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Revista ingeniería de construcción

versión On-line ISSN 0718-5073

Rev. ing. constr. vol.33 no.2 Santiago ago. 2018

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-50732018000200193 

Articles

Golpe de ariete en una red de tuberías debido al cierre rápido de una válvula

J. Twyman*  1  

*Twyman Ingenieros Consultores. Rancagua. Chile

Resumen:

El golpe de ariete en las redes de tuberías es un tema poco discutido en la literatura técnica. Esto puede deberse a la creencia de que la forma de la red ayuda a reducir su impacto, ya que las ondas de presión tienden a subdividirse a medida que se propagan a través de las tuberías del sistema. En este artículo, se analiza el golpe de ariete en una red de tuberías debido al cierre de una válvula modelada como si fuera de tipo mariposa, compuerta circular, compuerta cuadrada, bola, aguja y globo. Se concluye que los valores extremos de la presión dependen del tipo de válvula que se está cerrando, y que la forma de la red no es un factor relevante que ayude a atenuar las presiones transitorias.

Palabras Clave: golpe de ariete; Método de las Características; sistema de distribución de agua; válvula.

Introducción

El golpe de ariete es un fenómeno hidráulico que se manifiesta a través de los cambios excesivos de presión cuando la velocidad de un fluido se ve alterada debido a la manipulación o falla de los dispositivos hidráulicos (válvulas, bombas, etc.), cambios en la demanda de agua, errores humanos, etc. (Bergant et al. 2010); (Malekpour et al. 2015). El cambio de presión depende principalmente de la causa del transiente, del punto de ubicación de la alteración, de la forma y configuración del sistema, del tamaño de la tubería, del material que la conforma, etc. También influye la fricción del transiente, el contenido de aire en el agua, la interacción fluido-estructura, la demanda de agua en los nodos, las pérdidas por fricción debido a tuberías laterales más pequeñas y la interacción de tuberías y conexiones con el suelo circundante. (Jung et al. 2007) reconocen que los transitorios son inevitables en los sistemas de distribución de aguas (SDA) y que normalmente se producen por la activación de válvulas y bombas por lo que se deben tomar las medidas de protección adecuadas, especialmente cuando se debe evitar la cavitación y el posterior efecto de separación de la columna de agua. Muchos autores han informado la ocurrencia de cambios excesivos en la presión de las redes de tuberías debido al golpe de ariete. Por ejemplo, (Karney y McInnis 1990), analizando un sistema muy simple, demostraron que las redes de tuberías pueden exacerbar más que reducir los aumentos de presión. (Lindley 2001) y (Nadeem 2001) analizan la activación de los hidrantes y la susceptibilidad de los sistemas de distribución de agua a las presiones negativas e intrusión de contaminantes. (LeChevallier et al. 2003) reconocen la existencia del golpe de ariete en los SDA y su responsabilidad en la intrusión de contaminantes debido a las presiones negativas. (Fleming et al. 2005) detectan las presiones negativas en 5 grandes redes de tuberías debido al cierre de bombas, activación de válvulas, rotura de tuberías, etc. (Svindland 2005) estudia la detección y duración de los eventos asociados a presiones negativas en los sistemas de distribución de agua. (Boulos et al. 2005) y (Wood et al. 2005) analizaron la fluctuación de la presión en redes complejas, y estiman que el golpe de ariete puede provocar la intrusión de contaminantes afectando la calidad de las aguas tratadas. (Ebacher et al. 2011) afirman que, en la literatura, existe un creciente interés por la ocurrencia de presiones negativas en los sistemas de distribución de agua potable y en su impacto potencialmente adverso en la calidad del agua del grifo y que para una estimación más precisa de la propensión a la intrusión de contaminantes en SDA, la investigación confirmatoria requerirá la comparación de los resultados del modelo de transiente y de los datos recopilados en terreno. (Daviau y Alkozai 2013) analizan el golpe de ariete generado por el apagado de la bomba en un SDA, verificando la existencia de un transiente suave causado por diversos factores. (Starczewska et al. 2014), al analizar el golpe de ariete en los sistemas de redes, concluyen que las ondas de presión propagadas a través del SDA y, en ciertos casos, la configuración del sistema pueden ayudar a incrementar las ondas de presión dependiendo del lugar y de la forma en que se genere el transiente. (Skulovich et al. 2014) y (Wang et al. 2014) señalan que el análisis cuantitativo y manejo del flujo transitorio se inició recientemente para los SDA y que los avances en el procesamiento de datos permite a muchos ingenieros y modeladores acceder a diversos modelos de golpe de ariete y que el sistema de modelación computacional no sólo permite mejorar la eficiencia del trabajo sino que además le entrega, de manera económica, el soporte técnico para la operación y mantenimiento de toda la red de abastecimiento de agua. (Jung y Karney 2016) afirman que debido a que todos los flujos eventualmente pueden ser alterados, en forma repentina o gradual, durante el ciclo de vida de un sistema, todos los sistemas de tuberías experimentarán inevitablemente los efectos del transiente generado por los cambios asociados a los ajustes operacionales de rutina, error humano, averías de equipos, sismo u otro tipo de alteración. (Wang et al. 2016) indican que las acciones de control repentino en los sistemas de tuberías presurizados, ya sea provocado por las bombas o válvulas, pueden en ocasiones provocar fluctuaciones dramáticas en la presión y en el flujo, y que la combinación entre los efectos del fraccionamiento de la columna de líquido y el golpe de ariete pueden generar presiones máximas mayores a la presión de Joukowski. Se estima que casi el 70-80% de los eventos que provocan daños están asociados a los efectos relacionados con el fraccionamiento de la columna de líquido. Recientemente, el Profesor Emérito Benjamin Wylie en relación a un evento ocurrido por golpe de ariete que afectó a una ciudad de 300.000 habitantes en Oakland County (Detroit Free Press 2017) expresó: “si se tiene un caudal de agua fluyendo a gran velocidad dentro de una tubería y, repentinamente, se produce una parada, entones se acumula una alta presión, de aproximadamente unas 100 veces la velocidad del agua. La alta presión se propaga dentro de la tubería, reflectándose en la válvula de cierre en el extremo opuesto y regresando, oscilando hacia adelante y hacia atrás, más y más, moviéndose a la velocidad del sonido. Este efecto puede producir la explosión de la tubería en algún punto débil y provocar su colapso. La mejor forma de proteger las tuberías y la más fácil es instalar válvulas de cierre lento, sin embargo, si la válvula de cierre se opera en forma remota, el funcionamiento defectuoso puede producir un cierre rápido”. Dependiendo de la importancia de la red, el daño por golpe de ariete puede aumentar los costos económicos, sociales y causar problemas sanitarios debido a: (i) presiones altas que pueden destruir la pared de la tubería; (ii) impulsos de presión que pueden afectar a diversos elementos estructurales: desplazamiento de la tubería, daños en las bridas o fugas de agua y (iii) oscilaciones de la presión (Sumskoi et al. 2016); todas ellas pueden provocar cortes en el abastecimiento de agua y riesgos de intrusión de contaminantes dentro del sistema. Las ecuaciones que rigen el flujo transitorio, junto con la velocidad de la onda y la aplicación del Método de las Características (MC) se discuten ampliamente en los libros clásicos de (Wylie y Streeter 1978) y (Chaudhry 1979). Estos temas también pueden estudiarse en los últimos artículos de (Twyman 2016a); (Twyman 2016b); (Twyman 2017a). Por último, es posible estudiar la forma de plantear y resolver las condiciones de borde dentro del contexto del MC en (Karney y McInnis 1992), por lo que se omitirá entregar más detalles.

Materiales y métodos

Tuberías, secciones y condiciones de borde

Según (Karney y McInnis 1992), una vez que se ha seleccionado un paso de tiempo (∆t), el MC divide la mayoría de los conductos de la red de tuberías en uno o más tramos de longitud ∆x. En adelante, el término tubería queda restringido a los conductos que tienen al menos un tramo característico. El extremo de cada tramo, donde se deben determinar los valores de la altura y del flujo, se denomina sección. En cada extremo de la tubería se debe especificar una relación auxiliar entre la altura y la descarga. Esta relación altura-descarga se denomina condición de borde.

Ecuación para un nodo simple

El término nodo (o unión) indica la ubicación donde concurren las secciones de borde. Para la unión de multi-tuberías sin fricción, se aplica la Ecuación 1 (Karney y McInnis 1992):

Donde t = tiempo de simulación actual, = altura de la unión, Cc y Bc son constantes conocidas, y Qext = flujo externo (positivo cuando se supone que es de la unión). La Ecuación 1 permite calcular en la unión para el número de tuberías que se encuentran en el nodo.

Ecuación para el estanque

Si las pérdidas hidráulicas entre el estanque y la unión de la tubería son despreciables, la altura nodal iguala el nivel de la superficie del estanque, entonces es válida la siguiente expresión (Karney y McInnis, 1992):

(2)

Donde Ho = altura del estanque al inicio del paso de tiempo, Bo=∆t/2Ar, con Ar = área de la sección transversal del estanque, y Qe = descarga externa inicial. Cabe señalar que si la constante Bo es cero, la altura del tanque es independiente de la descarga externa. El término Ho puede ser una constante o una función conocida del tiempo (por ej., ondas en un estanque). La Ecuación 2 se puede usar para representar embalses de altura constante, tanques de almacenamiento y tanques de igualación simples.

¿Qué es una válvula?

Es un dispositivo que regula, direcciona o controla el flujo de un fluido ya sea abriendo, cerrando u obstruyendo parcialmente las diversas vías (Al-Juhani 2012). Algunas de sus principales funciones son: iniciar y detener el flujo de un fluido, variando (estrangulando) la cantidad de fluido, controlando la dirección del flujo, regulando el sistema aguas abajo o presión del proceso, aliviando la sobrepresión de la tubería o de sus componentes.

Clasificación general de las válvulas

Válvula de movimiento lineal: se caracteriza por su vástago que se mueve en una línea recta para permitir, detener o estrangular el flujo (por ej., válvulas de globo y de compuerta).

Válvula de movimiento rotatorio: se caracteriza por su vástago que se mueve a lo largo de un paso circular o angular (por ej., válvulas de bola y de mariposa).

Válvula de cuarto de giro: algunas válvulas de movimiento rotatorio requieren aproximadamente un cuarto de giro, de 0° a 90°, donde el movimiento del vástago va de la posición completamente abierta a la completamente cerrada o vice versa (por ej., válvulas de bola y de mariposa).

Válvula de bola: la válvula de bola es valiosa por su larga vida útil y capacidad de trabajar perfectamente después de años en desuso. La válvula de bola posee en su interior una esfera metálica perforada de un extremo al otro. En la parte superior de la esfera se encuentra una palanca cuyo rango de movimiento es justamente un cuarto de giro. Una de las ventajas de las válvulas de cuarto de giro es que abren y cierran rápidamente. La desventaja es que es muy probable que produzcan golpes de ariete. Por esta razón, en las válvulas de bola es mejor girar la palanca lentamente.

Válvula de compuerta: la válvula de compuerta se opera con un disco que mueve una compuerta hacia arriba y hacia abajo. Cuando la compuerta se encuentra en la posición más baja, bloquea el flujo de agua; cuando se encuentra en la posición más alta, el agua puede circular libremente. Las válvulas de compuerta son susceptibles a la corrosión, la que se puede evitar abriéndola o cerrándola completamente. Un vástago excesivamente corroído puede romperse, inutilizando la válvula. Como la válvula abre y cierra lentamente no produce golpes de ariete. Deberían usarse sólo en la posición totalmente abierta o cerrada. Si se deja una válvula de compuerta parcialmente abierta, vibrará y posiblemente se dañará.

Válvula de globo (también conocida como de movimiento lineal o de vástago ascendente): A diferencia de las válvulas de bola y de compuerta, las válvulas de globo están diseñadas para limitar el flujo de agua. Operan con un disco y un vástago al igual que las válvulas de compuerta, pero el vástago está unido a un tapón que sella/cierra un desviador, dos medias paredes que desvían el agua para que fluya en un patrón en forma de Z. Como el desviador impide que el agua fluya libremente a través de la válvula, aunque se encuentre en la posición completamente abierta, la válvula de globo reduce la presión del agua. Esta reducción hace que el tapón y el asiento sean menos vulnerables al daño. Para que el agua fluya eficientemente a través de una válvula de globo, ésta debe ser instalada de modo que el agua alcance primero la parte superior de la media pared.

Válvula de aguja: En esta válvula, el elemento de cierre es un vástago roscado con extremo cónico. Los vástagos de hilo fino, al girar tienen un movimiento lineal lento, por lo que se necesitan varios giros para abrir completamente la sección. Por eso, la válvula de aguja es adecuada para regular el flujo, con una pérdida mínima y sin cavitación cuando ocurren diferenciales de presión importantes. La apertura lenta y cierre regulado de la válvula de aguja evita la cavitación y el golpe de ariete en el sistema de tuberías.

Válvula de mariposa: En la válvula de mariposa, el flujo se regula con un elemento tipo disco retenido en el centro de la válvula por un eje. Al igual que las válvulas de bola, su tiempo de operación es corto porque el elemento tipo disco gira sólo un cuarto de vuelta (90°) para abrir o cerrar el paso. La válvula de mariposa es de construcción sencilla, peso liviano y diseño compacto. Su dimensión cara a cara, normalmente, es muy pequeña, por lo que la caída de presión es mucho menor que en las válvulas de globo. Los materiales empleados en disco y sellos pueden limitar su uso a altas temperaturas o con cierto tipo de fluidos. Las válvulas de mariposa se usan principalmente en aplicaciones para agua y aire, y en tuberías de gran diámetro.

Válvula de cierre: La operación de dispositivos clave para el control de flujo, como las válvulas, es de gran importancia asegurar los sistemas de distribución de agua, especialmente en caso de emergencia. En muchas instalaciones la provisión de un cierre rápido del flujo es de especial importancia, especialmente en condiciones de emergencia (Nerella y Rathnam 2015). Estos casos requieren un corto tiempo de cierre de la válvula y, por lo tanto, el mecanismo de cierre es importantísimo para reducir el incremento de la de presión máxima (Karney y Ruus 1985). Si bien una válvula de cierre rápido le permite a los ingenieros reducir la pérdida de agua en condiciones de emergencia, lo más probable es que provocará un alza de la presión o golpes de ariete que pueden hacer explotar las tuberías (Yu et al. 2010). Por esta razón, una simulación adecuada es de gran relevancia, aun sabiendo que la magnitud de una subida de presión asociada al cierre de una válvula depende en gran medida de la velocidad del agua, del tiempo de cierre y mecanismo de cierre de la válvula (Karney y Ruus 1985); (Kodura 2016). Durante el cierre de la válvula, la presión a lo largo de las tuberías se eleva y alcanza un máximo. Este máximo puede ocurrir durante o al final de la operación de cierre. La magnitud de la presión máxima y el instante en que ocurre depende en gran medida de la relación entre el tiempo y el tipo de apertura de la válvula. Los mecanismos de cierre de las válvulas se clasifican en base a la duración del movimiento de cierre. El cierre instantáneo se refiere a un mecanismo de cierre donde el tiempo de cierre se aproxima a cero, mientras que el término cierre rápido se refiere a un tiempo de cierre menor a 2L/a (s) (L = longitud de la tubería, a = velocidad de la onda expresada en segundos). En general, a menor tiempo de cierre, mayor será la elevación de la altura de presión. Sin embargo, el aumento máximo real de la presión en el extremo de la válvula, en todos los cierres, se produce en 2L/a (s) o menos (Karney y Ruus 1985). Si el flujo pasa a un estanque a través de una restricción, se puede derivar una expresión general para la pérdida y almacenamiento, que puede ser usada para representar a las válvulas u orificios que descargan en forma lineal a un estanque o a la atmósfera. El flujo externo está relacionado con la altura en la unión mediante la expresión para el orificio (Karney y McInnis 1992):

(3)

Donde s=signo del flujo externo por ej., s = signo (Qext) = ±1y = altura en el costado del nodo del conector. Los términos τ y Es en (3) son los parámetros de las válvulas u orificios. Por convención, τ = 1,0 significa una válvula completamente abierta, mientras que un valor de cero significa que la válvula está cerrada. La apertura o cierre de válvulas puede ser representado si τ es una función del tiempo. La constante de escalamiento de la válvula Es representa dos valores: E+ para el flujo desde la red cuando s = +1,0 y E_- para flujo negativo. Los valores de estos términos serán determinados al conocer HP , , τ y Qext para un flujo positivo y un flujo negativo (más detalles en Karney y McInnis 1992).

Resultados

La Figura 1 representa una red de tuberías, formada por 45 tubos y 29 nodos, donde existen dos condiciones de borde (1 tanque de altura constante y 1 válvula) y dos nodos con demanda fija (presión insensible) de q0 = 50 L/s (nodo 8) y q0 = 15 L/s (nodo 21). Todos los tubos tienen 120m de largo, salvo tubos 8, 15, 30, 36 y 43 que tienen 169,7m de largo; el diámetro de los tubos varía entre 75 y 200mm. Los nodos tienen diferentes elevaciones (z) que varían entre 22m (nodo 1) y 8m (nodo 29). Como los tubos están fabricados con distintos materiales constituyentes, la velocidad de la onda es igual a 1,037-1,102 m/s en los 13 tubos de acero, 778-881 m/s en los 4 tubos de cobre y 181-209 m/s en los 28 tubos de PVC. La red de tuberías se subdividió en 508 tramos, con ∆t = 0,038 (s), que corresponde al paso del tiempo seleccionado para las simulaciones computacionales. El número de Courant es igual a 1,0 para todos los tubos después de aplicar el procedimiento de discretización descrito por (Twyman 2016a); (Twyman 2017b). Se adoptaron los siguientes supuestos a fin de simplificar el análisis numérico: el factor de fricción (Darcy) estable (con valores que varían entre f = 0,017 y f = 0,037), agua con cero contenido de aire y sin presencia de bolsas de aire en las tuberías. Las condiciones de apoyo de los diferentes componentes del sistema (tubos, válvulas, etc.) evitan el movimiento longitudinal, la interacción estructura-fluido o la interacción entre la tubería y el suelo circundante.

Figura 1 Diagrama de la red de tuberías 

Otros supuestos para el análisis son: el diámetro de las tuberías es constante; la válvula se ubica en el extremo aguas abajo del tubo 45 y su mecanismo de cierre es desde la posición completamente abierta a totalmente cerrada; la red no tiene fugas de agua que pudieran afectar el flujo o la presión; el sistema no tiene dispositivos contra el alza de presión (válvulas de alivio de sobrepresión, válvulas de vacío-aire, dispositivos de acumulación, etc.) ni controles de emergencia para mitigar las presiones transitorias inadmisibles; el flujo de estado estable se resolvió usando el programa EPANET (Rossman 1993) y para el flujo transitorio se usó la versión tradicional del MOC. Las variables de estado se calcularon en una malla espacio-tiempo cuadrada y fija (Twyman 2017a). Todas las simulaciones se realizaron en un PC estándar de 32 bits, con velocidad de procesamiento de 1.2 GHz.

Ejemplo

La Figura 2 muestra las aperturas relativas de las válvulas (τ) como función del tiempo que necesitan. En todos los casos, el tiempo de cierre es igual a 1s. Se interpolaron las curvas de cierre de las válvulas usando la fórmula de Newton-Gregory con un orden de interpolación igual a 1, que permite generar soluciones más precisas y eficientes en términos computacionales (Twyman 2018). La Figura 3 muestra lo que sucede en el nodo 29 cuando la curva de cierre de la válvula se modela usando las disposiciones de apertura relativa de la válvula (τ) señaladas en la Figura 2. La Tabla 1 muestra las presiones máximas y mínimas en la red de tuberías según el tipo de válvula simulado.

Figura 2.  Apertura relativa de la válvula (τ) para diferentes tipos de válvulas (Tiempo de cierre = 1s). 

Figura 3 Presión como función del tiempo en el nodo 29 

Tabla 1 Presiones máximas y mínimas (P Máx., P Mín.) 

Discusión y Conclusiones

La Figura 3 muestra que independientemente del tipo de válvula seleccionado, en todos los casos la presión máxima ocurrió en el nodo donde se ubica la válvula y la presión mínima ocurrió cerca de la sección media de la tubería 42. Al cabo de 10s del tiempo de simulación, la presión continúa oscilando sin disiparse por completo. A pesar de que la red de tuberías tiene una forma relativamente intrincada y un 62% de tubos de PVC, donde se espera que la flexibilidad del PVC reduzca significativamente la velocidad acústica y, por lo tanto, las presiones resultantes por golpe de ariete (Malekpour et al. 2015), es incapaz de disipar rápidamente el flujo transitorio generado por el cierre de la válvula. Los sistemas de distribución de agua no tienen la capacidad de atenuar las ondas debidas a los efectos de transmisión, reflexión y superposición asociados a las ondas de presión, generando presiones máximas y mínimas significativas, con el riesgo de exceder la presión incidental máxima permisible (expresada como un factor de la clase Presión Nominal, PN) incluidas en algunas normativas como las mencionadas por (Pothof y Karney 2013). Otro aspecto interesante es que la magnitud de las presiones extremas varía de acuerdo al tipo de válvula que se está simulando. Por ejemplo, la presión máxima registrada por las válvulas tipo aguja y de compuerta (cuadrada) es, en promedio, un 21% mayor que la presión máxima registrada por las válvulas de mariposa, globo, bola y de compuerta (circular); las primeras de forma cóncava y las últimas, convexa. En el caso de las válvulas de aguja, de compuerta (cuadrada, circular) y globo, la presión alcanza el primer valor pico en t= 1.0 (s), que corresponde al tiempo de cierre de la válvula. Para las válvulas de mariposa y de bola, la presión alcanza el primer valor pico en t = 0,9 (s), valor inferior al tiempo de cierre de la válvula. Este resultado refuerza la importancia de una evaluación transitoria desde el inicio de la operación de cierre y no sólo después del cierre de la válvula. En cuanto a las presiones mínimas, las válvulas tipo aguja y de compuerta (cuadrada) registran valores que, en promedio, son un 19% inferior que las presiones mínimas registradas por las válvulas de mariposa, globo, bola y compuerta (circular). Lo anterior, demuestra que, además del tiempo de cierre de una válvula, la forma de la curva de cierre (cóncava, convexa) influye en la magnitud de las presiones extremas. De acuerdo a los resultados de la Tabla 1, el cierre óptimo está dado por la válvula de compuerta (circular) porque entrega el rango más adecuado de elevaciones de las presiones extremas, a pesar de que el mecanismo óptimo de cierre no sea el único. Esto se debe a que factores tales como la fricción de la pared de la tubería o la elevación de la presión máxima prescrita influyen en la forma de la curva óptima de cierre, por lo tanto, para cada combinación de estas variables, existe una curva de cierre óptima. Teóricamente, la topología del sistema y la fricción estable sean inefectivas como mecanismos de disipación de la presión, aunque (Karney y Filion 2003) sostienen que la topología del sistema complica enormemente el comportamiento del transiente “micro” de un sistema aumentando el número de pequeñas ondas de presión que se mueven casi independientemente para comunicar y regular los desequilibrios masivos en el sistema. Se especula que esta actividad hidráulica aumentada puede potencialmente acelerar la cantidad de energía disipada por medio de los componentes inestables de la fricción del fluido. La tolerancia a las presiones por golpes de ariete ocasionales de un SDA no debería ser la única consideración durante la etapa de diseño porque si la presión transitoria ocurre con mucha frecuencia en el sistema, se requiere de otra verificación adicional para asegurar que las tuberías estén seguras frente a la fatiga. Por último, se debe tener presente que la modelación del flujo transitorio es un requisito primordial para predecir los posibles daños causados por las presiones extremas. Es importante que el ingeniero diseñador comprenda que las ecuaciones que gobiernan el flujo transitorio tienen limitaciones, aspecto importante para juzgar la confiabilidad de los resultados y evitar el mal uso de los modelos numéricos disponibles. En este punto es relevante conocer las ventajas, desventajas y las limitaciones numéricas del MC (y de otros esquemas) cuando se emplean para verificar y/o estudiar la operación de un sistema bajo condiciones transitorias o cuando se aplica para seleccionar/dimensionar los elementos de protección contra los efectos producidos por las ondas de presión. Dados los supuestos adoptados, es posible asegurar que el resultado obtenido por el MC es razonablemente conservador aunque menos realista. La versión del MC aplicada en este estudio no incorporó algunos efectos (fricción inestable, demandas sensibles a la presión, contenido de aire en el agua, etc.) que tienden a cambiar la magnitud, frecuencia y forma de las ondas de presión. En general, estos cambios de presión se describen como atenuaciones, haciendo que las ondas de presión tiendan a declinar debido a los mecanismos de disipación de la energía asociados. Por ello, como propuesta para un próximo trabajo, se podría modelar la red de tuberías relajando algunos de los supuestos adoptados inicialmente, por ejemplo, considerar que la fricción es transitoria, que la demanda de agua es sensible a la presión y al contenido de aire en el agua.

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Recibido: 02 de Noviembre de 2017; Aprobado: 12 de Diciembre de 2017

1Autor de correspondencia: E-mail: john@twyman.cl

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