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Revista ingeniería de construcción

versión On-line ISSN 0718-5073

Rev. ing. constr. vol.27 no.3 Santiago dic. 2012

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-50732012000300004 

Revista Ingeniería de Construcción Vol. 27 No3, Diciembre de 2012 www.ricuc.cl PAG. 155 - 180

Desarrollo de un algoritmo computacional para la estimación de la tensión de cables en puentes atirantados con base en la medición experimental en laboratorio y campo de sus modos y frecuencias naturales de vibración

 

Giordano Avellaneda*, Ricardo Noguera*, Edgar Muñoz1*

* Pontificia Universidad Javeriana. COLOMBIA

Dirección de Correspondencia


RESUMEN

En la presente investigación, se propone una nueva metodología para estimar la tensión de los tirantes con base en sus modos y frecuencias naturales de vibración, mediante el desarrollo de un aplicativo computacional apoyado en el método de los elementos finitos (FEM) y en el análisis detallado de las señales. Para ello se presenta en este documento un estado del arte con algunos de los trabajos desarrollados en el mundo, un marco conceptual y la metodología planteada para su desarrollo y ejecución. El aplicativo computacional fue generado en MATLAB® y validado a través de mediciones experimentales en un prototipo a escala y en algunos cables de un puente atirantado en Colombia cuando estaba en proceso de construcción, con el cual se permite estimar la magnitud de la tensión de los tirantes con errores mínimos.

Palabras Clave: Frecuencias naturales, tensión, elementos finitos, señales, monitoreo e instrumentación.


1. Introducción

En la actualidad, la construcción de puentes atirantados en se está haciendo más frecuente; la implementación de este tipo de estructura no se debe solo a las ventajas estéticas y arquitectónicas que aporta al entorno, sino por el enfoque a las características que poseen. Los puentes atirantados permiten el desarrollo de grandes luces que pueden alcanzar valores de hasta 1088 m [Nanjing, 2008], por lo cual, junto a los puentes colgantes, los convierte en el sistema estructural preferido para el desarrollo de este tipo de proyectos. Además de esto, su versatilidad les permite ser también aplicables a luces relativamente cortas, entre 100 y 150 m, por lo que también entran a competir con sistemas como el de voladizos sucesivos, extradosados, puentes en arco y demás tipologías.

Los puentes al igual que las vías, son obras de infraestructura cuyo propósito es contribuir a la movilidad y flujo de vehículos, esto implica que están sometidos a escenarios de carga y descarga, los cuales generan desgaste de los elementos por fatiga y demás procesos mecánicos asociados a este tipo de situación.

Todo esto es bien sabido por las entidades encargadas de estas estructuras de carácter "público", por esto poseen procesos establecidos para mitigar estos fenómenos, que constan de un continuo mantenimiento y, de ser necesario, de rehabilitación de los elementos que los componen con el objetivo de mantener su funcionalidad durante el tiempo de vida útil.

En el mantenimiento y rehabilitación de los puentes atirantados se revisan el pilón, el tablero y los tirantes; para los dos primeros existen pruebas de laboratorio y procesos de instrumentación que permiten verificar y estimar las propiedades mecánicas de los materiales que los componen, sin embargo, en el caso de los tirantes, el procedimiento actual se basa en una revisión visual (con el fin de conocer la integridad de los cables ante efectos químicos) y una comprobación de las tensiones de los mismos con un gato hidráulico, instrumento que muy preciso pero que requiere la liberación parcial de los torones que componen al tirante, situación que implica una pérdida de capacidad de la estructura durante el procedimiento, por lo que este tipo de revisión exige el cierre temporal (parcial o total) de la estructura para evitar cualquier tipo de falla.

Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene como objetivo de la presente investigación, proponer un método numérico para estimar la tensión de tirantes con base en sus modos y frecuencias naturales de vibración, mediante el aplicativo computacional apoyado en el método de los elementos finitos (FEM) y en análisis detallados de las señales obtenidas mediante su instrumentación.

2. Metodología

Inicialmente se realizó una profunda investigación del estado del conocimiento de trabajos concernientes a la estimación de la tensión en los cables, además se estudiaron temas relacionados a la modelación con elementos finitos de este tipo de estructuras, estudio y análisis de señales. Para la modelación a escala, se buscó información relacionada con la utilización de modelos realizados en otras investigaciones y condiciones para escalar la geometría que permitieran un comportamiento representativo de los cables.

Se Diseñó y elaboró un prototipo a escala evitando la presencia de deformaciones no deseadas, en cuanto al comportamiento de la estructura, se desarrollaron varios escenarios para seleccionar adecuadamente las cargas aplicadas a los cables con la finalidad de representar con la mayor fidelidad el fenómeno de la vibración y obtener frecuencias de un orden similar a las de un puente real que permitieran validar con mayor confiabilidad el algoritmo.

Paralelo a la elaboración del prototipo se realizó la programación del aplicativo computacional, el procedimiento que este usaría y las herramientas con que contaría. Para todo lo previamente estudiado y la correcta ejecución del prototipo, se realizaron diagramas de flujo para esclarecer el funcionamiento del programa. El elemento finito que se utilizó, fue seleccionado con ayuda de las primeras instrumentaciones realizadas al modelo a escala e información previa que se tenía de otros cables, esto, con el objetivo de garantizar una correcta modelación matemática.

Contando con estas dos partes, se realizó una calibración y ajuste del aplicativo, tomando en consideración la información obtenida de la modelación a escala, de la cual se obtuvo información respecto a las variables preponderantes del fenómeno (como la masa y las propiedades geométricas), así mismo se estableció la cantidad de frecuencias con que se trabajaría y las herramientas para la selección de las frecuencias.

Con el aplicativo computacional calibrado, se procedió al paso determinante de la investigación, la aplicación a un puente real, para esto se contó con los permisos de la constructora Conconcreto S. A. y con la información de VSL (encargados de realizar los tensionamientos), las mediciones se realizaron en los tirantes del puente Gilberto Echeverri Mejía, ubicado en Medellín, Colombia.

Finalmente se hizo el correspondiente análisis de resultados y conclusiones, para verificar la precisión del aplicativo computacional y de la metodología empleada.

2.1 Estado del arte

Para el desarrollo de la investigación se tuvo en consideración los estudios y avances logrados por diferentes autores que se resumen a continuación:

Tabla 1. Trabajos relacionados con la presente investigación

Los 2 últimos trabajos fueron utilizados para la selección y aplicación del elemento finito del aplicativo computacional.

2.2 Marco conceptual

2.2.1 Teoría general de cables

Los cables presentan un comportamiento muy particular, lo cual implica un estudio detallado de su comportamiento mecánico, primero dado que la curvatura generada por el efecto de catenaria condiciona la rigidez del elemento (efecto producido por la deformación inducida por el peso propio). Segundo dado que la tensión a la que se encuentra sometido el cable es inversamente proporcional a la deformación por el peso propio. Cuando un cable es ligeramente excitado, sus desplazamientos pueden observarse, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Diagrama de los desplazamientos en un cable excitado. (Iirvine, 1981)

Este equilibrio se puede escribir de la siguiente forma:

(1)

Donde u y w son las componentes horizontal y vertical respectivamente del plano en movimiento, ν es la componente que sale del plano y τ es la tensión adicional generada por la vibración.

Luego de simplificar las ecuaciones y descartar su componente horizontal, estas pueden ser reducidas:

(2)

Donde

(3)

Según la respuesta estática, h es la componente horizontal adicional de tensión y está en función del tiempo. La ecuación de primer orden del cable puede ser escrita como:

(4)

Integrando:

(5)

Debido a que el modo horizontal del cable no genera una amplitud suficientemente grande en comparación con los modos que consideran la componente vertical, este es descartado, por lo que solo se trabaja con el plano vertical [Fuente: Irvine 1981].

Movimientos fuera del plano

Los modos de vibración serán considerados inicialmente debido a su facilidad de análisis. Escribiendo v(x,t)=(x)e/ donde ω es la frecuencia angular de vibración. La Ecuación 3 puede ser reducida a (Irvine 1981):

(6)

Teniendo como condiciones iniciales que V(O) = v(l) = 0, donde se determina que las frecuencias naturales y los modos asociados son:

(7)

Dependiendo si se tiene en cuenta el efecto de catenaria y de rigidez a flexión, los métodos de vibración pueden ser clasificados en cuatro categorías. La primera categoría no tiene en cuenta el efecto de catenaria ni la rigidez a flexión, se puede escribir como la siguiente Ecuación:

(8)

Donde:

es la tensión del cable.

es la masa del cable.

es la longitud del cable.

fn denota la n frecuencia natural.

 

Esta fórmula es válida para un cable delgado y largo.

La segunda categoría se refiere a la teoría moderna de cables. Cuando se considera la rigidez a flexión del cable se debe recurrir a la siguiente Ecuación:

(9)

Donde "El" representa la rigidez a flexión del cable. [Fuente: Irvine 1981].

2.2.2 Análisis de cables por elementos finitos

Este suele hacerse a través de un grupo definido de elementos finitos, los cuales son: elementos de dos nodos tipo Truss (ANSYS, 2009), elementos de múltiples nodos, los cuales tienen la ventaja de tener funciones de forma de mayor orden, aunque requieren de integración numérica y finalmente, elementos curvos con grados de libertad rotacionales. El elemento de dos nodos es el más común de los anteriormente mencionados, la matriz de rigidez de este es básicamente la de un elemento sometido a efectos axiales, sin embargo, presenta una serie de limitaciones que lo hacen aplicable a solo ciertos casos específicos.

Dentro de las consideraciones, está que el cable a modelar debe tener una longitud no muy larga y una pre-tensión alta, para la correcta modelación se debe calcular un módulo de rigidez axial efectivo (para tener en cuenta el efecto de catenaria). A continuación se muestra la matriz de rigidez tangencial del elemento truss.

(10)

Donde el valor de "Ê" es el módulo de elasticidad equivalente (para considerar el efecto de catenaria), el cual puede ser calculado por medio de la expresión (fórmula de Dischinger):

(11) 

Donde:

γ es el peso por unidad de longitud del cable.

l es la proyección horizontal del cable.

T la tensión interna del elemento.

A el área y

E el módulo de Young.

Es habitual no usar la proyección horizontal del cable sino la proyección del peso en la componente local del cable. Además de la matriz tangencial, se requiere de una matriz adicional de rigidez geométrica, función de la tensión:

(12)

Esta matriz le da estabilidad al cálculo del elemento; no obstante, adicional a esta información, es necesario utilizar fórmulas de interpolación -funciones de forma y demás expresiones- que describan la geometría de la catenaria, si se realiza el cálculo con una condición no deformada, los resultados no serían adecuados -para un análisis modal, este método puede permitir la aparición de eigen-valores imaginarios producto del grado de precisión con que se calculó la geometría del elemento-.

El elemento multinodal es una versión más sólida del elemento de dos nodos en cuanto a precisión y convergencia, las limitaciones siguen siendo similares por lo que su aplicabilidad continúa siendo relativa a cables con deformaciones pequeñas, de lo contrario, se requeriría de una gran cantidad de elementos para evitar errores de convergencia. Finalmente, el modelo con elementos curvos es el más efectivo de estos, al usar un elemento sencillo de dos nodos sin necesidad de nodos internos que puede ser utilizado para pequeñas deflexiones, como ocurre en el caso de puentes atirantados y así mismo para grandes deflexiones en cables de puentes colgantes (esto también implica que el elemento permita analizar cables cortos y largos de puentes atirantados con igual precisión).

Elemento de cable curvo: Elemento catenaria (Thai y Kim, 2010), (Karoumi, 1997)

Este elemento está basado en las expresiones analíticas exactas del elemento de catenaria elástico, dentro de las consideraciones se tiene que el cable es perfectamente flexible y que el peso propio está distribuido a lo largo de su longitud, también se considera constante el valor del área transversal del cable, tal como se ve en la Figura 2.

Figura 2. Elemento tridimensional de catenaria. (Thai y Kim, 2010)

Las Ecuaciones de equilibrio para el cable son las siguientes (en coordenadas lagrangianas):

(13)

(14)

(15)

Donde:

F1, F2 y F3 son las reacciones en x, y y z, respectivamente.

w es el peso por unidad de longitud.

S es la longitud de la cuerda (la longitud curva deformada).

Por estática se puede expresar la tensión como la suma de las componentes de las reacciones:

(16)

De igual forma, la tensión puede ser relacionada con la deformación unitaria por medio de la ley de Hooke a partir de la siguiente expresión:

(17)

Siendo E el módulo de Young y A el área transversal.

Las relaciones entre las coordenadas lagrangianas y cartesianas son las siguientes:

(18)

(19)

(20)

Las cuales presentan las siguientes condiciones de frontera: x(0) = y(0) = z(0) = 0,x(L0) = 1 x, y(L0) = 1 y, z(L0) = 1z. A partir de las anteriores expresiones, es posible formular las longitudes proyectadas del cable en los tres ejes del siguiente modo:

(21)

(22)

(23)

De modo que 1x, 1y y 1z son respectivamente función de F1, F2 y F3.

 

Luego, la matriz de rigidez y las correspondientes fuerzas internas del elemento pueden ser obtenidas a partir de un proceso iterativo de las anteriores funciones, derivando a ambos lados estas expresiones se obtienen las siguientes ecuaciones:

(24)

(25)

(26)

Las cuales se pueden expresar igualmente en forma matricial:

(27)

En donde "f" es la matriz de flexibilidad cuyas componentes

(28)

(29)

(30)

(31)

"Ti" y "Tj" son las tensiones al inicio y al final del elemento, que pueden ser calculadas como:

(32)

(33)

Del mismo modo F4,F5 y F6 pueden ser calculadas como:

(34)

(35)

(36)

Ahora bien, la matriz de rigidez es el resultado de calcular la inversa de la matriz f:

(37)

Finalmente, la matriz de rigidez tangencial del elemento sería:

(38)

Una vez obtenidos los valores, es posible calcular la geometría del elemento además de su longitud inicial y longitud deformada:

(39)

Longitud deformada, donde λ es calculada como:

(40)

La deflexión se calcula con la siguiente expresión (en la cual X está normalizado en función de la proyección horizontal).

(41)

2.3 Desarrollo del algoritmo computacional

 

Figura 3. Diagrama de flujo del aplicativo computacional. (Avellaneda y Noguera 2011)

Los parámetros de entrada son las propiedades y geometría del cable, el peso y la posición del acelerómetro y el archivo de las señales a utilizar provenientes de la instrumentación realizada. A partir de la modelación del cable y los resultados experimentales de las señales, se realiza el cálculo por medio una regresión múltiple Figura 4.

Figura 4. Tensión calculada (Regresión múltiple). (Avellaneda y Noguera 2011)

La determinación del espectro se realiza a través de la transformada de Fourier, MUSIC, eigen-vectores o covarianza modificada. Estos métodos son ideales para obtener una noción clara de cuál debe ser el valor de los picos que se van a identificar, por lo que el uso de estos espectros en conjunto con análisis modal permite rectificar la selección de picos.

2.4 Diseño y construcción del modelo a escala

Para el diseño de este prototipo se realizó inicialmente un modelo en SAP2000, con el cual se pudo revisar que las deformaciones fuesen pequeñas, de tal forma que no afectaran las condiciones de frontera al instrumentar los tirantes. el modelo se muestra en la Figura 5 y 6.

Figura 5. Modelo computacional del prototipo a escala del puente, realizado en SAP2000. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Figura 6. Modelo a escala construido. (Avellaneda y Noguera, 2011)

2.5 Calibración en laboratorio Calibración cable 1

Inicialmente se introdujo al programa las propiedades generales del cable y que se pueden observar en la Tabla 2.

Tabla 2. Propiedades del cable 1 usadas para la calibración del algoritmo computacional. (Avellaneda y Noguera 2011)

Luego se filtró la señal para un rango evaluado, tal como se ve en la Figura 7, este procedimiento se realizó para las tres señales restantes de las otras cargas. El siguiente filtro está realizado con la señal de la carga de 84.87 kg.

Figura 7. Señal de cable 1 filtrada (Avellaneda y Noguera, 2011)

Los análisis para las cuatro tensiones aplicadas en orden ascendente se pueden observar en las Figuras 8, 9, 10 y 11 respectivamente.

Figura 8. Análisis del cable 1 con la tensión de 19.43 kg aplicada. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Figura 9. Análisis del cable 1 con la tensión de 34.69 kg. aplicada (Avellaneda y Noguera, 2011)

Figura 10. Análisis del cable 1 con la tensión de 51.47 kg aplicada. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Figura 11. Análisis del cable 1 con la tensión de 84.87 kg aplicada. (Avellaneda y Noguera, 2011)

 

Finalmente, del análisis se puede observar en la Tabla 3 la comparación de la tensión real aplicada al cable y la tensión calculada con el algoritmo computacional calibrado.

Tabla 3. Comparación de los resultados experimentales con los calculados para el cable 1. (Avellaneda y Noguera, 2011)

 

2.6 Validación del desarrollo en tirantes reales

Para la validación de este método se hicieron pruebas en tirantes del puente atirantado Gilberto Echeverri Mejía durante su proceso de construcción en Medellín Colombia. Su longitud total es de 560 m de los cuales 213 m corresponden a un puente atirantado y los 347 m restantes están distribuidos en puentes continuos con dos viaductos de acceso. Este puente cuenta con tres planos diferentes de tirantes que salen de los dos pilones de 47 m de altura y se encargan de mantener suspendido un tablero -preesforzado y con múltiples dovelas-de 40.5 m de ancho con cuatro carriles en cada sentido, andenes amplios y un separador con jardines.

El puente consta de 51 tirantes; 18 en el primer plano lateral, 17 en el segundo plano lateral y 16 en el plano central.

La separación de las torres es de 108 m, estas se apoyan en una cimentación conformada por dados de 1000 cm3 aproximadamente, que a su vez están soportados en 20 pilotes de 2 m de diámetro a 17.5 m de profundidad. Está conformado por tres vigas principales que coinciden con los tres planos de tirantes. Entre las vigas el tablero está compuesto por un aligeramiento con nervios cada 3 m, una placa superior y otra inferior. El avance del proyecto se puede observar en la Figura 12.

Figura 12. Puente Gilberto Echeverri Mejía en la ciudad de Medellín. (Gaona, 2011)

El tirante 18 es uno de los más largos de todo el puente. Para su análisis se utilizaron las propiedades que se muestran en la Tabla 4.

Tabla 4. Propiedades del tirante 18. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Previo al análisis de la tensión que se realizó para el tirante 18, VSL Internacional suministró la tensión real que tenía este tirante ya que fue el último en el que hubo re-tensión, la cual fue de 658 Ton, tal como se ve en la Figura 13.

Figura 13. Monitoreo del tirante 18. Ref. Ing. Ciro Martínez, VSL Internacional. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Cuando se instrumentó este tirante se tomaron tres señales diferentes, cada una en dos ejes, por lo que se cuenta con seis señales. Con cada una de ellas se realizó el análisis de la tensión que está reflejado a continuación.

• Análisis con la señal 1:

Figura 14. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 1. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Análisis con la señal 2:

Transformada de Fourier:

Figura 15. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 2 con Fourier. (Avellaneda y Noguera, 2011)

MUSIC:

Figura 16. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 2 con MUSIC. (Avellaneda y Noguera, 2011)

 

Eigen-Vectores:

Figura 17. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 2 con eigen-vectores. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Modified covariance:

Figura 18. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 2 con Fourier. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Tabla 4. Tensión calculada para la señal 2 con los diferentes métodos de espectros. (Avellaneda y Noguera, 2011)

• Análisis con la señal 3:

Figura 19. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 3 (Avellaneda y Noguera, 2011)

• Análisis con la señal 4:

Figura 20. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal 4. (Avellaneda y Noguera, 2011)

• Análisis con la señal 5:

Primero se realizó el filtrado de la señal:

Figura 21. Filtro utilizado para la señal. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Figura 22. Filtrado de la señal 5 en el tirante 18. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Después se realizó el análisis para determinar las tensiones:

Figura 23. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Para determinar las tensiones se pasa por un proceso de regresión:

Figura 24. Procedimiento de cálculo de las tensiones. (Avellaneda y Noguera, 2011)

Finalmente se obtuvieron los demás resultados del cable:

Figura 25. Resultados para la señal. (Avellaneda y Noguera, 2011)

• Análisis con la señal 6:

Figura 26. Resultados de la tensión del tirante 18 usando la señal. (Avellaneda y Noguera, 2011)

En la Tabla 6 se tabulan todos los resultados con los cálculos de las diferentes señales para el tirante 18.

Tabla 6. Resultados de las tensiones para las diferentes señales. (Avellaneda y Noguera, 2011)

3. Conclusiones

El aplicativo computacional generado en MATLAB® cumple a cabalidad con su objetivo, siendo capaz de lograr estimaciones y cálculos de la tensión con errores de incluso el 0.07%.

La herramienta incluida en el programa que genera el comportamiento del cable para cada modo de vibración, es un parámetro importante para facilitar la selección de las frecuencias más representativas, permitiendo una "identificación modal" del cable para correlacionar las frecuencias medidas con las que corresponden a cada forma de vibrar.

El procedimiento en campo requiere únicamente de posicionar uno o varios acelerómetros -preferiblemente en el centro de la luz del cable- lo cual con el debido equipo no supone un gran problema -en las situaciones más desfavorables una medida no tomó más de 30 minutos, en los cuales se tomaron seis registros-.

Los resultados de los ensayos en el modelo a escala demostraron que las frecuencias predominantes en el cable medido suelen ser las que generan movimientos perpendiculares a la dirección del cable y ocurren en el plano del cable.

Los modos laterales analizados daban valores muy similares al modo que les precedía, es decir, considerar en el análisis al cable en tres dimensiones no da más precisión, dado que se repetiría básicamente cada frecuencia.

El modelo a escala permitió observar que las primeras frecuencias eran más representativas para el análisis del cable, puesto que las frecuencias más altas solían tener mayor dispersión entre una toma y otra, por ello se determinó utilizar como mucho las primeras ocho frecuencias, que en la mayoría de análisis, aparecían con mayor facilidad y con una menor variación.

La utilización de diferentes métodos para la generación de espectros permite una identificación más objetiva de las frecuencias con las que el cable analizado vibra, de modo que la identificación de los "picos" es más precisa y, por ende, los resultados obtenidos más confiables.

La variable más sensible dentro de los parámetros de entrada es la masa ("peso" dentro del programa, el cual se encarga de hacer la respectiva operación para calcular la masa), esta es inversamente proporcional a la frecuencia y su impacto en la estimación y cálculo de la tensión es tal que un cambio ligero en esta puede significar la variación de un error de 0.5% a 5%.

Por la facilidad del procedimiento en conjunto (instrumentación, análisis y cálculos con el programa), constituyen una herramienta rápida y efectiva para realizar revisiones en los tirantes de un puente de este tipo (atirantado), aunque en general es extensible a cualquier tipo de cable que esté sometido a una tensión y a su peso propio.

La confiabilidad del método sumado a su versatilidad le permite ser una buena herramienta para procesos de interventoría y para chequeos rutinarios de la estructura, del mismo modo sería una herramienta práctica a la hora de hacer una evaluación del estado de un puente previamente construido (ya sea con fines de rehabilitación, ampliación, etc.).

Gracias a la confiabilidad del método desarrollado, se evita la necesidad de utilizar un gato hidráulico para hacer controles de los tirantes para revisar que cumplan con las normas internacionales y, en casos extremos, hacer rediseños de los mismos.

4. Agradecimientos

Se agradece a Concocreto S.A y VSL Colombia por el apoyo logístico y permiso que se tuvo para poder realizar la labor de campo en este trabajo de investigación. Se agradece especialmente al ingeniero Ciro Martínez de VSL Colombia.

5. Referencias

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E-mail: edgar.munoz@javeriana.edu.co

Fecha de Recepción:27/06/2012 Fecha de Aceptación:15/10/2012

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