punto del intervalo con el área.

METODOLOGÍA

En esta sección se establece la metodología de la implementación del examen y se aborda el primer objetivo de este estudio: presentar un examen (en castellano) de opción múltiple que evalúa la interpretación gráfica del concepto de derivada como pendiente y del concepto de integral definida como área bajo la curva.

Participantes

La investigación se llevó a cabo en una universidad privada mexicana. Los participantes de este estudio fueron 140 estudiantes de primer año de ingeniería que terminaron su curso de mecánica basado en cálculo, y su primer curso de cálculo diferencial e integral. Dicha aplicación se realizó el último día de clases del semestre del curso mecánica basado en cálculo. El día y hora de aplicación varió según el horario de los diferentes grupos de estudiantes que llevaban el curso, diferentes secciones del mismo curso. La aplicación del examen fue realizada por tres profesores que siguieron exactamente el mismo protocolo de aplicación. Este curso de cálculo para ingenieros cubre los siguientes temas principales: función lineal, análisis cualitativo de una función en relación con su primera y segunda derivada, función cuadrática y método de Euler (aproximación numérica del área bajo la curva), derivadas de funciones básicas, análisis funcional y aplicaciones de diferentes modelos (polinomial, exponencial, senoidal), integrales básicas con cambio de variable. Es importante mencionar que estos estudiantes abordaron la derivada desde un enfoque gráfico, vincularon la derivada con la integral definida y cubrieron el Teorema Fundamental del Cálculo. El examen (TUG-C) en castellano que se muestra en el anexo se aplicó a los participantes en una misma fecha después de haber llevado los dos cursos descritos anteriormente.

Diseño del examen

Para diseñar el examen se tomó como referencia el Test of Understanding Graphs in Kinematics (TUG-K) de Beichner (1994) en su versión más actualizada (Zavala et al., 2017). El TUG-K es un instrumento de medición confiable con poder discriminatorio adecuado muy utilizado en el área de la enseñanza de las ciencias (por ejemplo, Chanpichai y Wattanakasiwich, 2010, Maries y Singh, 2013). La idea general de diseñar el examen presentado en este artículo es reescribir los ítems de la versión TUG-K quitando el contexto de la cinemática y reemplazándolo con el contexto del cálculo. La figura 1 muestra un ejemplo de esta reescritura de un ítem del contexto de la cinemática al contexto del cálculo. Para obtener el examen presentado en este artículo se diseñaron y evaluaron dos versiones preliminares (ciclos de revisión por experto y prueba piloto con estudiantes), la versión final es la que se presenta en este manuscrito. Cabe señalar que el orden de los ítems de esta última versión se estableció de manera aleatoria con respecto a la versión original. Los autores se refieren a esta versión como “Test of Understanding Graphs in Calculus” (TUG-C) en castellano con la intención de reconocer y asociar esta versión con la fuente de la que surge.

Características del examen

La tabla 1 muestra una descripción del TUG-C en castellano. Se muestran las cinco dimensiones (que son las distintas áreas y objetivos del examen), la descripción de los ítems, el concepto evaluado (derivada como pendiente, integral definida como área bajo la curva o cualquiera de los dos) y las transiciones evaluadas. Nótese que el símbolo de triángulo significa “cambio de” el cual se representa por la letra griega delta en mayúscula (Δ). La tabla 2 muestra una descripción de los 16 ítems del examen.

Tabla 1: Descripción del examen de entendimiento gráfico en Cálculo (TUG-C) en castellano 

Como se muestra en la tabla 1, las cuatro primeras dimensiones del examen contienen tres ítems cada una, y la quinta dimensión contiene cuatro ítems, dando un total de 16 ítems. Las dimensiones 1 y 2 están directamente relacionadas ya que evalúan el entendimiento del concepto derivada como pendiente. Asimismo, las dimensiones 3 y 4 están directamente relacionadas ya que evalúan el entendimiento del concepto de integral como el área bajo la curva en cierto intervalo. La diferencia en estas dimensiones relacionadas se encuentra en la transición evaluada. La dimensión 1 evalúa la transición de f(x) a f’(x), mientras que la dimensión 2 evalúa la transición de f’(x) a f’’(x). Por otro lado, la dimensión 3 evalúa la transición de f’(x) a Δf(x), mientras que la dimensión 4 evalúa la transición de f’’(x) a Δf’(x).

La tabla 2 muestra una descripción de cada uno de los 16 ítems del examen y la dimensión a la que corresponde. Las dimensiones relacionadas (dimensiones 1 y 2 y dimensiones 3 y 4) tienen ítems relacionados que evalúan de la misma manera el mismo concepto, con la única diferencia en la transición evaluada. Por ejemplo, el ítem 1 de la dimensión 1 (figura 1) evalúa la obtención del valor positivo de f’(x) de la gráfica de f(x), mientras que el ítem 7 relacionado de la dimensión 2 evalúa la obtención del valor positivo de f’’(x) de la gráfica de f’(x). En los tres ítems de las dimensiones relacionadas 1 y 2 se pide: (a) obtener el valor positivo de una derivada, (b) obtener el valor negativo de la derivada, e (c) identificar el intervalo en el que el valor de la derivada es más negativo. Por otro lado, en los tres ítems de las dimensiones relacionadas 3 y 4 se pide: (a) establecer el procedimiento para determinar el cambio de una función a partir de su derivada, (b) determinar el valor del cambio de una función a partir de su derivada, e (c) identificar la gráfica de la derivada que corresponde al mayor cambio de la función en un intervalo específico. Además, en una visión general del examen es posible observar relaciones entre los tres ítems de las dimensiones 1 y 2 y los tres ítems de las dimensiones 3 y 4. Los dos primeros ítems de cada una de las dimensiones se centran en la obtención de un valor de una variable, y el tercer ítem se centra en encontrar el valor más grande de esta variable.

Como se muestra en la tabla 1 y tabla 2, la dimensión 5 evalúa la selección de un gráfico correspondiente a partir de una gráfica. Cada uno de los ítems de esta dimensión evalúa cada una de las transiciones evaluadas en las otras cuatro dimensiones: (1) de f(x) a f’(x); (2) de f’(x) a f’’(x); (3) de f’(x) a f(x); y (4) de f’’(x) a f’(x). La dimensión 5 también tiene ítems relacionados que evalúan de la misma manera el mismo concepto, con la única diferencia en la transición evaluada. Los ítems 16 y 9 evalúan la selección de la gráfica correspondiente a la derivada de una función a partir de la gráfica de la función, mientras que los ítems 2 y 4 evalúan la selección de la gráfica correspondiente a la función a partir de la gráfica de su derivada.

Tabla 2: Descripción de los ítems del examen de entendimiento gráfico en Cálculo (TUG-C) en castellano 

ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD Y PODER DISCRIMINATORIO

En esta sección se cubre el segundo objetivo de este estudio: mostrar que el examen es un instrumento de evaluación confiable con poder discriminatorio adecuado siguiendo el análisis recomendado por Ding et al. (2006). Se realizan cinco pruebas estadísticas: tres pruebas se enfocan en el análisis individual de los ítems del examen (índice de dificultad del ítem, índice de discriminación del ítem y coeficiente de punto biserial del ítem) y dos pruebas en el análisis de todo el examen (confiabilidad del examen y delta de Ferguson). Los autores señalan que si el examen cumple con estas cinco pruebas se puede concluir que el examen es un examen confiable con un poder discriminatorio satisfactorio. Se recomienda consultar el estudio de Barniol y Zavala (2014) si se desea más detalles de las pruebas mencionadas.

Índice de dificultad

El índice de dificultad (P) es una medida de dificultad de un ítem del examen (Ding et al., 2006). El rango recomendado por los autores para este índice es entre 0.3 y 0.9. En la tabla 3 se muestran los índices de dificultad de cada uno de los ítems del examen. Se observa que la mayoría de los ítems cumplen con los criterios establecidos y que sólo dos ítems se encuentran ligeramente por debajo del valor recomendado (0.3). Estos ítems son los ítems 10 (0.29) y 15 (0.23). El promedio del examen es 0.49. Este índice promedio está en el rango recomendado [0.3, 0.9].

Tabla 3: Índice de dificultad del ítem (P), índice de discriminación del ítem (D) y coeficiente punto biserial (rpbs) para cada uno de los ítems del examen 

Índice de discriminación

El índice de discriminación (D) es una medida del poder de discriminación que tiene cada ítem del examen (Ding et al., 2006). Los autores establecen dos criterios para este índice: (1) eliminar los ítems con índices de discriminación negativos y (2) que la mayoría de los ítems tengan un aceptable índice de discriminación (D ≥ 0.3). En la tabla 3 se muestran los índices de discriminación para cada ítem del examen (utilizando el método 25%-25%). Se observa que todos los ítems cumplen con los criterios establecidos. Ding et al. (2006) también recomiendan calcular el índice de discriminación promedio del examen, sugiriendo un valor ≥ 0.3. El índice de discriminación promedio del examen (0.69, utilizando el método 25%-25%) cumple con este criterio.

Coeficiente punto biserial

El coeficiente punto biserial (rpbs) es una medida de la consistencia de un ítem con todo el examen, y que básicamente refleja la correlación entre las calificaciones de los estudiantes en un ítem con las calificaciones en todo el examen (Ding et al., 2006). Los autores recomiendan seguir el criterio de que un ítem con una buena confiabilidad tiene un rpbs≥0.2. En la tabla 3 se muestran los coeficientes puntos biserial de cada ítem del examen. Se observa que todos los ítems cumplen con los criterios establecidos. Los autores también recomiendan calcular el promedio de los coeficientes punto biserial que es la suma de todos los coeficientes dividida por el número de ítems en el examen. El rango recomendado para este promedio también ≥0.2. El promedio de los coeficientes punto biserial (0.54) cumple también con este criterio.

Índice de confiabilidad Kuder-Richardson y Delta de Ferguson

El índice de confiabilidad de Kuder-Richardson es una medida de la consistencia de todo el examen. Ding et al. (2006) establecen el criterio ampliamente aceptado de que un índice de confiabilidad mayor a 0.7 es confiable para medidas de grupo, lo que es muy utilizado en la mayoría de circunstancia en educación de la ciencia. El valor obtenido en este índice para el examen es de 0.84 que cumple con este criterio. La delta de Ferguson es una medida del poder discriminatorio de un examen que investiga que tan ampliamente están distribuidas las calificaciones de un examen en el rango posible. Ding et al. (2006) recomiendan seguir el criterio de que un examen que ofrece un buen poder de discriminación es mayor a 0.9. La delta de Ferguson del examen es 0.99 que se encuentran dentro del rango recomendado por los autores.

Resumen de las cinco pruebas estadísticas

En la tabla 4 se muestra el resumen de las cinco pruebas estadísticas recomendadas por Ding et al. (2006) en la que se muestra que todos los valores promedio cumplen con lo recomendado por esos autores. A partir de esto es posible afirmar que el examen es un instrumento de evaluación confiable y con poder discriminatorio adecuado.

Tabla 4: Resumen de pruebas estadísticas realizadas para el examen 

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS DEL ENTENDIMIENTO DE LOS ESTUDIANTES

En esta sección se cubre el tercer objetivo de este estudio: presentar un análisis cuantitativo del entendimiento de los estudiantes en los conceptos evaluados en el examen. Este análisis se realiza con los resultados de las encuestas aplicadas a 140 estudiantes de primer año de ingeniería.

Desempeño general en el examen

Para analizar el desempeño general se consideran las calificaciones obtenidas por los participantes en el examen conceptual de 16 preguntas de opción múltiple. Nótese que cada ítem vale un punto como se acostumbra en instrumentos de este tipo, por ejemplo, el Force Concept Inventory (Hestenes, Wells y Swackhamer, 1992). Bajo esta consideración, se encontró que la distribución de las calificaciones no era normal (D(140)=0.090, p<0.01). Para distribuciones de este tipo es mejor utilizar los cuartiles como medidas de dispersión. El primer cuartil de la distribución es 4, el tercer cuartil es 11, dando un rango intercuartil de 7. Es interesante notar que los estudiantes que se encuentran en la mediana (7.5 de 16 puntos posibles) tienen dificultades para contestar correctamente aproximadamente 8 ítems de los 16 ítems del examen.

Ítems y dimensiones

La tabla 5 muestra el porcentaje de respuesta correcta para cada uno de los ítems agrupados en las cinco dimensiones y el porcentaje promedio de respuesta correcta para cada dimensión. Los ítems de las cuatro primeras dimensiones están agrupados en las dimensiones relacionadas 1 y 2, y, 3 y 4. A partir de la tabla 5, podemos notar dos puntos acerca de los resultados. El primero es que las cinco dimensiones tienen valores muy cercanos de porcentajes promedios que van del 45% al 53%. El segundo es que el valor de estos promedios es relativamente bajo, alrededor del 50%. Estos resultados muestran que los estudiantes tienen dificultades similares en los conceptos evaluados en el examen. Los resultados individuales de los ítems varían entre el 23% para el ítem 15 y el 66% para el ítem 12. Esto muestra que los conceptos evaluados en todos los ítems del examen son difíciles para los estudiantes ya que en el ítem con mayor porcentaje (ítem 12), un tercio de los estudiantes tienen dificultades para responder correctamente la pregunta. En esta subsección, presentamos dos análisis. En el primero se presenta una comparación de los ítems relacionados, y en el segundo agrupamos los ítems del examen de acuerdo a su nivel de dificultad.

Tabla 5: Porcentaje de respuesta correcta para cada uno de los ítems agrupados por concepto a evaluar: derivada (dimensión 1 y 2), integral definida (dimensión 3 y 4), ambos conceptos de gráfica a gráfica (dimensión 5) 

Comparación de los ítems relacionados del examen

Los ítems relacionados del examen evalúan de la misma manera el mismo concepto, con la única diferencia en la transición evaluada. Es interesante realizar una comparación de los porcentajes de respuesta correcta de estos ítems relacionados. Para comparar las respuestas de los estudiantes y detectar diferencias significativas usamos la prueba de chi cuadrado siguiendo el procedimiento descrito por Sheskin (2007).

Primeramente, no se encontraron diferencias significativas en la selección de la respuesta correcta en ninguno de los ítems relacionados de las dimensiones relacionadas 1 y 2, y, 3 y 4 (tabla 5). En la tabla 5 no se encontraron diferencias significativas en los porcentajes de la respuesta correcta en los ítems relacionados. Esto parece deberse al hecho de que los ítems relacionados evalúan, como se mencionó anteriormente, el mismo concepto con la única diferencia en la transición evaluada. Por lo tanto, es posible afirmar que la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems de la dimensión 1, que evalúa la determinación de f’(x) a partir de la gráfica f(x), es similar a la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems de dimensión 2, que evalúa la determinación de f’’(x) de la gráfica f’(x). También es posible establecer que la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems de dimensión 3, que evalúan la determinación de Δf(x) de la gráfica f’(x), es similar a la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems de dimensión 4, que evalúan la determinación de Δf’(x) de la gráfica f’’(x).

Tampoco se encontraron diferencias significativas en la selección de la respuesta correcta en los ítems relacionados de la dimensión 5 (tabla 5). Por lo tanto, también es posible afirmar que las respuestas correctas de los estudiantes en los ítems que evalúan la determinación de la gráfica correspondiente de la derivada de una gráfica son similares (ítem 16: de f(x) a f’(x); e ítem 9: de f’(x) a f’’(x)); y que las respuestas correctas de los estudiantes en los ítems que evalúan la determinación de la gráfica correspondiente de la antiderivada de una gráfica también son similares (ítem 2: de f’(x) a f(x); e ítem 4: de f’’(x) a f’(x)).

Agrupación de los ítems según su nivel de dificultad

Según la tabla 5, los ítems más difíciles para los estudiantes son los ítems de las dimensiones 3 y 4 que evalúan la identificación del mayor cambio en un intervalo específico en la función a partir de la gráfica de su derivada. Sólo el 23% de los estudiantes responde correctamente el ítem 15 que evalúa la primera transición (de f’(x) a Δf(x)) y sólo el 29% de los estudiantes responde al ítem 10 que evalúa la segunda transición (de f’’(x) a Δf’(x)). Estos dos ítems tienen en común que evalúan la determinación del mayor cambio de una función en un intervalo a partir de su derivada. Es interesante mencionar que estos ítems también muestran porcentajes muy bajos en el examen con el contexto de cinemática (Zavala et al., 2017). Nótese que en la siguiente sección se analizan los errores más frecuentes en estos ítems. La tabla 5 también muestran los grupos de ítems relacionados que son más fáciles para los estudiantes. El primer grupo es de los ítems de las dimensiones 3 y 4 (ítems 5 y 12 respectivamente) que evalúan el establecimiento del procedimiento para determinar el cambio de una función a partir de la derivada de esa función. El 61% de los estudiantes respondió correctamente el ítem 5 que evalúa la primera transición (de f’(x) a Δf(x)) y el 66% de los estudiantes respondió correctamente el ítem 12 que evalúa la segunda transición (de f’’(x) a Δf’(x)). El segundo grupo es de los ítems de las dimensiones 1 y 2 (ítems 13 y 3 respectivamente) que evalúan la identificación del intervalo en el que la derivada es más negativa. El 61% de los estudiantes respondió correctamente el ítem 13 que evalúa la primera transición (de f(x) a f’(x)) y el 63% de los estudiantes respondió correctamente el ítem 3 que evalúa la segunda transición (de f’(x) a f’’(x)). Los ítems de estos grupos tienen en común que para resolverlos no es necesario hacer cálculos precisos.

Finalmente, a partir de la tabla 5, se observa que los otros cinco grupos de ítems relacionados tienen un nivel de dificultad medio. Estos grupos de ítems evalúan la determinación del valor, ya sea positivo o negativo, de una derivada (dos grupos, dimensiones 1 y 2), la determinación del valor del cambio de una función en un intervalo a partir de la gráfica de su derivada (un grupo, dimensiones 3 y 4), y la determinación de la gráfica correspondiente a la derivada o antiderivada de la gráfica de una función (dos grupos, dimensión 5). Los ítems de estos cinco grupos tienen en común que para resolverlos es necesario hacer cálculos precisos.

Errores frecuentes en los ítems de las dimensiones relacionadas 1 y 2

Los ítems de estas dimensiones evalúan el entendimiento de los estudiantes del concepto de derivada como pendiente. La dimensión 1 evalúa la determinación de f’(x) de la gráfica f(x), y la dimensión 2 evalúa la determinación de f’’(x) de la gráfica de f’(x). Las dimensiones 1 y 2 tienen dos ítems que evalúan la determinación, ya sea de un valor positivo o negativo, de una derivada en un punto de una curva (dimensión 1: ítems 1, 6; dimensión 2: ítems 7, 11). La tabla 6 muestra que para todos los ítems el error más frecuente es obtener este valor dividiendo la abscisa entre la ordenada del punto del gráfico (ítem 1: opción D, 25%, ítem 6: opción D, 20%; ítem 7: opción C: 23%, ítem 11: opción A, 14%). Es importante señalar que en los ítems en los que la derivada es negativa (ítems 6 y 11), los estudiantes agregan un signo negativo al valor obtenido. Una tendencia interesante es que la proporción de estudiantes que responden correctamente es mayor para los ítems con una derivada negativa que para los ítems con una derivada positiva. Es evidente que los estudiantes en estas preguntas tienen una concepción del cálculo de la derivada de una función errónea; sin embargo, es posible que sí tengan algunos de estos estudiantes la concepción gráfica de la derivada como la pendiente (o inclinación) de la curva en ese punto. Si es así, es posible que algunos estudiantes que quieran calcular la derivada como el cociente de la ordenada entre la abscisa, en el momento que lo hagan, el resultado no les da un número negativo y que algunos de ellos tengan que esforzarse más para poder obtener un número negativo.

Tabla 6: Las cinco dimensiones evaluadas en el examen, la descripción específica de cada ítem, la respuesta correcta y el porcentaje de selección de cada opción 

Las dimensiones 1 y 2 tienen un tercer ítem que evalúa la identificación del intervalo en el que la derivada es más negativa. La dimensión 1 evalúa la identificación del intervalo en el que f’(x) es más negativo (ítem 13), y la dimensión 2 evalúa la identificación del intervalo en el que f’’(x) es más negativo (ítem 3). En estos dos ítems se observa que el error más frecuente es elegir un intervalo en el que la derivada es negativa pero no la más negativa (ítem 13: opción D, 16%, ítem 3: opción B, 19%).

Errores frecuentes en los ítems de las dimensiones relacionadas 3 y 4

Los ítems de estas dimensiones evalúan el entendimiento de los estudiantes de la integral definida como área bajo la curva. La dimensión 3 evalúa la determinación de Δf(x) de la gráfica de f’(x) y la dimensión 4 evalúa la determinación de Δf’(x) de la gráfica de f’’(x). Las dimensiones 3 y 4 tienen un ítem que evalúa el establecimiento del procedimiento para determinar el cambio de una función en un intervalo a partir de su derivada (dimensión 3: ítem 5; dimensión 4: ítem 12) y un ítem que evalúa el cálculo de este valor (ítem 14 y 8 respectivamente). (Nótese que la pendiente de las curvas de estos ítems es constante en el intervalo). Como se muestra en la tabla 6, el error más frecuente en estos ítems es pensar en términos de la pendiente de la curva en lugar del área bajo la curva (ítem 5: opción C, 25%, ítem 12: opción B, 22%; ítem 14, opción D: 16%, ítem 8, opción B: 19%). La tendencia en estos ítems es que el porcentaje de respuesta correcta en los ítems que evalúan el establecimiento del procedimiento para determinar el cambio de una función en un intervalo a partir de su derivada es mayor que el porcentaje de respuesta correcta en los ítems que evalúan el cálculo de este valor. Este efecto se encontró de manera similar en el examen de entendimiento de gráficas en cinemática (Zavala et al., 2017) indicando que existe evidencia de que hay alumnos que tienen concepciones de confundir la pendiente por el área bajo la curva en el momento de que se les pida el cálculo del cambio de la función que, en el momento en que se les da las opciones de descripciones de este cambio de la función, puedan reconocer la descripción correcta.

Las dimensiones 3 y 4 tienen un tercer ítem que evalúa la identificación de la función que tiene el mayor cambio en un intervalo específico a partir de gráficas de la derivada de la función (dimensión 3: ítem 15; dimensión 4: ítem 10). En estos dos ítems encontramos los mismos dos errores más frecuentes. En el primer error más frecuente los estudiantes no eligen el gráfico con la mayor área bajo la curva en el intervalo, sino un gráfico con una curva que sus pendientes en el intervalo están siempre aumentando (ítem 15: opción D, 28%; ítem 10: opción D, 28%). En este ítem los estudiantes parecen estar analizando en términos de pendiente, como en los ítems anteriores de estas dimensiones. Este ítem pide una variable con mayor cambio en el intervalo y los estudiantes eligen la curva que tiene el mayor cambio en las pendientes positivas. El segundo error más frecuente en estos ítems es elegir un gráfico con una curva que aumenta en la primera mitad del intervalo y disminuye en la otra mitad (ítem 15: opción B, 27%, ítem 10: opción E, 27%). En este error, los estudiantes parecen estar pensando en términos de dos recursos; esto es, diferentes maneras de pensar sobre una situación (Hammer, 2000). El primer recurso es pensar en términos de pendiente. Este ítem pide una variable con mayor cambio en el intervalo y los estudiantes eligen la curva que tiene el mayor cambio de pendiente, ya que comienza en un valor alto positivo y termina en el mismo valor, pero negativo. El segundo recurso es pensar en términos del valor vertical. Aunque el cambio vertical, de todo el intervalo, es cero en la curva de la gráfica, los estudiantes parecen pensar en términos del valor vertical, y razonan que esta curva tiene el mayor cambio vertical ya que "sube y baja" (como hemos visto en entrevistas semiestructuradas con estudiantes que llevaban los mismos cursos que los que realizaron el examen y realizadas durante el semestre posterior a la implementación del examen).

Errores frecuentes en los ítems de la dimensión 5

Los cuatro ítems de la dimensión 5 evalúan la selección de la gráfica correspondiente a partir de otra gráfica. Como se muestra en la tabla 5, dos ítems de esta dimensión evalúan la selección de la gráfica de una derivada (ítems 16 y 9). El ítem 16 evalúa la selección de la gráfica f’(x) a partir de la gráfica f(x) y el ítem 9 evalúa la selección de la gráfica f’’(x) a partir de la gráfica f’(x). El error más frecuente en estos dos ítems relacionados es similar (ver tabla 6). En el ítem 16 el error más frecuente corresponde a una gráfica en el que los alumnos parecen entender la forma que debe tener la gráfica, pero tienen dificultades para relacionar los valores de las pendientes de la gráfica, eligiendo una relación opuesta a la correcta (opción B, 25%). En el ítem 9 el error más frecuente corresponde a una gráfica en el que los alumnos también parecen comprender la forma que debe tener la gráfica, pero tienen dificultades para relacionar los valores de las pendientes de la gráfica, escogiendo valores absolutos para las pendientes (opción C: 20%). La diferencia en el error más frecuente en ambos ítems parece deberse a ligeras diferencias en el gráfico mostrado. La primera sección del gráfico del ítem 9 pasa de valores negativos a valores positivos, que es diferente de lo que ocurre en la primera sección del ítem 16, que sólo tiene valores positivos. Esta sutil diferencia entre los gráficos (sin relevancia para el experto) parece tener un cierto efecto sobre los errores que se activan en los estudiantes. Esto es consistente con los estudios de educación de las ciencias que mencionan que las características superficiales de los problemas son muy importantes para los novicios (Leonard, Gerace y Dufresne, 1999).

Los otros dos ítems de la dimensión 5 evalúan la selección de la gráfica de una antiderivada (ítems 2 y 4). El ítem 2 evalúa la selección de la gráfica f(x) a partir de la gráfica f’(x) y el ítem 4 evalúa la selección de la gráfica f’(x) a partir de la gráfica f’’(x). Estos dos ítems relacionados tienen el mismo error más frecuente (ítem 2: opción D, 26%, ítem 4: opción E, 27%). En esta elección los estudiantes parecen entender la forma de la gráfica de la antiderivada, pero tienen dificultades para relacionar los valores absolutos de las pendientes de las secciones con pendientes diferentes de cero, eligiendo una relación opuesta a la adecuada.

RECOMENDACIONES

Esta sección establece recomendaciones específicas, basadas en los análisis previos, para la instrucción de los conceptos de derivada e integral definida usando la representación gráfica. McDermott (2001) señala que todo cambio curricular debe partir de una investigación del entendimiento de los estudiantes. El análisis del entendimiento conceptual de los estudiantes en el examen, realizado en la sección anterior, cumple con este rol de investigación y permite establecer recomendaciones para la instrucción de estos conceptos. Al analizar la distribución de las calificaciones se notó que los estudiantes que estaban en la mediana de la distribución (7.5) tenían dificultades para contestar correctamente 8 de los 16 ítems del examen. Los temas evaluados en el examen son conceptos que los estudiantes deberían haber adquirido en su primer curso de cálculo diferencial e integral y en su curso de mecánica basado en cálculo, ya que son temas cubiertos en los dos cursos a nivel universitario. Como se mencionó anteriormente, los estudiantes abordaron en sus cursos la derivada desde un enfoque gráfico, vincularon la derivada con la integral definida y cubrieron el Teorema Fundamental del Cálculo. Este resultado muestra la necesidad de modificar la enseñanza e instrucción para incrementar el entendimiento conceptual de los estudiantes de los conceptos de derivada e integral definida. Relacionado con esto, es importante señalar dos puntos: El primero es que la resolución de los ítems del examen requiere procedimientos muy sencillos, con lo que se disminuye el impacto del factor relacionado con los aspectos procedimentales. El segundo punto es que la aplicación del examen se realizó siguiendo las recomendaciones del área de la educación de las ciencias, por ejemplo, que el examen no tuviera valor en la calificación sumativa del curso buscando disminuir el impacto del factor relacionado con los aspectos actitudinales de los estudiantes.

En nuestro análisis no se encontraron diferencias significativas en la selección de la respuesta correcta en todos de los ítems relacionados del examen. A partir de esto se notó: (a) que la respuesta correcta en los ítems de la dimensión 1, que evalúa la determinación de f’(x) a partir de la gráfica f(x), era similar en porcentaje a la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems de dimensión 2, que evalúa la determinación de f’’(x) de la gráfica f’(x), (b) que la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems de dimensión 3, que evalúan la determinación de Δf(x) de la gráfica f’(x), era similar en porcentaje a la respuesta correcta en los ítems de dimensión 4, que evalúan la determinación de Δf’(x) de la gráfica f’’(x), y (c) que la respuesta correcta de los estudiantes en los ítems que evalúan la determinación de la gráfica correspondiente de la derivada de una gráfica era similar en porcentaje (ítem 16: de f(x) a f’(x); e ítem 9: de f’(x) a f’’(x)); y que las respuesta correcta de los estudiantes en los ítems que evalúan la determinación de la gráfica correspondiente de la antiderivada de un gráfica también era similar en porcentaje (ítem 2: de f’(x) a f(x); e ítem 4: de f’’(x) a f’(x)). Estos resultados son inesperados ya que estos estudiantes entienden en los mismos términos la interpretación de la derivada como pendiente y la interpretación de la integral definida como área bajo la curva independientemente del orden de la función (denominado transición). Sin embargo, hay que recordar que los porcentajes de respuesta correcta en los ítems del examen son bajos, lo cual muestra que los estudiantes no han dominado estos conceptos. Sería interesante implementar el examen en otras poblaciones para analizar si los resultados similares en los ítems relacionados se mantienen.

Según la clasificación de los ítems por nivel de dificultad, los ítems más difíciles para los estudiantes son los ítems de dimensiones 3 y 4 que evalúan la identificación de la función que tiene el mayor cambio en un intervalo específico a partir de gráficas de la derivada de la función. Estos resultados y los resultados en las demás dimensiones indican que hay un alto porcentaje de estudiantes que no logran diferenciar entre la interpretación de una derivada con el cambio de la función a partir de su derivada. Por lo tanto, una recomendación general de instrucción es centrarse específicamente en la enseñanza de las habilidades conceptuales involucradas e incluyendo la perspectiva gráfica. Es decir, centrarse en la diferencia entre estos dos conceptos. McDermott (2001) propone también que los errores conceptuales persistentes deben ser abordados explícitamente en la instrucción. En el artículo se identificó el error más frecuente para los ítems relacionados del examen. Los profesores universitarios de ingeniería y ciencias pueden utilizar este catálogo de errores al planificar su instrucción para los conceptos de derivada e integral definida.

DISCUSIÓN FINAL

Este artículo presenta el examen de entendimiento gráfico en cálculo (TUG-C) en castellano y su proceso de diseño mostrando que es un instrumento de evaluación confiable con poder discriminatorio adecuado. Se concluye que los estudiantes de este estudio tienen dificultades para interpretar la derivada y la integral de manera gráfica, aun cubriendo sus primeros cursos de cálculo y de física universitaria. Sin embargo, algunos participantes entienden en los mismos términos la interpretación de la derivada como pendiente y la interpretación de la integral definida como área bajo la curva independientemente del orden de la función, esto es, el paso de una función a su derivada o viceversa (denominado transición). La recomendación es fomentar la perspectiva gráfica de esos conceptos del cálculo. Este artículo tiene dos implicaciones principales: 1) el examen presentado en el anexo puede ser utilizado por investigadores del área de la enseñanza de la ingeniería y las ciencias, y por profesores que estén interesados en analizar el entendimiento de los estudiantes en estos conceptos al modificar la instrucción o bien como estudio comparado entre diferentes instituciones o niveles educativos (Hake, 1998; Redish, 1999; Rosales et al., 2016); 2) las recomendaciones instruccionales establecidas en este artículo y algunos otros resultados que se puedan encontrar con otras poblaciones, podrían ser consideradas por investigadores y profesores para diseñar material instruccional para a incrementar el entendimiento de los estudiantes en estos conceptos. Este examen con validación de su versión en castellano constituye un importante paso en el desarrollo de instrumentos en el idioma de países en Iberoamérica. En la tabla 7, se presenta la totalidad del instrumento utilizado, a saber:

Tabla 7: Evaluación diagnóstica 

CONCLUSIONES

De acuerdo con el trabajo presentado y a los resultados obtenidos, se pueden plantear las siguientes conclusiones principales:

(i) Este estudio presenta una herramienta que puede ser usada en los procesos de enseñanza y aprendizaje de cálculo en el nivel de educación superior; (ii) El examen presentado puede permitir a los maestros de nivel superior a cambiar la percepción del proceso de enseñanza aprendizaje, ya que, a partir de los resultados del examen, se pueden medir deficiencias en la enseñanza de los conceptos de derivada e integral definida, y reestructurar la enseñanza de estos conceptos para mejorar el aprendizaje; y (iii) Además, el estudio permite a los maestros e investigadores a reflexionar en la posibilidad de elaborar exámenes similares en otros temas de las matemáticas, de las ingenierías y de las ciencias.

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Received: January 21, 2019; Accepted: March 19, 2019

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