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Revista ingeniería de construcción

versión On-line ISSN 0718-5073

Rev. ing. constr. v.25 n.3 Santiago  2010

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-50732010000300005 

Revista Ingeniería de Construcción Vol. 25 N°3, Diciembre de 2010 www.ing.puc.cl/ric PAG. 399-418

Simulación numérica del proceso de fractura en modo I de vigas de concreto con trayectoria de fisuración conocida mediante un modelo discreto de fisura cohesiva

 

Rubén Graffe*¹, Dorian Linero*

* Universidad Nacional de Colombia . COLOMBIA

Dirección para Correspondencia


RESUMEN

Este trabajo describe la formulación, implementación y aplicación de un modelo discreto de fisura cohesiva el cual permite simular el proceso de fractura en modo I de vigas de concreto simple cuya trayectoria de fisuración está definida. En el proceso de fractura se establece una relación entre el esfuerzo normal de cohesión y la apertura de una fisura, donde el material ubicado fuera de la zona de fractura conserva un comportamiento elástico lineal en carga o  descarga, mientras que el material en el interior de la zona de fractura tiene un comportamiento inelástico con ablandamiento por deformación. En la malla se ubican parejas de nudos en la misma posición espacial sobre la trayectoria de la fisura, las cuales desligan a los elementos bidimensionales contiguos. Estos nudos duplicados están conectados entre sí por resortes elasto - plásticos que representan el proceso de fractura. Se simulan numéricamente tres vigas de concreto de diferentes dimensiones que soportan una carga en el centro de la luz. Cada simulación es un análisis no lineal estático con elementos finitos en condición plana de esfuerzos, considerando deformaciones infinitesimales y aplicando un desplazamiento vertical incremental sobre la cara superior de la mitad de la luz de la viga. Se obtuvieron resultados satisfactorios de la respuesta estructural de las vigas, en comparación con los ensayos experimentales y modelaciones numéricas desarrolladas por otros autores.

Palabras Clave: Análisis estructural, mecánica de la fractura, mecánica computacional, vigas de concreto, elementos finitos.


1. Introducción

En la simulación numérica del comportamiento mecánico del concreto existen dos metodologías clásicas que describen la zona del proceso de fractura. La primera aproximación denominada metodología de fisura discreta considera que toda la zona de fractura se concentra en una línea de fisuración y se caracteriza por una ley esfuerzo - deformación que exhibe ablandamiento.

La segunda o metodología de fisura distribuida establece que la deformación inelástica localizada en la zona de fractura está distribuida en una banda de ancho definido, imaginada alrededor del frente de la fisura principal (Bazant y Planas, 1998). Los modelos de fisura cohesiva están basados en la primera metodología.

En los años sesentas Dugdale (1960) y Barenblatt (1962), introducen los primeros modelos de fisura cohesiva, los cuales buscaban representar el comportamiento no lineal ubicado en el frente de una fisura de trayectoria conocida en modo I, es decir, cuando las caras de la fisura se separan en dirección perpendicular al plano de la misma. En estos modelos se reemplazan las fuerzas cohesivas transferidas de la zona de fractura al medio elástico circundante por fuerzas externas equivalentes, considerando la disipación de energía asociada al fenómeno de propagación de la fisura.

Años después, el denominado modelo de fisura ficticia propuesto por Hillerborg et al. (1976), extiende la definición de fisura cohesiva estableciendo que esta última puede ubicarse en cualquier lugar, sin conocerse su trayectoria previamente. Este trabajo vincula los conceptos de la mecánica de la fractura y del método de los elementos finitos (Hughes 2000, Oñate 2009). Los dos elementos fundamentales para estudiar la fractura en el concreto con este modelo son: (1) la existencia de una zona de proceso de fractura en la vecindad de una fisura abierta debida a la localización de la deformación y (2) una ley constitutiva que represente la propagación de la fisura definida mediante la relación entre las fuerzas cohesivas y el desplazamiento normal entre las caras de la fisura en el interior de la zona de fractura (Shi, 2009).

Este artículo presenta la formulación, implementación y aplicación de un modelo discreto de fisura cohesiva en el marco del método de los elementos finitos, el cual permite simular el proceso de fractura en modo I de vigas de concreto simple cuya trayectoria de fisuración es conocida (Graffe 2010). Como ejemplos de aplicación se simulan numéricamente tres vigas simplemente apoyas de diferentes dimensiones que soportan una carga puntual en el centro de la luz. Los resultados obtenidos se comparan con ensayos experimentales y modelaciones numéricas desarrolladas por otros autores como Lotfi y Shing (1995), Sancho et al. (2007) y Alfaiate et al. (2003).

Dicho modelo establece el primer paso a la descripción general del proceso de fractura en el concreto simple. La validación del modelo confirmará que su metodología puede aplicarse a nuevos modelos cohesivos del mismo tipo considerando trayectorias de fisuración desconocidas a priori.

2. Zona del proceso de fractura en modelos de fisura cohesiva

En el modelo de fisura cohesiva del concreto se considera que el proceso de fractura en un punto material comienza cuando el esfuerzo principal mayor en dicho punto alcanza la resistencia a tracción del concreto σt (Figura 1(a)), tal como lo establece el criterio de fallo de Rankine. Así mismo, se supone que la normal a la superficie de la fisura coincide con la dirección del esfuerzo principal mayor. Por otro lado, se admite que el material fuera de la zona de fractura tiene un comportamiento isótropo, lineal y elástico caracterizado por su módulo de Young E y su relación de Poisson v.

Figura 1. Modelo de fisura cohesiva: (a) zona del proceso de fractura, (b) detalle del punto material P dentro y fuera de la zona de fractura, (c) relación esfuerzo - deformación de un punto material ubicado fuera de la zona de fractura P , y (d) relación esfuerzo - deformación de un punto material ubicado en el interior de la zona de fractura P (Graffe 2010)

Sean P-y P+ dos puntos sobre la misma coordenada material de un sólido, pero ubicados fuera y dentro de la zona de fractura respectivamente (Figura 1(b)), cuyas relaciones esfuerzo - deformación están indicadas en la Figura 1(c) y en la Figura 1(d). Durante el proceso de aplicación de la carga externa, el comportamiento en P-y P+ es el mismo hasta que el material alcanza la resistencia a la tracción, es decir, entre los puntos 0 y 1 de las curvas esfuerzo - deformación. A partir de este momento y entre los puntos 1 y 3 de las curvas, el material de la zona de fractura presenta un ablandamiento, en el cual aumenta la deformación mientras se reduce el esfuerzo cohesivo, en cambio, el material fuera de la zona de fractura se descarga elásticamente. Esta etapa demuestra que en la vecindad de un punto material se bifurca de la deformación, mientras se conserva la continuidad del esfuerzo normal a un plano ortogonal a la fisura. Después del punto 3, el esfuerzo cohesivo y la deformación fuera de la zona de fractura es nulo, mientras que la deformación en la zona de fisura sigue aumentando.

En la zona del proceso de fractura del concreto en modo I mostrada en la Figura 1 (a), la apertura w de la denominada fisura cohesiva aumenta progresivamente, mientras disminuye el valor del esfuerzoa normal a las caras de la misma de la forma:

Esta relación entre el esfuerzo normal y la apertura de fisura describe el ablandamiento generado por la pérdida progresiva de la cohesión en la zona de fractura y se denomina curva de ablandamiento (Figura 2(a)).

Para una apertura inicial igual a cero, el esfuerzo normal es igual a la resistencia a tracción del material, es decir w= 0 y σ=σt. En cambio, cuando el esfuerzo normal es nulo, es decir, cuando se pierde la transmisión de fuerzas de cohesión entre las caras, se declara la existencia de una discontinuidad notoria del material llamada fisura real, cuya apertura sigue creciendo a partir del valor crítico w=wc.

La energía por unidad de área en un punto material consumida desde la aparición de una fisura cohesiva, es decir para 0<wwcy O<σ≤σt, hasta la formación de una fisura real, cuando w = wc y σ = 0, se denomina energía específica de fractura o simplemente energía de fractura GF. Tal energía es igual a la integral expresada en la siguiente ecuación, la cual corresponde al área bajo la curva de ablandamiento, como se indica en la Figura 2(a).

Figura 2. Modelo de fisura cohesiva, relación entre el esfuerzo normal de cohesión y la apertura de la fisura: (a) curva general de ablandamiento, (b) curvas de ablandamiento bilineales del modelo propuesto y de diferentes autores (Bazant & Planas 1998)

La energía de fractura y la curva de ablandamiento son parámetros particulares de cada material y su valor se puede determinar mediante ensayos de laboratorio. Algunos autores han obtenido valores de GF para el concreto entre 100 y 115 N/m (Lotfi & Shing 1995, Sancho et al., 2007, Alfaiate et al., 2003) y curvas de ablandamiento simplificadas mediante dos líneas rectas, como se muestra en Figura 2(b) (CEB 1991, Petersson 1981, Rokugo et al., 1989), siendo wch = GF/σt.

3. Formulación general del modelo

El modelo numérico desarrollado en este trabajo ha sido implementado en el método de los elementos finitos bajo las siguientes suposiciones: (1) el problema mecánico se puede simplificar a una condición plana de esfuerzos, considerando deformaciones infinitesimales y cargas externas estáticas (Oñate 2009), (2) solo se produce una fisura en el elemento estructural cuya trayectoria se conoce a priori (Petersson 1981), (3) la fisura describe un mecanismo de apertura en modo I, es decir, que la componente del desplazamiento entre las caras de una fisura es positiva y perpendicular a la trayectoria de la misma (Rots 1988), (4) durante el proceso de fractura se establece una relación conocida entre el esfuerzo normal de cohesión y la apertura de una fisura (Bazant y Planas 1998), (5) el material ubicado fuera de la zona de fractura conserva un comportamiento elástico lineal en carga o descarga, mientras que el material en el interior de la zona de fractura tiene un comportamiento inelástico con ablandamiento por deformación (Shi, 2009).

Bajo las suposiciones anteriores se puede representar el proceso de fractura en vigas de sección transversal rectangular constante de concreto simple sometidas a cargas transversales estáticas en un solo plano, cuyo fallo material está determinado por flexión. En ensayos experimentales de este tipo, las componentes de esfuerzos no nulas están contenidas en el plano de la viga describiendo un estado plano de esfuerzos, el concreto presenta deformaciones pequeñas respondiendo a la teoría de las deformaciones infinitesimales y el estado de flexión genera la aparición de una sola fisura aproximadamente vertical. Así mismo, se ha observado que mientras las caras de la fisura tienden a separarse cada vez más la fuerza aplicada se reduce, lo cual significa que el material fuera de la zona de fractura presenta una descarga aproximadamente elástica.

El dominio del sólido está dividido por elementos finitos definidos en un espacio bidimensional de coordenadas globales x y y. Estos elementos son estándar de continuidad C° en el campo del desplazamiento y en consecuencia cuentan con dos grados de libertad por nudo asociados a los desplazamientos longitudinales en las direcciones x y y (Hughes, 2000; Oñate 2009), como lo indica la Figura 3(a) y la Figura 3(b).

Figura 3. Tipo de elementos finitos y su relación constitutiva: (a) elemento bidimensional elástico, (b) elemento resorte elasto - plástico, (c) conexión entre elementos de la zona de fractura, (d) área aferente del esfuerzo cohesivo en la zona de conexión entre elementos bidimensionales y resortes (Graffe 2010)

La geometría de la estructura está conformada por elementos bidimensionales cuadrilaterales unidos mediante nudos. Además, se ubican parejas de nudos en la misma posición espacial sobre la trayectoria de la fisura, los cuales desligan a los elementos bidimensionales contiguos sobre la zona de fractura. Estos nudos duplicados en la misma coordenada están conectados entre sí por los resortes de dimensión nula, es decir e=0, que representan el proceso de fractura, como se ilustra en la Figura 3(c).

Los elementos finitos bidimensionales como los cuadrilaterales isoparamétricos lineal y cuadra tico, tienen un comportamiento elástico lineal isótropo y representan el material ubicado fuera de la zona de fractura (Figura 3(a)). Las propiedades mecánicas de estos elementos son el módulo de Young E y la relación de Poisson v del concreto.

Los parámetros de la curva de ablandamiento del modelo numérico se calibran con los resultados experimentales de Petersson (1981), indicados como viga V1. Las simulaciones realizadas para las vigas de concreto V2 y V3 se realizan con el modelo previamente calibrado. Se espera que los parámetros de la curva de ablandamiento del modelo numérico se conserven constantes en la simulación de elementos estructurales con concretos similares.

4. Representación del comportamiento cohesivo en la zona de fractura

El comportamiento cohesivo en el interior de la zona de fractura se describe mediante resortes perpendiculares a la dirección de la fisura, en los cuales se activa una relación constitutiva de plasticidad con ablandamiento después de alcanzada la resistencia a tracción del concreto. El alargamiento y la fuerza en el resorte representan la apertura de la fisura w y la fuerza de cohesión F de la misma. Esta fuerza se obtiene del producto entre el esfuerzo cohesivo σ y el área aferente del resorte Af es decir,

Por lo tanto, la fuerza en el resorte Ft resultante cuando el esfuerzo cohesivo es igual a la resistencia a tracción es igual a:

En la superficie delimitada por el área aferente del resorte Af se distribuye un esfuerzo normal cohesivo constante equivalente a la acción de la fuerza interna F, como lo indica la Figura 3(d). En problemas bidimensionales con espesor constante b, el área aferente es igual a:

Lo anterior establece una relación directa entre la curva de ablandamiento en la zona de fractura del concreto y la curva idealizada F(w) entre la fuerza y el alargamiento del resorte mostrada en la Figura 4(a).

Con el fin de conservar la estabilidad de la solución numérica en el análisis no lineal con elementos finitos, se define la relación aproximada F(w) de la curva idealizada F(w) entre la fuerza y el alargamiento del resorte a tracción. Como lo muestra la Figura 4(b), el tramo 3 - 4 de la curva aproximada es elástico de rigidez k2 con tendencia a infinita, lo cual asegura la conexión total entre los elementos bidimensionales antes de alcanzar la resistencia a tracción del material. En cambio, en el tramo 6 - 7 se mantiene un valor constante muy pequeño de la fuerza cohesiva remanente γ Ft. Por lo tanto, cuando la rigidez de la etapa inicial tiende a infinito, es decir K2 —>∞ , y la fuerza cohesiva remanente en la última etapa tiende a cero, es decir, γ—> 0, el modelo numérico del resorte recupera las características del modelo de fisura cohesiva.

Por otro lado, el acortamiento del resorte indicaría un comportamiento inconsistente donde se superponen dos regiones del sólido en la zona de fractura. Para evitarlo se considera que la rigidez a compresión k1, es decir la pendiente del tramo 2-3, tiende a infinito. Después de alcanzada la resistencia a la compresión del material σc, el tramo 1-2 representa el aplastamiento como una rama de rigidez nula.

Los tramos 4 - 5 y 5 - 6 describen el comportamiento cohesivo en la zona de fractura, donde la fuerza en el resorte está entre F4=Ft y F6 =γ Ft. Así mismo, en el punto 6 se define a wf como la apertura de fisura cuando la fuerza en el resorte es igual a la fuerza cohesiva remanente γ Ft.

Para caracterizar la curva aproximada F(w) se realizaron varias simulaciones numéricas de calibración del modelo, validadas con la respuesta estructural del ensayo experimental de Petersson (1981) mostrado en la Figura 8. Los resultados de la calibración establecieron que el punto 5 corresponde a una apertura de fisura w5=0.3wf y a una fuerza cohesiva F5= 0.3σt Af.

Figura 4. Relación entre la fuerza y el alargamiento del resorte: (a) curva idealizada en tracción, (b) curva aproximada en tracción y compresión utilizada en el modelo numérico

Después de reemplazar la Ecuación (3) en la Ecuación (2), la energía se puede expresar en términos de la curva aproximada fuerza - alargamiento, de la forma:

Sustituyendo la función de la fuerza cohesiva F(w) en la ecuación anterior se obtiene que,

Por lo tanto la apertura de fisura wf y las pendientes k3 y k4 de la curva de la Figura 4(b) son iguales a:

 

 

Se observa que si k2—>∞ y Υ—> 0 , se recuperan los parámetros wc, k3 y k4 de la curva idealizada Figura 4(a), de la forma:

 

 

En consecuencia, la curva idealizada de ablandamiento utilizada en el modelo numérico propuesto en este artículo está definida por los puntos (w,σ) = (0,σt), (wch, 0.30σt), (3.33wch, 0), como lo muestra la Figura 2(b). Se observa una pequeña diferencia con respecto a la curva de ablandamiento bilineal dada por los puntos (w,σ) = (0,σt), (0.Swch, 0.33σt), (3.60wch, 0), obtenida analíticamente por Petersson (1981).

Las propiedades mecánicas de los resortes se derivan de las características de la curva de ablandamiento, como la resistencia a la tracción σt y la energía de fractura GF del concreto.

5. Aplicación a vigas de concreto simple

El modelo constitutivo de fisura cohesiva descrito anteriormente se puede aplicar a elementos estructurales de concreto simple en los cuales la trayectoria de la fisura es conocida y el mecanismo de apertura de la misma corresponde al modo I. Los ejemplos de aplicación mostrados a continuación describen el comportamiento de tres vigas de concreto simplemente apoyadas de dimensiones diferentes, sometidas a una carga puntual en el centro de la luz, como lo ilustra la Figura 5(a). La sección transversal de las vigas es rectangular y tienen una entalla en la cara inferior del centro de la luz.

Cada simulación numérica con elementos finitos corresponde a un análisis no lineal estático en condición plana de esfuerzos, considerando deformaciones infinitesimales y aplicando un desplazamiento vertical incremental sobre la cara superior de la mitad de la luz de la viga. Así mismo, cada ejemplo de aplicación se modeló con varias mallas de elementos finitos bidimensionales. Estas simulaciones se realizaron con el programa comercial ANSYS (2005).

La fuente de no linealidad del modelo está dada exclusivamente por el comportamiento elasto - plástico de los resortes que representan el proceso de fractura.

Las cantidades de interés derivadas de la simulación numérica fueron comparadas con los resultados experimentales y numéricos obtenidos por otros autores (Lotfi y Shing, 1995; Sancho et al., 2007; Alfaiate et al., 2003).

La primera viga de concreto simulada con el modelo propuesto y denominada V1, corresponde al mismo elemento estructural ensayado por Petersson (1981). La viga V1tiene una longitud L=2.00m, profundidad de entalla c=0.10m y sección transversal de b=0.05m de base y h=0.20m de altura. El concreto cuenta con un módulo de elasticidad E=30 GPa, relación de Poisson v=0.15, energía de fractura GF=115N/m, resistencia a la tracción σt = 3.33MPa y resistencia a la compresión aproximada σt = 33.3MPa.

Se realizaron cinco mallas de elementos finitos diferentes, en las cuales se dividió el dominio de la viga en elementos bidimensionales, conectados mediante nudos excepto en la línea de la fisura. La Figura 5(b) muestra la primera malla denominada V1E4-20, porque tiene 20 elementos finitos cuadrilaterales de 4 nudos sobre la línea de fisura conectados entre sí por resortes, excepto en el nudo superior donde se aplica la carga puntual (Figura 6(a)) y en los nudos inferiores que hacen parte de la entalla (Figura 6(c)).

Figura 5. Vigas de concreto simple simplemente apoyadas con carga puntual en el centro de la luz: (a) esquema general, (b) malla de elementos finitos (Graffe 2010)

Particularmente en esta malla, la distribución de los nudos entre las caras de la fisura permite considerar que el área aferente es la misma para todos los resortes y en consecuencia la relación elasto - plástica entre la fuerza y el alargamiento de cada uno de ellos es común. Tal relación se define en la Figura 7, donde el tramo 1 -2 representa plasticidad perfecta cuando el resorte está sometido a un esfuerzo negativo superior a su resistencia a la compresión. En cambio, los tramos 2 - 3 y 3 - 4 muestran una respuesta lineal elástica de pendiente muy alta, que tienden a un comportamiento rígido. El proceso de fractura está representado mediante el ablandamiento plástico del resorte mostrado en los tramos 4 - 5 y 5 - 6, el cual finaliza con la transmisión de una fuerza cohesiva muy baja en el tramo 6-7.

En la simulación se aplicaron 19 incrementos del desplazamiento vertical o deflexión en la mitad de la luz de 0.1 mm cada uno hasta obtener una deflexión de 1.9mm.

La respuesta estructural de la viga se representa mediante la relación entre la carga ex8terna puntual aplicada P y la deflexión en la mitad de la luz δ. La Figura 8 indica dicho resultado en cada uno de los incrementos de δ, donde se observa un comportamiento lineal elástico inicial limitado por una carga máxima, seguido de la reducción progresiva no lineal de la carga con el aumento de la deflexión que conserva como asíntota a P= 0. La carga máxima calculada por el modelo numérico es 1.14 veces mayor que la obtenida en el ensayo experimental, debido a la baja densidad de elementos finitos en la zona de fractura.

Figura 6. Detalle de la malla de elementos finitos en la zona de fractura: (a) tramo superior, (b) tramo intermedio y (c) tramo inferior

Figura 7. Relación Fuerza - alargamiento de los resortes: (a) gráfica, (b) tabla

La formación de una fisura real se representa en el modelo numérico como el conjunto de puntos donde los resortes han perdido su capacidad cohesiva, es decir, cuando la fuerza adquiere un valor casi nulo como lo indica el tramo 6 - 7 de la Figura 7. Por lo tanto la punta de fisura está ubicada contiguo al último punto cuyo resorte perdió la cohesión.

Durante la aplicación del desplazamiento vertical en la simulación, el esfuerzo principal mayor σ1 se concentra en el interior de la zona de fractura y en su vecindad, más exactamente en la punta de la fisura. La Figura 9 presenta la distribución de σ1 cerca a la zona de fractura en una escala de colores fija para algunos de los estados de desplazamiento, indicados por los números mostrados en la Figura 8.

Figura 8. Relación entre la carga aplicada y la deflexión en la mitad de la luz obtenida de la simulación numérica V1E4-20

Figura 9. Evolución de la distribución del esfuerzo principal mayor obtenida de la simulación numérica V1E4-20 (kg/cm2): estados 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 16 y 19

El estado 1 corresponde al comportamiento elástico de la viga con valores bajos de esfuerzo. En el estado 2 aparece una zona de esfuerzo máximo a tracción en el extremo de la entalla que se desplaza hacia arriba progresivamente en los estados 3 y 4. Dicho bulbo de concentración del esfuerzo es igual a la resistencia a tracción del concreto, e indica la posición de la punta de fisura en cada estado de desplazamiento. En los estados del 5 al 8, la pendiente de la curva fuerza - desplazamiento es negativa (Figura 8), mientras que la zona de esfuerzo máximo a tracción se acerca a la cara superior de la viga (Figura 9). Del estado 12 al 19, la carga resistente es muy baja y decrece suavemente, mostrando esfuerzos de tracción en toda la viga excepto en la cara superior, donde se conserva una pequeña zona de esfuerzo de compresión. En los estados finales se conserva una carga resistente aproximadamente constante igual al 11% de la carga máxima debido a que el modelo numérico no supone un límite de resistencia a compresión. En estos estados de esfuerzos la dirección del eje principal mayor se puede considerar paralela al eje x, lo cual asegura que los resortes están orientados adecuadamente.

La misma viga se simuló con cinco mallas de elementos finitos diferentes. Las mallas denominadas V1E4-10 y V1E4-20, cuentan con 10 y con 20 elementos bidimensionales cuadrilaterales de 4 nudos en la zona de fractura, respectivamente, como lo ilustra la Figura 10. En cambio, las mallas designadas como V1E8-20, V1E8-40 y V1E8-80, tienen 20, 40 y 80 elementos bidimensionales cuadrilaterales de 8 nudos en la zona de fractura, respectivamente.

Figura 10. Detalle de las diferentes mallas de elementos finitos en la zona de fractura: (a) mallaV1E4-10 (b) mallaV1E4-20, (c) malla V1E8-20, (d) mallaV1E8-40 y (e) mallaV1E8-80

 

La Figura 11 indica la respuesta estructural obtenida experimentalmente por Petersson (1981), calculada mediante el modelo numérico de fisura embebida presentado por Alfaiate et al. (2003), y conseguida mediante las diferentes mallas del modelo propuesto. A medida que la malla es más fina, se observa que la carga pico de la viga se acerca más al resultado experimental. Sin embargo, las mallas V1E4-20, V1E8-20, V1E8-40 y V1E8-80, es decir, con más de 20 elementos en la zona de fractura, muestran una respuesta estructural post - pico casi igual.

Figura 11. Relación entre la carga aplicada y la deflexión en la mitad de la luz de la viga V1, obtenidos de ensayos experimentales y simulaciones numéricas (Alfaiate et al., 2003)

La viga V2 tomada de los trabajos de Sancho et al. (2007), tiene una longitud L=2.00m, profundidad de entalla c=0.20m y sección transversal de b=0.10m de base y h=0.50m de altura. Las propiedades mecánicas del concreto definidas en la referencia son las siguientes: módulo de elasticidad E=20 GPa, relación de Poisson v= 0.15, energía de fractura GF = 100N/m y resistencia a la tracción σt = 2.50MPa. Se aplicaron 19 incrementos del desplazamiento vertical en la mitad de la luz de 0.05mm cada uno hasta obtener una deflexión de 0.95mm.

La viga se simuló con cuatro mallas de elementos finitos diferentes. Las mallas denominadas V2E4-20 y V2E8-20, en la zona de fractura tienen 20 elementos bidimensionales cuadrilaterales de 4 nudos y de 8 nudos, respectivamente. En cambio, las mallas designadas como V2E8-50 y V2E8-100 tienen 50 y 100 elementos bidimensionales cuadrilaterales de 8 nudos en la zona de fractura.

La Figura 12 muestra la respuesta estructural obtenida de la simulación numérica realizada con modelos de fisura cohesiva presentados por Sancho y sus colaboradores (2007), y los calculados con diferentes mallas del modelo propuesto. Se observa que los resultados de las cuatro mallas son similares, con valores de carga un 4% mayor a la solución presentada por otros autores (Sancho et al., 2007).

Figura 12. Relación entre la carga aplicada y la deflexión en la mitad de la luz de la viga V2, obtenidos de simulaciones numéricas con modelos de fisura cohesiva (Sancho et al., 2007)

La viga V3 tomada de los ensayos experimentales desarrollados por Kormeling y Reinhardt (1983), tiene una longitud L=0.45m, profundidad de entalla c=0.05m y sección transversal de b=0.10m de base y h=0.10m de altura. El concreto cuenta con un módulo de elasticidad E=20 GPa, relación de Poisson v = 0.20, energía de fractura GF 113N/m, resistencia a la tracción σt = 2.40MPa y resistencia a la compresión aproximada σc =24.0MPa. Se aplicaron 19 incrementos del desplazamiento vertical en la mitad de la luz de 0.03mm cada uno hasta obtener una deflexión de 0.57mm.

La viga se simuló con cuatro mallas de elementos finitos diferentes. Las mallas denominadas V3E4-20 y V3E8-20, en la zona de fractura tienen 20 elementos bidimensionales cuadrilaterales de 4 nudos y de 8 nudos, respectivamente. En cambio, las mallas designadas como V3E8-40 y V3E8-80 tienen 40 y 80 elementos bidimensionales cuadrilaterales de 8 nudos en la zona de fractura.

La Figura 13 muestra la respuesta estructural obtenida de los ensayos experimentales de Kormeling y Reinhardt (1983), del modelo de fisura embebida presentado por Lotfi y Shing (1995) y de las cuatro mallas del modelo propuesto. Se observa una fuerte coincidencia entre las curvas de las cuatro mallas, sin embargo, la carga máxima es aproximadamente un 5% más alta que el límite superior del valor experimental. Así mismo, el comportamiento post - pico del modelo propuesto se acerca al modelo numérico presentado por otros autores (Lotfi y Shing 1995) y muestra una carga mayor al resultado experimental.

Figura 13. Relación entre la carga aplicada y la deflexión en la mitad de la luz de la viga obtenidos de ensayos experimentales y simulaciones numéricas (Lotfi y Shing 1995)

6. Conclusiones

Como conclusión general se indica que la respuesta estructural de vigas de concreto simple con trayectoria de fisura conocida y mecanismo de apertura en modo I, se puede obtener aproximadamente mediante un modelo simplificado de fisura cohesiva discreta, en el cual el proceso de fractura se representa mediante resortes elasto - plásticos normales a la trayectoria de fisura, mientras que el resto de la estructura se representa con elementos bidimensionales elásticos. Cuando el esfuerzo principal mayor alcanza la resistencia del concreto a tracción, comienza el ablandamiento plástico de los resortes entre las caras de la fisura y la descarga elástica en los elementos finitos bidimensionales de la vecindad.

La diferencia entre la respuesta estructural numérica y experimental puede producirse por el uso de valores típicos supuestos de algunas propiedades mecánicas del concreto en el modelo numérico.

Las propiedades mecánicas del concreto indispensables para describir el proceso de fractura con el modelo propuesto son: la energía de fractura, la resistencia a la tracción y la relación entre el esfuerzo cohesivo y la apertura de fisura. Esta última se puede describir adecuadamente con una curva bilineal.

En el modelo numérico de las vigas de concreto, la punta de la fisura se ubica en la vecindad del último resorte que tiene fuerza cohesiva nula. En este punto se observó un bulbo de concentración del esfuerzo principal mayor en los elementos finitos de concreto, el cual cambiaba con el aumento de la carga externa aplicada. Sin embargo, el ablandamiento definido en la zona de fractura obliga a que este esfuerzo sea igual o inferior a la resistencia a tracción del material.

En una viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro de la luz, los resultados del análisis del proceso de fractura se acercan a la respuesta experimental cuando la altura del elemento finito bidimensional es menor a 1/20 de la altura total de la viga.

A diferencia de otros modelos de fisura cohesiva, este trabajo presenta una metodología simplificada aplicable directamente a programas comerciales de análisis no - lineal con elementos finitos que incluyan en su librería a elementos bidimensionales elásticos y elementos unidimensionales elasto - plásticos.

Esta metodología ofrece resultados satisfactorios de la simulación numérica de uno de los ensayos experimentales normalizados del proceso de fractura en modo I. Lo cual contribuye y asegura el desarrollo de futuros modelos más complejos que representen el comportamiento mecánico en estructuras de concreto simple con una o más fisuras de trayectoria desconocida.

7. Referencias

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Fecha de recepción: 11/ 08/ 2010 Fecha de aceptación: 12/11/2010

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